Новая программа по основному курсу высшей математики для высших технических учебных заведений предусматривает обязательное выполнение студентами ряда работ по вычислительному практикуму. Кроме того, ощущается острая необходимость в постановке дополнительных специальных курсов, дающих возможность будущим инженерам овладеть более широким 'кругом вычислительных методов и средств, столь необходимых в инженерной практике.
Предлагаемое пособие рассчитано на студентов заочных втузов и включает материал как для математического практикума, входящего в основной курс высшей математики, так и для небольшого специального курса по приближенным методам. Перечень глав представляет собой предлагаемую программу такого курса.
Первая глава написана И. А. Жабиным, вторая — М. И. Розенталь, третья — Д. П. Полозковым, четвертая— X. Р. Сулеймановой, пятая и седьмая — С. Б. Нор-киным и шестая — Р. Я. Берри. Содержание глав подробно-обсуждалось всем авторским коллективом.
Пособие рецензировалось на кафедрах высшей математики Московского энергетического института, вычислительной математики Московского университета, высшей математики Всесоюзных заочных энергетического и инженерно-строительного институтов. Авторы пользуются возможностью выразить искреннюю i признательность сотрудникам указанных кафедр и в первую очередь Ю. И. Гросбергу, Л. 3. Румшискому, Ю. А*. Шрейдеру, Л. В. Ершову и Я. А. Мачерету за ценные замечания, которые были учтенькпри подготовке рукописи к печати
Предлагаемая книга является первым пособием по вычислительной математике, рассчитанным на столь широкий круг читателей. Ясно сознавая, что написанное нами пособие не свободно от недостатков, авторы будут благодарны читателям, пожелавшим сообщить свои критические замечания.
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании добавлены главы восьмая и девятая, § 5 главы пятой, § 7 главы седьмой и расширен § 2 главы четвертой. Все добавления сделаны С. Б. Нор-киным. Ряд улучшений сделан в главе третьей. В остальном исправлены мелкие недочеты, частично обновлены задания.
Авторы пользуются возможностью выразить глубокую благодарность И. С. Березину и Ю. И. Гросбергу,. -прочитавшим рукопись, подготовленную для второго издания, и сделавшим ряд ценных замечаний.
• ; Авторы
Третье издание не отличается от второго. Исправлены • только замеченные опечатки.
ВВЕДЕНИЕ
Применяя математические методы к решению тех- -нических задач, инженер чаще всего интересуется получающимся при этом конечным численным результатом. Вот почему в математическом образовании будущего инженера методы вычислительной математики должны занять место, соответствующее их значению.
Методы вычислительной математики — приближенные методы, так как всякую величину мы можем при помощи ' вычислений найти лишь с некоторой определенной точностью. Для приложений, однако, этого вполне достаточно. В технических задачах и исходные данные и искомые величины обычно служат для определения размеров или других параметров изготавливаемых изделий. Поэтому в инженерных расчетах точность, превосходящая принятые «допуски», очевидно, является излишней. :
Назначение предлагаемого пособия — ознакомить читателя, студента заочного высшего технического учёб* ного заведения, с некоторыми простейшими-методами вычислительной математики.
Две первые главы носят вводный характер. Первая, из них посвящена общим правилам действий над приближенными числами и правилам учета возникающих v при этом погрешностей, вторая — работе с математическими таблицами, Математические таблицы являются необходимым пособием при выполнении вычислительных
I
работ. С другой стороны, как промежуточные данные так и окончательный результат вычислительной задач] часто располагают в виде таблицы. В соответствии с этил во второй главе рассматриваются правила работы с го товыми таблицами и правила составления таблиц по за данной формуле.
В гл. III—IX рассматриваются вычислительные задачи, наиболее часто встречающиеся при решении конкретных технических задач: решение алгебраических и трансцендентных уравнений, систем линейных уравнений, построение интерполяционных полиномов, приближенное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений, приближение функций по способу наименьших квадратов, практический гармонический анализ.
Список рекомендуемой литературы .в конце книги предназначен для лиц, желающих расширить и углубить < свои знания в области вычислительной математики.
В конце каждой главы, а в некоторых случаях в конце отдельных параграфов приводятся вопросы и задачи для самопроверки, назначение которых помочь чи- | тателю овладеть-излагаемым материалом. ;1
Задания, помещенные в конце гл. II—VII и IX, пред- ; ставляют собой материал для математического практи- j кума, включенного в обязательную программу для высших технических учебных заведений. Указания относи- , тельно сроков и порядка выполнения этих заданий даются кафедрами высшей математики исходя из специфики профиля каждого втуза.
Предусматривается, что при выполнении заданий математического практикума студенты будут пользоваться малыми вычислительными средствами, такими, как арифмометры, клавишные вычислительные машины, а в тех случаях, где не требуется высокой точности, и учетными линейками.
Читателю хорошо известны успехи, достигнутые сов-i
ременной электронной вычислительной техникой. Но несмотря на внедрение быстродействующих вычислительных машин и на самые широкие перспективы их дальнейшего развития, значение малых вычислительных средств нисколько не уменьшается. Это связано прежде всего с тем; что быстродействующие электронные машины эффективны лишь при выполнении громоздких и трудоемких вычислений. Использование быстродействующих машин для наиболее часто встречающихся в практике инженера-производственника сравнительно небольших расчетов не целесообразно, а иногда и просто неудобно. Вот почему будущему инженеру следует рекомендовать научиться работать на малых вычислительных машинах и пользоваться ими при выполнении заданий математического практикума, а затем и при выполнении расчетных работ по специальным дисциплинам и в своей будущей производственной деятельности. В качестве руководства для работы на малых машинах можно рекомендовать, например, книгу Л. С. Хренова «Малые вычислительные машины», М., Физматгиз, 1958 г.
