Стр.
Предисловие........................ 7
Часть I. Введение в одномерный анализ......... 11
Глава 1. Вещественные числа. Расширенная числовая прямая 11
§ 1. Числовая прямая................. 12
§ 2. Расширенная числовая прямая........... 20
Глава 2. Функция..................... 23
§ 1. Основные понятия................. 23
§ 2. Некоторые типы поведения функций из R в R ... 34
Глава 3. Предел........'.............. 38
§ 1. Предел числовой последовательности........ 38
§ 2. Окрестности и точки прикосновения........ 45
§ 3. Предел функции из R в R ............. 48
§ 4. Основные теоремы о пределах........... 56
§ 5. Предел по множеству. Односторонние пределы ... 70
§ 6. Сравнение бесконечно малых............ 74
§ 7. Верхняя и нижняя грани............. 79
§ 8. Предел монотонной последовательности. Экспонента 88
3
Глава 4. Непрерывность.................. 92
§ 1. Непрерывность функции в точке . . '........ 92
§ 2. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва ... 97
§ 3. Пределы и точки разрыва монотонной функции . . . 100
§ 4. Связность. Непрерывные функции на промежутках 103
§ 5. Обратная функция................. 109
Глава 5. Степени и логарифмы............... 116
§ 1. Показательные функции. Степени с вещественным показателем ......'............... 116
§ 2. Логарифмические функции. Алгебраический смысл
степеней и логарифмов............... 123
§ 3. Степенные функции и степенно-показательные выражения ...................... 129
Часть II. Дифференциальное исчисление для функций из R
в R.......................... 131
Глава 6. Дифференцируемые функции............ 131
§ 1. Дифференцируемость и производная........ 131
§ 2. Правила дифференцирования............ 139
§ 3. Производные высших порядков.......... 150
§ 4. Параметризованные пути.............. 156
§ 5. Параметрически заданные функции и их дифференцирование ...................... 168
§ 6. Дифференциал................• . . 171
Глава 7. Основные свойства и применения дифференцируемых
функций......_.................. 174
§ 1. Возрастание и убывание функций ......... 174
§ 2. Теоремы Ферма и Дарбу.............. 180
§ 3. Максимумы и минимумы............. . 183
' § 4. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба..... 190
§ 5. Теоремы о среднем................ 201
4
§ 6. Применение дифференциального исчисления к вычислению пределов. Асимптоты............ 234
Часть III. Интегральное исчисление для функций из R в R 214
Глава 8. Неопределенный интеграл............. 214
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл ..... 214
§ 2. Интегрирование подстановкой и по частям ..... 221
§ 3. Интегрирование рациональных функций....... 227
§ 4. Интегрирование некоторых алгебраических иррацио-
нальностей.................... 235
Глава 9. Определенный интеграл . ............. 241
§ 1. Функции отрезка................. 241
§ 2. Нижний и верхний интегралы........... 247
§ 3. Определенный интеграл. Формула Ньютона —Лейбница ....................... 252
§ 4. Основные свойства определенного интеграла ..... 250
§ 5. Интегрирование по частям и подстановкой..... 265
§ 6. Непрерывные функции отрезка........... 270
§ 7. Интеграл Римана................. 271
Глава 10. Некоторые геометрические применения определенного интеграла.................... 274
§ 1. Квадрируемые фигуры............... 274
§ 2. Применение определенного интеграла к вычислению
площадей плоских фигур.............. 286
§ 3. Длина кривой и полное изменение функции .... 291
Глава 11. Несобственные интегралы............. 301
§ 1. Понятие несобственного интеграла......... 301
§ 2. Основные свойства интегралов по некомпактным промежуткам :.................... 306
Часть IV. Ряды..................... 311
5
Глава 12. Числовые ряды.................. 311
§ 1. Нижний и верхний пределы последовательности . . 311
§ 2. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся
ряды ....................... 319
§ 3. Положительные ряды............... 321
§ 4. Признаки Коши и Даламбера............ 327
§ 5. Критерий сходимости. Знакочередующиеся ряды . . 329
§ 6. Абсолютная и условная сходимость......... 331
Глава 13. Функциональные ряды.............. 336
§ 1. Основные понятия................. 336
§ 2. Равномерная сходимость.............. 338
§ 3. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов..................... 343
§ 4. Степенные ряды.................. 348
§ 5. Формула Тейлора................. 359
§ 6. Разложение функций в степенные ряды....... 363
§ 7. Степенные ряды с комплексными членами...... 375
Приложение. Поле R вещественных чисел. Натуральный ряд.
Конечные множества.................. 383
§ 1. Аксиомы поля R................. 383
§ 2. Некоторые следствия аксиом I — II......... 385
§ 3. Некоторые следствия аксиом I — III........ 388
§ 4. Натуральный ряд................. 391
§ 5. Биекции. Равнемощность.............. 394
§ 6. Конечные множества................ 395
§ 7. Суммы и произведения конечных семейств вещественных чисел..................... 398
§ 8. Степени с целым показателем........... 407
Предметный указатель................... 410
Предисловие
Предлагаемая книга предназначается для студентов педагогических институтов, обучающихся по специальностям «Математика» и «Математика и физика». Она посвящена в основном одномерному анализу (т. е. анализу вещественных функций одного вещественного переменного) и состоит из четырех частей («Введение в одномерный анализ», «Дифференциальное исчисление для функций из R в R», «Интегральное исчисление для функций из R в R», «Ряды») и приложения.
Отметим некоторые особенности книги. Система R вещественных чисел трактуется аксиоматически как упорядоченное поле, в котором выполнена аксиома непрерывности. При этом изложение основных свойств, общих всем упорядоченным полям, вынесено в Приложение. В нем рассматриваются основные свойства натурального ряда (определяемого как наименьшее индуктивное множество в R) и конечных множеств (определяемых как множества, равномощные отрезкам натурального ряда), а также суммы (и произведения) конечных семейств вещественных чисел и степени с целыми показателями. Содержащийся здесь фактический материал сообщается в пропедевтическом стиле в школьном курсе математики; в основном тексте книги он считается известным.
Поскольку логические символы и операции над множествами вводятся в самом начале курса алгебры, изучаемого в педагогическом институте, они используются в книге без дополнительных пояснений.
Аксиома непрерывности поля R формулируется (в виде принципа отделяющего числа) уже в гл. 1, но используется в ней только для доказательства принципа Архи-
Цена: 150руб.
