Настоящая книга представляет собой учебное пособие по теории вероятностей для студентов втузов. Она также будет полезна инженерам, повышающим свою математи- . ческую квалификацию.
Последние годы характеризуются интенсивным внедрением теоретико-вероятностных и статистических методов в практику анализа и синтеза сложных технических систем. В этом процессе участвуют тысячи исследователей, имеющих инженерное образование, и сотни математиков-теоретиков. Наряду с классическими задачами статистического анализа, решение которых основывается на биномиальном, нормальном и связанных с ними распределениях, приложения которых неуклонно развиваются, появилось множество задач, связанных с дискретными вероятностными автоматами, приложениями к анализу надежности и эффективности систем, исследованием устойчивости вычислительных процессов на ЭВМ, различными задачами исследования операций. Подобно тому, как математическая логика и теория конечных автоматов заняли свое законное место при изучении дискретных цифровых автоматов, соответствующее место в подготовке специалистов по приложениям теории вероятностей должны занять теория меры и функциональный анализ в абстрактных пространствах. В настоящей книге отражена идейная сторона современного понимания основных вероятностных объектов и приводятся некоторые основные понятия теории функций, служащие основанием вывода теорем теории вероятностей. Подобная структура имеет ряд важных преимуществ, выпускник втуза, творчески занимающийся тем или иным
приложением математики, сталкивается с необходимостью значительно расширить свои знания за счет изучения научной литературы. Такое изучение будет успешным в том случае, если молодой специалист уже мыслит понятиями, принятыми в современной науке, так как изучение литературы, написанной на непривычном специалисту языке, — процесс довольно сложный.
Абстрактные же математические конструкции, принятые в современной теории вероятностей, в своей основе поразительно близки к конструкциям, применяемым при практическом анализе реальных объектов. Необходимо, чтобы инженер нашел общий язык с математиком, ибо только в этом случае их союз будет плодотворным.
Теоремы, доказательства которых сравнительно легко осуществимы средствами классического анализа, известными студентам из общих математических курсов, выводятся со всеми подробностями.
Основные положения иллюстрированы рядом примеров из техники. Однако эти примеры не следует рассматривать как ключ к пониманию материала, так как сущность математических зависимостей проще понять из математического анализа, чем из рассмотрения физических примеров. Зато в развитии интуиции специалиста, в развитии умения строить математические модели реальных процессов подобные примеры играют важную роль. Поэтому мы реко-< мендуем студентам строить свои собственные примеры ин-' терпретации различных вероятностных объектов, используя полученные знания.
Книга состоит из 11 глав. В первых семи главах излагаются основы теории вероятностей, в восьмой — элементы теории случайных процессов, в последних трех главах— необходимые сведения из математической статистики.
Объем материала, изложенного в книге, шире, чем пре^ дусматривается обычными втузовскими программами. Па раграф о больших уклонениях в гл. II, вся гл. VIII о слу чайных величинах общего вида, гл. VIII о случайны; процессах, параграф о мизесовском подходе к предельны* распределениям математической статистики выходят $ рамки принятых программ. Этот материал может быть ис пользован при изучении курса теории вероятностей н факультетах прикладной математики, готовящих инжене
ров-математиков.
В главе, посвященной случайным процессам, даютс лишь цепи Маркова, ступенчатые, полумарковские и ма{
конские процессы е конечным множеством состояний, т. е. классы случайных процессов, теория которых непосредственно связана с теорией конечномерных случайных величин.
В главы, посвященные математической статистике, включены теория построения точечных оценок и доверительных интервалов, проверки гипотез, а также теория корреляции и регрессии, служащая основой важных методов множественного анализа.
Гл. I—V и VIII написаны И. Н. Коваленко, гл. VI, VII, IX—XI—А. А. Филипповой. Авторы заранее благодарны за замечания и предложения, которые будут высказаны о содержании книги. Все пожелания просим направлять по адресу: Москва, Большой Вузовский переулок, 3/12, МИЭМ, факультет прикладной математики, кафедра теории вероятностей и математической статистики.
