От издательства ........................... 10
Предисловие редактора ......................... 11
Введение............................. 13
1. «Элементарная» и «высшая» математика........... 13
2. Величина. Переменная величина и функциональная зависимость 14
3. Математика и действительность............... 16
Глава I ФУНКЦИЯ
§ 1. Действительные числа ,..................... 19
4. Действительные числа и числовая ось. Интервал....... 19
5. Абсолютная величина.................... 22
6. О приближенных вычислениях................ 23
§ 2. Первоначальные сведения о функции......,......... 25
7. Определение функции.................... 25
8. Способы задания функций.................. 28
9. Символика, Последовательность ............... 30
10. Основные элементарные функции. Сложная функция..... 32
11. Элементарные функции .... ............... 34
12. Классификация функций................... 35
§ 3. Простейшее изучение функций. Простейшие функции....... 39
13. Элементы поведения функции................ 39
14. Графическое изучение функции .............. 42
15. Прямая пропорциональная зависимость и линейная функция. Приращение величины.................... 44
16. Квадратичная функция.................... 47
17. Обратная пропорциональная зависимость и дробно-линейная функция........................... 49
§ 4. Обратная функция. Степенная, показательная и логарифмическая
функции............................. 51
18. Обратная функция...................... 51
19. Степенная функция..................... 54
20. Показательная, гиперболические и логарифмическая функции . 57 § 5. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции ... 60
21. Тригонометрические функции. Гармонические колебания ... 60
22. Обратные тригонометрические функции.......... . 65
Вопросы и предложения для самопроверки......, . . . 69
Глава II ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 1. Предел функции. Бесконечные величины............. 71
23. Предел функции непрерывного аргумента.......... 71
24. Бесконечно большой аргумент. Предел последовательности . . 74
л *
25. Бесконечно большие величины. Ограниченные функции ... 79
26. Бесконечно малые 'величины................. 82
27. Правила предельного перехода .......... ..... 84
28. Примеры.......................... 89
29. Один признак существования предела функции. Первый замечательный предел...................... 90
30. Один признак существования предела последовательности. Второй замечательный предел.................. 92
§ 2. Непрерывные функции...................... 95
31. Непрерывность функции.................... 95 '
32. Точки разрыва функции................... 97
33. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функции..................... 99
34. Свойства непрерывных функций............... 103
§ 3. Сравнение бесконечно малых величин. Натуральные логарифмы . . 105
35. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины.................... 105
36. Примеры отношений бесконечно малых. Натуральные логарифмы........................... 108
Вопросы и предложения для самопроверки.......... 111
Г л а в а III
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Производная........................... 113
37. Некоторые задачи физики.................. 113
38. Скорость изменения функции. Производная функция, производная степенной функции................... 117 •
§2. Дифференцирование функций................... 122
39. Дифференцирование результатов арифметических действий . . 122
40. Дифференцирование сложной и обратной функций...... 126
41. Производные основных элементарных функций........ 129
42. Дифференцирование элементарных функций. Примеры .... 134
43. Дополнительные замечания о дифференцировании функций . . 135
44. Параметрически заданные функции и их дифференцирование . 138 § 3. Геометрические задачи. Графическое дифференцирование..... 143
45. Касательная и нормаль к линии............... 143
46. Графическое дифференцирование •.............. 146
47. Геометрический смысл производной в системе полярных координат............................. 148
§ 4. Дифференциал.......................... 150
48. Дифференциал и его геометрический смысл......... 150
49. Свойства дифференциала. Дифференцируемость функции ... 153
50. Применение дифференциала к приближенным вычислениям . . 157 § 5. Производные и дифференциалы высших порядков......... 161
51. Производные высших порядков............... 161
52. Дифференциалы высших порядков............. 164
Вопросы и предложения для самопроверки.......... 167
Глава IV
ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши................ 168
53. Теорема Ролля ....................... 168
54. Теоремы Лагранжа и Коши................. 170
§ 2. Поведение функции в интервале.................173
55. Признаки монотонности функции...............173
56. Экстремумы функции....................176
57. Схема исследования функций на экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции...............180
58. Применение второй производной. Точки перегиба......187
§ 3. Правило Лопиталя. Схема исследования функций. Решение уравнений .............................193
