Предисловие ,........................ 7
Глава /. Введение в анализ
§ 1. Переменные величины и функции, их обозначение....... 9
§ 2. Область определения (существования) функции ....... 14
§ 3. Построение графика функции по точкам ........... 16
§ 4. Построение графика функции путем сдвига и деформации известного графика другой функции ............. 22
§ 5. Переменная как упорядоченное числовое множество. Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Предел функции ...................... 26
§ 6. Теоремы о бесконечно малых и о пределах . ......... 33
§ 7. Вычисление пределов .................... 35
§ 8. Смешанные задачи на нахождение пределов ......... 47
§ 9. Сравнение бесконечно малых ................ 48
§ 10. Непрерывность и точки разрыва функции ......... 51
Глава II. Производная и дифференциал функции
§ 1. Производная функции и ее геометрическое значение. Непосредственное нахождение производной ............. 60
§ 2. Производные простейших алгебраических и тригонометрических
функций ......................... 63
§ 3. Производная сложной функции ............... 66
§ 4. Производные показательных и логарифмических функций ... 69
§ 5. Производные обратных тригонометрических функций..... 71
§ 6. Смешанные задачи на дифференцирование .......... 72
§ 7. Логарифмическое дифференцирование ............ 75
§ 8. Производные высших порядков ............... 77
§ 9. Производные неявной функции ............... 79
§ 10. Производные от функции, заданной параметрически ..... 82
§ 11. Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя
кривыми.......................... 83
§ 12. Скорость изменения переменной -величины. Скорость и ускорение прямолинейного движения.............. 89
§ 13. Дифференциал функции................. 92
§ 14. Вектор-функция скалярного аргумента и ее дифференцирование. Касательная к пространственной кривой ........ 94
< $ 15. Скорость и ускорение криволинейного движения ...... 97
*,
Глава III. Исследование функций и построение их графиков
§ 1. Теорема (формула) Тейлора.............'.... 100
§ 2. Правило Лопиталя и применение его к нахождению предела
функции........................•--. . 111
§ 3. Возрастание и убывание функции............... 116
§ 4. Максимум и минимум (экстремум) функции ......... . 117
§ 5. Наибольшее и наименьшее значения функции ......... 124
§ 6. Задачи о наибольших или наименьших значениях величин . . . 127 '
§ 7. Направление выпуклости кривой и точки перегиба ...... 133
§ 8. Асимптоты........................ 136
§ 9. Общая схема исследования функций и построения их графиков 140
§ 10. Приближенное решение уравнений............ 151
§ 11. Кривизна плоской кривой................. 156
Глава IV. Неопределенный интеграл
§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные
формулы интегрирования................. 161
$ 2. Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые ..................... 167
§ 3. Интегрирование посредством замены переменной ....... 168
§ 4. Интегрирование по частям . . < .............. 170
§ 5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен:
Г Ах + В j Г Ах + В _ f ,_----—
J «-^T^> }vi»^rcdx'>y^b*+cd* т
§ 6. Интегрирование тригонометрических функций........ 178
§ 7. Интегрирование рациональных функций .......... 181
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций .... 187
§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных (неалгебраических)
функций ......................... 191
§ 10. Смешанные задачи на интегрирование........... 192
Глава V. Определенный интеграл
§ 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его
свойства и связь с неопределенным интегралом . . . .... . 194
§ 2. Замена переменной в определенном интеграле ... . . ... 197
§ 3. Схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин. Площадь плоской фигуры . . . . . . . . . 200
§ 4. Объем тела по площадям его параллельных сечений .... . . 207
§ 5. Объем тела вращения ................... 209
§ 6. Длина дуги плоской йривой ............:. . . . 213
§ 7. Площадь поверхности вращения . . . . . .......... 217
§ 8. Физические задачи..................... 220
§ 9. Координаты центра тяжести .... . . .: . . -. . . . . . . 234
§ 10. Несобственные интегралы........ . . . ... ... 237
§ П.„Приближенное вычисление определенных интегралов . . . . 242
4
, Глава VI,, Функции многих переменных ,.,,.' : <; 1. Функции многих переменных, их обозначение и облэсть определения . . , , . . ... •. •. • • • • • • • • • • • • •., • • 248
§ 2. Предел функции многих переменных. Непрерывность . . . 251
§ 3. Частные производные функции многих переменных...... 253
§ 4. Дифференциалы функции многих переменных ........ 255
§ 5. Дифференцирование- сложных функций .........., 258
