В настоящей книге изложен материал специального курса по операционному исчислению. Для удобства читателей приводится небольшой вспомогательный материал из других разделов математики. В первую очередь это касается первой главы, в которой в сжатой форме изложены основные сведения из теории функций комплексного переменного. Более подробно рассматриваются свойства преобразования Лапласа. Во второй главе, посвященной вопросам теории операционного исчисления, обоснование операционного исчисления дается на основе теории Микусинского, с некоторым ее видоизменением. При этом операционное исчисление-, опирающееся на преобразование Лапласа и интеграл Меллина, вытекает из общей, теории при рассмотрении операторов, преобразуемых по Лапласу. Третья глава содержит приложения операционного исчисления к задачам анализа. В четвертой главе рассматривается операционное исчисление двух переменных и некоторые его приложения. В пятой главе рассматриваются вопросы приближенного вычисления обратного преобразования Лапласа. Материал этой главы почти не освещен в монографической литературе. При написании пятой главы большая помощь была оказана канд. физ.-матем. наук В. М. Амербаевым, который любезно предоставил в распоряжение авторов материал, составивший содержание этой главы. Считаем своим приятным долгом выразить В. М. Амербаеву глубокую благодарность.
Ограниченным объемом книги объясняется и ограниченное число рассматриваемых в ней прикладных задач и примеров.
В отдельных местах книги приводятся не только известные классические результаты, но и некоторые новые исследования, дающие представление о развитии и современном состоянии операционного исчисления.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании устранены замеченные неточности и внесен РЯД изменений и дополнений. Увеличено число рассматриваемых прикладных задач и примеров. Написан новый параграф, посвященный операционному исчислению функций двух целочисленных аргументов.
I»
Предисловие к первому изданию........................ о
Предисловие ко второму изданию......................', о
Введение.....................................•[. ^
Глава I
Элементы теории функций комплексного переменного и преобразование Лапласа
§ 1. Основные понятия комплексного анализа..............*-. . . 7.
1. Комплексные числа и функции комплексного переменного (7) 2. Предел последовательности комплексных чисел (8). 3. Некоторые геометрические понятия (9).4. Предел, непрерывность, производная функции комплексного переменного(10). 5. Связь аналитических функций с гармоническими (13). 6. Интеграл от функции комплексного переменного (15). 7. Ряды Тейлора (20). 8. Ряды Лорана и особые точки (24). 9. Многозначные функции (28). 10. Теорема Кош и о вычетах (30). 11. Леммы Жордана (32) , '
§ 2. Интеграл Лапласа и его основные свойства................ 36
1. Интеграл Лапласа (36). 2. Свойства преобразования Лапласа (37). 3. Обращение интеграла Лапласа (54). 4. Представление функций интегралом Лапласа (59)
Г л а в а II Теоретические основы операционного исчисления
§ 3. Основные понятия и предложения..................... 68
§ 4. Свертка функций . . ............................. 81
1 Определение свертки функций и ее свойства (81). 2. Теорема Титчмарша (85)
§ 5. Операторы .................................. 93
1. Функциональное кольцо (93) 2. Поле операторов (98). 3. Конечные части расходящихся интегралов и их приложения в операционном исчислении (104). . 4. Рациональные операторы (115). 5. Операторы, преобразуемые по Лапласу (119)
§ 6. Основы операторного анализа........................ 134
1. Предел последовательности операторов. Операторные ряды (134). 2. Опера* -торные функции (141).
§ 7. Операторы, приводящиеся к функциям.................. $в2
1. Регулярные операторы (152). 2. Вычисление некоторых операторов (155) 3. Преобразование Эфроса (162)
§ 8. Асимптотические разложения......................... fl*$
1. Асимптотические последовательности и ряды (166). 2. Асимптотическое разложение оригинала при / -» со (168). 3. Предельные соотношения (178) -
§ 9. Операционное исчисление функций целочисленного аргумента ...... у*
1. Функции целочисленного агрумента (181). 2. Оператор восходящих раз-' "J-'j ноотей у и его приложения (183). 3. Уравнения в конечных разностях (203) ~}:~
Приложения операционного исчисления к задачам анализа
§ 10. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных
уравнений.................................. 215
1. Обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (215). 2. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (221). 3. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами (224). 4. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (227). 5. Дифференциальные уравнения в частных производных (229)
§ 11. Применение операционного исчисления к решению некоторых задач математической физики............................ 233
1. Электрические цепи (233). 2. Задачи математической физики (24 1) § 12. Приложения операционного исчисления в теории специальных функций 273
1. Цилиндрические функции (273). 2. Полиномы Лагерра (282). 3. Функциональные соотношения, содержащие некоторые специальные функции (297)
Г л а в а IV Операционное исчисление двух переменных
§ 13. Двумерный интеграл Лапласа и его основные свойства......... 310
1. Двумерный интеграл Лапласа (310). 2. Свойства двумерного интеграла Лапласа (315). 3 Обращение двумерного интеграла Лапласа (319)
§ 14. Основные определения и теоремы операционного исчисления двух пере- -
ценных.................................... 322
1. Операторы (322) 2. Операторы, преобразуемые по Лапласу (327)
§ 15. Применение операционного исчисления двух переменных к решению
некоторых задач анализа.......................... 336
1. Вычисление интегралов (336). 2. Билинейные разложения (340). 3. Дифференциальные уравнения (344)
§ 16. Операционное исчисление функций двух целочисленных аргументов . . . 353
1. Поле операторов (353). 2. Вычисление операторов (357). 3. Вычисление некоторых определенных интегралов, содержащих полиномы Лагерра (367)
Глава V
Некоторые вопросы численного обращения преобразования Лапласа
§ 17. Обращение преобразования Лапласа с помощью полиномов, ортогональных на конечном промежутке....................... 370
§ 18. Обращение преобразования Лапласа с помощью рядов по обрбщенным
полиномам Лагерра............................. 385
§ 19. Обращение преобразования Лапласа с помощью рядов типа Неймана 387
§ 20. Формула трапеции для интеграла Римана — Меллина ......... 393
Приложение.................................... 397
Литература.................................... 400
Алфавитный указатель............................. 402
Цена: 300руб.