59. Правило Лопиталя......................1ЙЗ
60. Асимптоты линий......................20Q
61. Общая схема исследования функций.............20о
62. Решение уравнений. Кратность корня............207
§ 4. Кривизна.............................213
63. Дифференциал длины дуги..................213
64. Кривизна.......................... 214
Вопросы и предложения для самопроверки..........218
Г л а в а V ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Определенный интеграл ..................... 220
65. Некоторые задачи геометрии и физики ...:.•....... 220
66. Определенный интеграл; Теорема существования....... 226
67. Простейшие свойства-определенного интеграла........ 228
68. Изменение направления и разбиение интервала интегрирования. Геометрический смысл интеграла.............. 230
69. Оценка интеграла. Теорема о среднем. Среднее значение функции........................... 234
70. Производная от интеграла по его пределу. Первообразная функция........................... 239
71. Формула Ньютона — Лейбница................ 243
§ 2. Неопределенный интеграл. Интегрирование функций .,,*...'. 246
72. Неопределенный интеграл. Основная таблица ... i • .... 246
73. Простейшие правила интегрирования. Примеры. ........ 248
74. Основные методы интегрирования: интегрирование по частям замена переменных.....................253
75. Интегрирование рациональных функций..........' 259
76. Интегрирование простейших иррациональных функций .... 267
77. Интегрирование 'тригонометрических функций....... . 269
78. Заключительные замечания. Использование таблиц интегралов . 273 § 3. Способы вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы ...........................276
79. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле.............'........... 276
80. Приближенные методы интегрирования...........\ 281
81. Несобственные интегралы..................290
Вопросы и предложения для самопроверки .......... 295
Глава VI ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Некоторые задачи геометрии и статики..............297
82. Площадь фигуры ... ' ооу
OQ f*\^ * •> Г •*•••••••••••••.•...». ?iUt
oi. Объем тела................._.......зОО
84. Длина дуги......................... 303
85. Центр тяжести криволинейной трапеции........... 306
§ 2. Общая схема применения интеграла............... 309
86. Схема решения задач.................... 309
87*. Площадь поверхности вращения.............. 313
88. Давление жидкости на стенку сосуда............ 315
Вопросы и предложения для самопроверки.......... 316
Г л а в а VII
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Функции нескольких переменных................. 317
89. Функции двух и многих переменных............. 317
90. Метод сечений. Предел и непрерывность........... 321
§ 2. Производные и дифференциалы. Дифференциальное исчисление . . 325
91. Частные производные и дифференциалы........... 325
92. Полный дифференциал.................... 330
93. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух независимых переменных......... . ........ 336
94. Применения дифференциала к приближенным вычислениям . . 338
95. Производные высших порядков............... 340
96. Отыскание функции по ее полному дифференциалу..... 342
97. Дифференцирование сложных функций. Правила для отыскания дифференциала функций................ 348
98. Теорема существования неявной функции.......... 353
99. Дифференцирование неявных функций............ 355
§ 3. Геометрические приложения дифференциального исчисления. Экстремумы............................ 357
100. Поверхности........................ 357
101. Пространственные линии.................. 360
102. Винтовая линия ...................... 364
103. Экстремумы функций нескольких переменных....... 367
104*. Задачи о наибольших и наименьших значениях...... 371
§ 4. Элементы векторного анализа.................. 373
105. Векторная функция скалярного аргумента......... 373
106. Скалярное поле. Производная по направлению....... 379
107. Градиент.......................... 384
Вопросы и предложения для самопроверки......... 387
Глава VIII Ч
ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойной интеграл........................ 390
108. Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл....... 390
109. Свойства двойного интеграла ................ 393
ПО. Вычисление двойного интеграла.............. 395
111. Двойной интеграл в полярных координатах......... 403
112. Приложения двойных интегралов к задачам механики . . . . 408
§ 2. Тройные интегралы.......................411
113. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл........411
114. Вычисление тройных интегралов..............412
115. Применение тройных интегралов..............419
Вопросы и предложения для самопроверки.........421
Г л а в а IX
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ 1. Криволинейный интеграл..................... 423
116. Задача о работе силового поля. Криволинейный интеграл . . 423
117. Вычисление криволинейных интегралов. Интегралы по замкнутому контуру....................... 426