Отметим, наконец, что огромный объем вычислений — это главное, что отличает задачи, решаемые на быстродействующих машинах. Что же касается методов решения этих задач, то наряду со специфическими, специально разработанными для машинного счета методами, широко применяются и общие методы. К их числу относятся и многие методы, изложенные в этой книге.
ОГЛАВЛЕНИЕ
<
Предисловие к первому изданию............,,.. .
Предисловие ко второму изданию.............
Введение ........................,.
Глава I. Вычисления с приближенными числами и учет погрешностей
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности....... .
§ 2. Правила округления чисел..............
§ 3. Вычисления с учетом погрешностей..........
1°. Сложение и вычитание.............
2°. Умножение и деление...............
§ 4. Учет погрешности при вычислении приближенных значений функций ........ ............
Задачи для самопроверки ...............
Глава II. Составление таблиц функций •
§ 1. Таблицы функций и пользование ими.........
1.°. Устройство таблиц -функций...........
2е. Линейная интерполяция..............
3°. Погрешность линейной интерполяции........
4°. Обратная интерполяция.............•
Задачи и вопросы для самопроверки .........
§ 2. Табличные разности.................• ;
1е. Разности различных порядков...........'О
2°. Связь между разностями и производными......,л|
3°. Использование разностей для контроля таблиц ... » 4°. Оценка погрешности линейной интерполяции через разности ................,.•...•
Стр.
§ 3. Составление таблицы функции............. 45
Задачи для самопроверки.............. 47
Задания...................... 49
Глава III. Приближенное решение уравнений
§ 1. Постановка задачи.................. 51
§ 2. Отделение корней уравнения.............. 51
' Вопросы и задачи для самопроверки........ 58
§ 3. Приближенное значение корня уравнения и его' оценка 58
§ 4. Уточнение корня уравнения .............. 61
1°. Метод проб (.,.................... 61
2°. Метод хорд '.................... 62
3°. Метод касательных ................ 64
4°. Метод хорд и касательных ............ 66
§ 5. Решение уравнения с заданной степенью точности. Простейшие итерационные методы............. 66
1°. Метод проб.................... 67
2". Метод хорд и касательных............. 70
Вопросы и задачи для самопроверки.......... 73
§ 6. Некоторые общие замечания. Еще один итерационный
метод ....................... 74
Вопросы и задачи для самопроверки......... 84
Задания ....................... 84
Глава IV. Системы линейных уравнений
§ 1. Постановка задачи.................. 85
§ 2. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) . 87 § 3. Итерационные методы решения системы линейных уравнений ........................ 97
Г. Метод простой итерации.............. 98
2°. Достаточный признак сходимости итерационного процесса....................... 99
3°. Решение системы уравнений методом простой итерации ....................... 100
4°. О приведении линейной системы к виду, пригодному
для метода итерации................ 102
5°. Метод Зейделя.................. 106
Вопросы для самопроверки............. 107
Задания...................... 108
•><«
Глава V. Интерполяционные полиномы
§ 1. Постановка задачи................. .
§ 2. Интерполяционный полином Лагранжа >........
V/ § 3. Интерполирование с равноотстоящими узлами. Интерполяционный полином Ньютона............
§ 4. Формула Ньютона для интерполирования назад ....
§ 5. Приближенное дифференцирование......... .
Вопросы и задачи для самопроверки....... .
Задания .- ...................
Глава VI. Приближенное вычисление интегралов § I. Приближенное вычисление интеграла, основанное на его
определении. Метод прямоугольников.....'. . . ,
§ 2. Приближенное интегрирование, основанное на интерпо»
ляции. Метод трапеций. Метод парабол......, ',
§ 3. Оценка погрешностей и построение вычислительных схем § 4< Вычисление определенных интегралов с помощью pai$
ложения в ряд подынтегральной функции. Оценка ПОД
грешности.................• • • «,'ч'ь
Вопросы и задачи для самопроверки......,'ji,
Задания..................... . .,$',
Глава VIII. Линейное и параболическое приближение функций по способу наименьших квадратов
§ 1. Постановка задачи ,............ — .... 178
§ 2. Линейное приближение по способу наименьших квадратов 180 § 3. Квадратичное приближение по способу наименьших
квадратов ,.....,................ 182
§ 4. Замечания о выборе эмпирической формулы ..... 186
Вопросы для самопроверки.............. 188
Глава IX. Практический гармонический анализ
§ 1. Формулы для вычисления коэффициентов Фурье .... 189»
§ 2. Схема Рунге для двенадцати ординат ... ... 191
§ 3. Пример вычислений по' схеме Рунге........ . 194
§ 4. Построение гармоник. Графический метод........ 196
§ 5. Оценка приближения периодической функции тригонометрическими многочленами.............. . 198
Вопросы для самопроверки............. 201
Задания.....................[fl. 201
Рекомендуемая литература..........'.'... 203
Цена: 100руб.