Автппы
ОГЛАВЛЕНИЕ
*
Предисловие................ ~
Глава I. Основные понятия и формулы теории вероятностей .............. ^
-§ 1. Классическая формула для вероятности события .............. g
§ 2. Статистическая устойчивость частот .... ц
§ 3. Случайные события.......' \ 14
§ 4. Аксиоматическое определение вероятности . ! 23 § 5. Основные соотношения между вероятностями
t событий............. 26
§ 6. Независимые события ........ 31
§ 7. Условная вероятность........ 35
§ 8. Формула полной вероятности и формула Бай-
еса............... 39
Упражнения к главе I ........ 42
Глава II. Дискретные случайные величины . . . . . '44
§ 1. Основные определения........ 44
§ 2. Схема испытаний Бернулли ...'... 48 § 3. Предельное поведение вероятностей pvnW ПРИ
v больших п . . •.......... 51
§ 4. Локальная теорема Муавра — Лапласа . . 57
§ 5. Интегральная теорема Лапласа ...... 60
§ 6. Вероятности больших уклонений .... 65
§ 7. Математическое ожидание дискретной случайной величины.......... 71
§ 8. Математическое ожидание как интеграл . . 75 § 9. Многомерные дискретные случайные величины ....'.......... 79
Глава (П. Случайные величины общего вида .... 86
§ 1. Основные определения ....... 86
§ 2. Свойства функции распределения .... 87
§ 3. Сингулярные распределения ..... 93 -
'§ 4. Непрерывные распределения ...... 94
§ 5. Дискретные смеси распределений .... 98
§ 6. Сходимость случайных величин и функций
i распределения . . . • . . . • „• • • "^ § 7. Математическое ожидание случайной величины общего вида......... Ю°
§ 8. Математическое ожидание монотонной функции случайной величины....... }•?
§ 9. Понятие об абстрактном интеграле Лебега По
§ 10. Представление математического ожидания
абстрактным интегралом Лебега .... 117
Глава IV. Непрерывные и непрерывно-дискретные случайные величины..........119
§ 1. Основные определения........119
§ 2. Распределение функций от случайных величин ..............124
§ 3. Независимые случайные величины и функции
от них..............134
§ 4. Моменты распределения случайной величины 145 § 5. Некоторые специальные распределения . . 154 § 6. Распределение некоторых выборочных характеристик членов вариационного ряда . . . 164 § 7. Некоторые функционалы от последовательности случайных величин.......168
§ 8. Аппроксимация распределения положительной случайной величины гиперэрланговскими распределениями..........171
Глава V. Многомерные случайные величины.....179
§ 1. Определение многомерной случайной величины .............. 179
§ 2. Непрерывные многомерные распределения 184
§ 3. Примеры распределений более" общего вида 192
§ 4. Интеграл Стильтьеса......... 194
§ 5. Характеристики многомер.ных распределений 204 § 6. Условные распределения и условные математические ожидания......... 206
§ 7. Многомерное нормальное распределение . . 212 § 8. Преобразование многомерной случайной величины в другую многомерную случайную
величину с заданным распределением . . . 223
Глава VI. Закон больших чисел •......-. . 228
§ 1. Принцип практической достоверности и массовые явления........... 228
§ 2. Неравенство Чебышева........ 230
§ 3. Закон больших чисел......... 231
§ 4. Усиленный закон больших чисел ..... 235
Глава VII. Центральная предельная теорема .... 237
§ 1.-Постановка задачи.......... 237
§ 2. Характеристические функции...... 238
§ 3. Центральная предельная теорема .... 244 § 4. Приближенная нормальность случайной ошибки измерения........... 252
Упражнения к главе VII......... 253
Глава VIII. Элементы теории случайных процессов . . 254
§ 1. Определение случайного процесса .... 254
§ 2. Цепи Маркова общего вида....... 255
§ 3. Конечные однородные цепи Маркова ... 261 § 4. Пуассоновский процесс. Простейший поток
однородных событий......... 268
367
§ 5. Обобщенный пуассоновский процесс . . . 273
§ 6. Ступенчатые случайные процессы .... 275
§ 7. Полумарковские процессы....... 276
§ 8. Марковский процесс с конечным множеством
состояний............. 280
Глава IX. Корреляция и регрессия ....... 287;
§ 1. Коэффициент корреляции....... 287
§ 2. Линейная регрессия......... 293
§ 3. Множественная линейная регрессия . . . 298
Упражнения к главе IX.......... 306
Глава X. Статистическая оценка неизвестных параметров распределения . . '........ 307
§ 1. Постановка задачи.......... 307
§ 2. Классификация оценок ........ 310
§ 3. Методы получения оценок....... 315
§ 4. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии...... 321
~ § 5. Обработка результатов измерений .... 334 § 6. Оценка коэффициентов корреляции и регрессии по выборке......• . . . . 339
Глава XI. Проверка статистических гипотез..... 342
§ 1. Постановка задачи......... 342
§ 2. Критерий х2 в случае полностью определенного гипотетического распределения . . . 345 § 3. Критерий *2 в случае, когда по выборке оцениваются параметры......... 348
§ 4. Критерий согласия Колмогорова..... • 352
§ 5. Критерий ш2 Мизеса ......... 353
§ 6. Предельные распределения величин, встре-
- чающихся в математической статистике . •. 354 § 7. Выбор критерия для проверки статистической
Цена: 150руб.