118. Формула Грина....................... 432
119. Условие независимости интеграла от линии интегрирования . 434
120. Интегрирование полных дифференциалов. Первообразная функция..........................438
121. Криволинейные интегралы по пространственным линиям . . . 441
122. Приложения криволинейных интегралов к задачам, механики
и термодинамики......................445
123. Криволинейный интеграл по длине (первого рода)......450
§ 2. Интегралы по поверхности....................453
124. Поток жидкости через поверхность. Интегралы по поверхности 453
125. Вычисление интегралов по поверхности...........458
126. Формула Стокса......................461
127. Формула Остроградского..................464
128. Интегралы по площади поверхности............466
§ 3. Теория поля...........................468
129. Векторное поле и векторные линии............468
130. Поток вектора. Дивергенция................472
131. Циркуляция и ротор векторного поля............ 478
132*. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка .................... 483
133*. Свойства простейших векторных полей...........486
134*. Электромагнитное поле..................488
Вопросы и предложения для самопроверки.........492
Глава X ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.......... 494
135. Общие понятия...................... 494
!?!*• ^равнения с разделяющимися переменными ...... . . . 498
1о7. Некоторые задачи физики................ 501
138. Однородные и линейные уравнения первого порядка '. , '. '. 505
\лп ^Ра^нения в полных дифференциалах.......... . 510
1W. Приближенные решения уравнений первого порядка .... 511
§ 2. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков .... 514
!io' ДиФФеРенЧиальные уравнения второго порядка...... . 514
142. Частные случаи уравнений второго порядка........ . 516
143. Приложения к механике...................518
144. Дифференциальные уравнения высших порядков......523
§ 8. Линейные дифференциальные уравнения............ . 524
145. Линейные уравнения второго порядка. Общие свойства ... 524
146. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
без правой части......................527
147. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
с правой частью......................531
148*. Метод вариации произвольных постоянных.........538
149*. Линейные дифференциальные уравнения л-го порядка . . . 540 " 150. Линейные дифференциальные уравнения л-го порядка с постоянными коэффициентами ,...............544
151. Колебания. Резонанс....................546
§ 4*. Системы дифференциальных уравнений............. . 553
152. Общие определения. Нормальные системы уравнений . . . 553
153. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.................. . 557
Вопросы и предложения для самопроверки......... 564
Глава XI
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды.........................566
154. Определение ряда и его суммы...............566
155. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд . 570
156. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости........................572
157. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость . . 578
§ 2. Степенные ряды.........................581
158. Общие определения....................581
159. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.......583
160. Общие свойства степенных рядов.............587
§ 3. Разложение функций в степенные ряды..............589
161. Ряд Тейлора........................ 589
162. Условие разложения функции в ряд Тейлора.........591
163. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора ...... 593
164. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.....596
§ 4. Некоторые применения рядов Тейлора..............603
165. Приближенное вычисление значений функции........603
166. Интегрирование функций и дифференциальных уравнений . . 608
§ 5. Функции комплексной переменной. Формула Эйлера....... 612
167. Комплексные числа.................... 612
168. Степенные ряды в комплексной области. Формула Эйлера . . 615 Вопросы и предложения для самопроверки......... 617
Глава XII РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 1. Ряды Фурье...........................619
169. Гармонические колебания. Тригонометрические ряды .... 619
170. Ряды Фурье........................623
9
171. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций Рял Фурье в произвольном интервале ... С0о
172. Примеры...............; ;.........°^°
***••••••• OoU
§ 2. Дополнительные вопросы теории рядов Фурье. Практический гаомо-нический анализ............Г ... »ар™"-
173*. Равенство Парсеваля. Среднее значение квадрата периодической ФУНКЦИИ............... ^пидичо
174. Ряды Фурье в комплексной форме.............ДЛ
175*. Ортогональные системы функций ... .......•' * ДТо
176. Практический гармонический анализ. Шаблоны ....'.. 645 § 3. Интеграл Фурье.................
177. Интеграл Фурье ... ........ ......64q
178. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций.' Комплекс-
ная форма интеграла Фурье....... . ««ишсм.
Вопросы и предложения для самопроверки ......'.'' 656
Цена: 300руб.