§ 6. Дифференцирование неявных функций'........... 260
§ 7. Частные производные высших порядков ........... 261
§ 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности...... . 264
§ 9. Экстремум функции.многих переменных.......... . 266
§ 10. Наибольшее и наименьшее значения функции ' . . . . . . . . 268
Глава VII. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
§ 1. Двойной интеграл, его вычисление двукратным интегрированием 275
§ 2. Двойной интеграл в полярных координатах . . . ....... 284
§ 3. Вычисление площади посредством двойного интеграла . . -.-. 287
§ 4. Вычисление объема тела.................. 290
§ 5. Масса, центр тяжести и моменты инерции .......... 294
§ 6. Тройной интеграл, его вычисление трехкратным интегрированием 300 § 7. Вычисление величин посредством тройного интеграла . .-. . . 307 § 8. Криволинейные интегралы, их вычисление и условие независимости от линии интегрирования............. 315
§ 9. Вычисление величин посредством криволинейных интегралов . 321 § 10. Нахождение функции по ее'полному дифференциалу .... 326 § 11. Интегралы по поверхности, их вычисление сведением к двойным интегралам . . . .: . . . ............... 328
§ 12. Вычисление величин посредством поверхностных ^интегралов 337
Глава VIII. Элементы теории поля
§ 1. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент . . 343
§ 2. Векторное поле. Поток и дивергенция поля .......... 348
§ 3. Циркуляция и вихрь векторного поля ........... 353
Глава IX. Ряды
§ 1. Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами.............. 358
§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимости знакопеременного ряда. Признак сходимости знакочередующегося ряда ......,..; . 364
§ 3. Функциональные ряды.......... ........ 36J
§ 4. Ряды Тейлора....................... 371
§ 5. Действия со степенными рядами. Применение рядов к приближенным вычислениям............. ...... 375
§ 6. Числовые и степенные ряды с комплексными членами . .-. .,.,,,•'- 382
S 7. Ряды Фурье.......... . . ........ ...;. .... . 387
§ 8. Интеграл Фурье . ... ... ..,,.......*•.,:,...,-. 4QO
5
Глава Л. Дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные
интегралы......................... 404
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными ......... 407
§ 3. Однородные уравнения первого порядка ......... 40Э
§ 4. Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли . 411 .
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах ............ 414
§ 6. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 415 § 7. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами ................... 418
§ 8. Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.................... 421
§ 9. Смешанные задачи на интегрирование уравнений разных типов 429 § 10. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям .... 429 § 11. Метод Эйлера приближенного интегрирования уравнений первого порядка ...................... 438
§ 12. Интегрирование уравнений при помощи рядов ....... 440
§ 13. Системы линейных дифференциальных уравнений ..... 444
§ 14. Уравнения математической физики ............ 449
Ответы ......................... 456
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Руководство» предназначено для студентов высших технических учебных заведений и особенно для тех, кто самостоятельно, без повседневной квалифицированной помощи преподавателя, изучает математический анализ и желает приобрести необходимые навыки в решении задач.
В начале каждого раздела помещены определения, теоремы, формулы и другие краткие сведения по теории и методические указания, необходимые для решения последующих задач; затем приво-дятся подробные примерные решения типичных задач с краткими пояснениями теоретических положений; в конце каждого раздела содержится достаточное количество методически подобранных задач для самостоятельного решения с ответами к ним и необходимыми разъяснениями.
Содержание этого пособия соответствует программе по математическому анализу для машиностроительных, приборостроительных, механических, энергетических и строительных специальностей. Это пособие вполне пригодно также и для студентов технологических специальностей, которые могут опустить те разделы и задачи, которые не входят в их программу по курсу математического анализа.
Задачи, отмеченные звездочкой, не входят в обязательный минимум, необходимый для усвоения курса. Они предназначены для студентов, желающих глубже изучить предмет, но не превышают требований программы.
Автор просит извинить недостаточно подробное разъяснение некоторых вопросов и надеется, что будет иметь возможность устранить этот недостаток в следующем издании.
Цена: 150руб.
