В течение последнего десятилетия теория марковских процессов переживает период бурного подъема и интенсивного развития. Были обнаружены новые важные связи между марковскими процессами и классическим анализом. При этом оказалось возможным не только использовать средства анализа для изучения вероятностных процессов, как это делалось в 30-х и 40-х годах, но и применить вероятностные методы для решения ряда задач теории дифференциальных уравнений, теории потенциала и т, д.
Среди исследований, выполненных за эти годы, выдающееся место занимает работа Дж. А. Ханта, русский • перевод которой предлагается читателю. Одной из самых красивых глав классического анализа является теория суб- и супергармонических функций. Тесно связанная с ней теория потенциала имеет многочисленные важные приложения в математике и за ее пределами. Хант обнаружил, что большая часть этих теорий может быть изложена в общих вероятностных терминах, что значительно увеличивает возможности применений. Говоря более точно, Хант показал, что при некоторых слабых ограничениях с каждым марковским процессом можно связать класс функций, аналогичных по своим свойствам классическим неотрицательным супергармоническим функциям. Отправляясь от этих функций, он построил содержательную теорию, которая переходит в классическую теорию ньютоновского потенциала в случае, когда исходный процесс является броуновским движением.
Работа Ханта оказала значительное влияние на последующее развитие как теории марковских процессов, так и общей теории потенциала. Ее перевод явится ценным пособием для всех интересующихся современным состоянием этих теорий.
Работа была опубликована в трех частях в 1957— 1958 гг. в журнале Illinois Journal of Mathematics. Изложение можно было бы усовершенствовать и упростить, если опереться на выработанную за последние
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора ................... 5
Введение .......................... 7
Часть I
Регулярные процессы.................... 15
§ 1. Предположения .................. 15
§ 2. Достижение множества............... 23
§ 3. Обозначения и соглашения............. 31
Эксцессивные функции.................... 35
§ 4. Потенциалы функций................ 35
§ 5. Эксцессивные функции............... 41
§ 6. Описание функций НЕч? .............. 52
Эксцессивные меры •..................... 70
§ 7. Потенциалы мер.................. 70
§ 8. Эксцессивные меры................. 75
§ 9. Представление в виде потенциалов......... 80
Ч ас т ь 11
§ 10. Моменты обрыва.................. 87
§ 11. Эксцессивные функции............... 97
§ 12. Специальные множества .............. 108
§ 13. Две теоремы об эксцессивных функциях ...... 119
§ 14. Эксцессивные меры................. 126
§ 15. Принцип максимума................ 144
§ 16. Создание массы .................. 162
Часть III
§ 17. Двойственные процессы ..............175
§ 18. Потенциалы и Эксцессивные функции........198 '
§ 19. Емкость......................223
§ 20. Регулярные точки.................241
§ 21. Относительная теория . . .•.....'......260
Литература.........................277
ДЖ. А. х АНТ г
Марковские процессы и потенциалы
Цена: 150руб.
