Цель данной книги — доступно рассказать о некоторых новых методах интегрирования гамильтоновых дифференциальных уравнений на симплектических многообразиях. Проблема интегрирования дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и в частных производных является классической. К настоящему времени в математике имеется достаточно мощный арсенал различных средств, используемых при интегрировании уравнений. Выбор средств и методов, которые используются при решении конкретных задач, возникающих, например, в геометрии, механике или математической физике, сильно зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «решить уравнение». Например, если искать решение в каком-нибудь функциональном пространстве, то естественно привлекать методы функционального анализа. Выделим три аспекта в изучении дифференциальных уравнений: а) явное интегрирование; б) качественные методы; в) интегрируемость по Лиувиллю.
Традиционный подход к изучению свойств решений дифференциальных уравнений состоит в том, что сначала явно определяют полное множество решений и лишь потом анализируют их свойства. Именно так поступали Лежандр, Лагерр, Бессель, Эрмит при изучении дифференциальных уравнений второго порядка. Однако, помимо уравнений данного типа, в различных приложениях возникают линейные или нелинейные уравнения выше второго порядка. Возникает вопрос о возможности отыскания полного набора решений для качественного описания поведения общих решений уравнений, моделирующих интересующую нас систему.
Главная трудность при интегрировании дифференциальных уравнений, как отмечал еще Якоби, «состоит во введении удобных переменных, для разыскания которых нет никакого общего правила. Поэтому мы должны идти обратным путем: найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена» [299].
Систематическое изложение метода разделения переменных и его связь с теорией алгебр Ли можно найти в книге [179].
ОГЛАВЛЕНИЕ s*
Введение ............................................................................................................. 3
ЧАСТЬ 1
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ П
Глава 1. Краткий экскурс в классическую механику ................................ И
§ 1. Принцип Даламбера — Лагранжа .......................................................... J1
§ 2. Уравнения Лагранжа второго рода ..................................................... 16
§ 3. Уравнения Гамильтона ........................................................................... 20
§ 4. Первые интегралы дифференциальных уравнений ............................. 23
§ 5. Динамика твердого тела ........................................................................ 29
§ 6. Вариационные принципы в механике .................................................. 38
§ 7. Интегральные инварианты ................................................................-••••• 42
§ 8. Канонические преобразования ................................................................ *°
§ 9. Скобки Пуассона .....................................¦................................................ 51
Глава 2. Интегрирование канонических систем ............................................ 55
§ 10. Алгебра Ли векторных полей ............................................................. 55
§ 11. Теорема Якоби ....................................................................................... ?2
§ 12. Теорема Лиувилля ................................................................................. °'
§ 13. Теорема Ли ..................................................................¦••••¦¦¦•.................. '"
§ 14. Дополнительные сведения из теории групп Ли и алгебр Ли............... 'Э
Глава 3. Симплектическая геометрия в линейном пространстве 84
84
§ 15. Симплектические пространства ............................................................ °~!
§ 16. Группы симплектических преобразований линейного пространства so
§ 17. Лагранжев грассманиан .........................................................................
102 Глава 4. Симплектическая геометрия ............................................................
102
§ 18. Симплектические многообразия ........................................................... |"~
§ 19. Гамильтоновы векторные поля ........................................................... '
§ 20. Геодезические потоки ............................................................................ ' ,
§ 21. Алгебра Ли функций Гамильтона .....................................................
