Как указывает сам автор, было бы наивным предполагать, что в книге подобного объема может быть сделана попытка охватить сколько-нибудь обишрный раздел того, что принято называть „современной теорией уравнений в частных производных". Задача предлагаемых лекций — послужить введением в одну из важных глав той части этой теории, которая связана с использованием методов функционального анализа.
В лекциях изложены теоремы существования и единственности обобщенных решений граничных задач для эллиптических и гиперболических уравнений, получаемые методом так называемых „энергетических неравенств", слабых и сильных расширений дифференциальных операторов и „осреднений", позволяющих устанавливать эквивалентность указанных расширений. Одновременно исследуются дифференциальные свойства полученных решений.
Основоположниками такого подхода являются С. Л. Соболев и К. О. Фридрихе, но непосредственно использованы автором лишь работы последнего. Указанный подход позволяет сразу приступить к изучению достаточно общих линейных операторов с переменными коэффициентами в отличие от методов, базирующихся на преобразовании Фурье, когда основой являются постоянные коэффициенты, а переход к переменным идет через „теорию возмущений" [7].
Книга задумана как учебник, предназначенный для лиц, знакомых с элементами функционального анализа и не сталкивавшихся с дифференциальными операторами. Тем не менее
содержащийся в ней материал не излагался ни в одной и имеющихся на русском языке монографий. Близкими по дух являются некоторые разделы недавно вышедшей книги [6| но и тут нет сколько-нибудь существенных пересечений.
Как всякий учебник, написанный известным математиком книга содержит и оригинальные построения, принадлежаиш автору. (Это относится в основном к гл. 4 и, естественно приводит к большей сложности излагаемого материала.) Не которым общим недостатком изложения является чрезмерш тяжеловесная порой система обозначений. Но это не нару> шает общего впечатления большой методической проду> мяннпгти
небольшие обзоры, содержащие дополнительные литературные указания. Эти разделы несколько расширены при переводе в двух направлениях: указаны работы, непосредственно связанные со специальной проблематикой глав, и (поскольку книга рассчитана на неофита) перечислен ряд монографий, отражающих некоторые незатронутые направления. Расширения второго рода должны послужить утешением для читателей, не нашедших в книге как раз тех разделов современной теории, которые их волнуют . . . Всюду отдавалось предпочтение литературе на русском языке.
Наконец, читателю, желающему во всяком курсе видеть наряду с эллиптическими и гиперболическими также и параболические уравнения, следует иметь в виду, что трактовка таковых в духе главы 3 имеется в дополнении II книги [6]. Ссылки на работы, содержащие другой подход, основанный на сведении к симметричным системам (см. гл. 4), даны в тексте.
А. А. Дезин
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
По-видимому, название этой маленькой книги «Лекции по современной теории уравнений в частных производных" звучит слишком громко.
Исследования по теории дифференциальных уравнений в частных производных, проводимые в Европе и Америке, очень обширны, и относящаяся сюда литература чрезвычайно велика. Однако в Японии, к сожалению, литература по этому вопросу немногочисленна. Дело, по-видимому, в сложности предмета, в отсутствии простых методов исследования, в трудности общей теории.
В последние годы, особенно начиная примерно с 1950 г., в теории уравнений в частных производных стали широко применяться функциональные методы (в особенности — теория гильбертовых пространств и теория обобщенных функций). Сложилась новая тенденция в этом направлении.
К сожалению, автор в силу своих недостаточных знаний вряд ли в состоянии развивать эту общую тенденцию. Он использует при изложении (присовокупляя свои соображения) в качестве основы работы Фридрихса (по эллиптическим уравнениям) и Лакса (по гиперболическим уравнениям) как работы, материал которых, при небольшом объеме, ясен для понимания. Что касается предварительных сведений из функционального анализа, то предполагается, что читателю известны лишь самые элементарные факты теории гильбертовых пространств (такие, как, например, теорема Рисса о линейных функционалах).
Скорее всего, то, что излагалось автором подробно с целью внести большую ясность, на самом деле внесло только дополнительную сложность. Автор должен принести по этому поводу свои извинения.
М. Нагумо
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ............... 5
Из предисловия автора ................ 7
Глава 1. Функциональные пространства......... 9
1.1. Функциональные пространства.......... 9
1.1.1. Пространства C[G] и Ch[G]........ 9
1.1.2. Пространства L"[G]........... 10
1.1.3. Связь между L2 и С0...........12
1.2. Нормированные пространства. Линейные операторы . 13
1.3. Функционалы. Гильбертовы пространства..... 16
1.3.1. Функционалы ... .......... 16
1.3.2. Гильбертовы пространства......... 17
1.4. Замкнутые операторы............. 20
1.5. Функциональное пространство С/7........ 21
1.6. Дополнения к главе 1 ............. 24
Глава 2. Дифференциальные операторы......... 25
2.1. Сопряженные дифференциальные операторы .... 26
2.2. Сопряженные матричные дифференциальные операторы первого порядка . ..... ...... .29
2.3. Сильные расширения дифференциальных операторов . 31
2.4. Слабые расширения дифференциальных операторов . 34
2.5. Операторы осреднения............. 36
2.5.1. Интегральные операторы......... 36
2.5.2. Операторы осреднения.......... 38
2.6. Случай дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами . . ............ 42
2.7. Случай матричных дифференциальных операторов первого порядка .................45
2.7.1. Матричные интегральные операторы..... 45
2.7.2. Совпадение операторов 7\w) и Г(3)...... 48
2.8. Дополнения к главе 2............. 54
Глава 3. Дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического типа.......... 56
3.1. Семейство функций 3)............. 57
3.2. Существование обобщенных решений....... 62
3.2.1. Обобщенная задача Дирихле........ 62
3.2.2. Существование решения задачи Дирихле .... 65
3.3. Применение теории Рисса—Шаудера....... 69
3.3.1. Сопряженные дифференциальные операторы . . 69
3.3.2. Полная непрерывность оператора Т..... 71
3.3.3. Применение теории Рисса—Шаудера..... 74
3.4. Дифференциальные свойства решений; семейства (®*) 76
3.5. Теорема Соболева и ее применение к исследованию диф-
ференциальных свойств решений......... 81
3.6. Дополнения к главе 3............. 85
Глава 4. Дифференциальные уравнения в частных производных гиперболического типа.........88
4.1. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа и симметричные системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.......... 89
4.2. Существование обобщенного решения симметричной гиперболической системы дифференциальных уравнений
в частных производных............91
4.3. Задача Коши для симметричных гиперболических систем 94
4.4. Пространства®* и S)-ft.............100
4.4.1. Определение пространств $)~ft........102
4.4.2. Дифференциальный оператор ЛА...... 104
4.5. Дифференциальные свойства решений симметричных гиперболических систем............. 108
4.6. Дифференциальные свойства решений задачи Коши для симметричных гиперболических систем....... 113
4.7. Область зависимости решения от начальных данных . 119
4.8. Дополнения к главе 4............. 121
Послесловие....................123
Литература ....................125
Предметный указатель ................128
Именной указатель.................130
Цена: 100руб.