§ 22. Симплектическая структура на орбитах коприсоединенного пред-
ставления группы Ли ............................................................................ .,„
§ 23. Уравнения Эйлера ..........................................................;....................... 145
§ 24. Канонические преобразования ......................................'....................... ]50
§ 25. Теорема Дарбу ..........................................................................¦............ .53
§ 26. Вложения симплектических многообразий ........................................ ,^
§ 27. Пуассоновы многообразия...................................................................•
ОГЛАВЛЕНИЕ 445
ЧАСТЬ 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Глава 5. Гамильтоновы системы с симметриями. Симплектические действия групп Ли на симплектических многообразиях.................... 163
§ 28. Вполне интегрируемы^ гамильтоновы системы ............................... 163
§ 29. Структура вполне интегрируемых гамильтоновых систем ............ 166
§ 30. Некоммутативное интегрирование гамильтоновых систем ............ 171
§ 31. Интегрируемые алгебры Ли ................................................................ 179
§ 32. Симплектические действия групп Ли ................................................. 184
§ 33. Редукция гамильтоновых систем с симметриями и псевдогруппы Ли 190
Глава 6. Методы построения функций в инволюции на орбитах коприсоединенного представления групп Ли ................................................... 197
§ 34. Метод сдвига аргумента ...................................................................... 197
§ 35. Метод построения коммутативных наборов функций по цепочкам
подалгебр ................................................................................................. 203
§ 36. Семейства функций в инволюции, связанные с согласованными
скобками Пуассона ................................................................................ 206
§ 37. Сжатия алгебр Ли ................................................................................. 208
§ 38. Метод тензорных расширений алгебр Ли ....................................... 212
§ 39. Метод сходных функций ...................................................................... 221
§ 40. Метод й-матрицы .................................................................................. 222
Глава 1. Полнота инволютивиых наборов функций .................................... 223
§ 41. Критерий полноты................................................................................. 223
§ 42. Полнота семейств функций, построенных методом сдвига аргумента 229
§ 43. Функции в инволюции на симметрических алгебрах Ли ............. 232
§ 44. Скобки Пуассона, связанные с лиевыми пучками ......................... 237
§ 45. Инволютивные семейства функций на полупрямых суммах ........ 249
Глава 8. Секционные операторы ..................................................................... 261
§ 46. Динамические сиетемы и симплектические структуры, порождаемые
секционными операторами .................................................................... 261
§ 47. Секционные операторы для коприсоединенного представления
и вполне интегрируемые системы ...................................................... 267
§ 48. Основные примеры секционных операторов .................................... 274
§ 49. Бигамильтоновость уравнений Эйлера .............................................. 278
Глава 9. Полная интегрируемость по Лиувиллю некоторых гамильтоновых
систем на алгебрах Ли ................................................................... 281
§ 50. Уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики ..................................................................................... 281
§ 51. Уравнения Эйлера на полупростых алгебрах Ли .......................... 288
§ 52. Уравнения Эйлера на разрешимых алгебрах Ли ........................... 294
§ 53. Уравнения Эйлера на неразрешимых алгебрах Ли с нетривиальным
радикалом................................................................................................ 299
§ 54. Интегрируемые системы и симметрические пространства ............ 304
§ 55. Коммутативные подалгебры универсальной обертывающей алгебры 316
ЧАСТЬ 3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава 10. Качественная топологическая теория интегрируемых систем на
симплектических многообразиях ................................................... 325
§ 56. Элементы теории Морса ...................................................................... 325
§ 57. Классификация трехмерных поверхностей постоянной энергии
интегрируемых систем ........................................................................... 333
§ 58. Граф, естественно связанный с интегрируемой гамильтоновой системой ............................................................................................................ 346
§ 59. Новый топологический инвариант гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, интегрируемых по Лиувиллю ...................... 349
§ 60. Построение меченого инварианта интегрируемых систем ............. 366
§ 61. Классификация перестроек торов Лиувилля на многомерных симп-лектических многообразиях в окрестности бифуркационной диаграммы отображения моментов ......................................................... 378
Глава 11. Характеристические классы ........................................................... 396
§ 62. Характеристические классы лагранжевых слоений .......................... 396
§ 63. Обобщенные классы Маслова лагранжевых подмногообразий
и симплектические связности............................................................... 399
§ 64. Вполне интегрируемая гамильтонова система, торы Лиувилля
которой имеют нетривиальные индексы Арнольда — Маслова.......... 406
Приложение. Нерешенные задачи................................................................. 411
Список литературы .......................................................................................... 416
Предметный указатель .................................................................................... 439
Цена: 150руб.
