Предисловие к третьему изданию........................ 13
Введение........................................ 17
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВЕКТОРЫ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ . * .
I. Отрезок, ось, вектор.............................. 19
§ 1. Отрезок (19). —§2. Ось (19). —§ 3. Векторы (20). — §4. Равенство векторов (21). — § 5. Векторы: свободный, скользящий и связанный (21).
II. Сумма векторов. Произведение вектора и числа .......... 22
§ 6> Об операциях сложения и умножения (22). — § 7. Сумма векторов. (24). — § 8. Частные случаи (26). — § 9. Разность векторов (28). — § 10. Произведение вектора и числа (28). — § 11, Векторы, параллельные данному направлению. Орты (32). — § 12. Векторы на оси (33).
III. Проекции на ось и на плоскость................... 34
§ 13. Проекция на ось (34). — § 13а. Проекции фигур, расположенных в одной и той же плоскости (35). — § 14. Проекция на плоскость (36). — § 15. Проекции суммы и разности векторов на ось .(37). —? § 16. Проекции суммы и разности векторов на плоскость .(38). — , § 17. Проекция произведения вектора и числ» (38).
IV. Формулы для вычисления прямоугольных проекций....... 39
§ 18. Угол между двумя направлениями (39). — § 19. Формула для вычисления прямоугольной проекции вектора на ось (39).—§ 19а. Обобщение (40). — § 20. Длина прямоугольной проекции вектора на плоскость (42). — § 21. Площадь проекции плоской фигуры на плоскость (42).
V. Скалярное и векторное произведения двух векторов. ,..... 44,
§ 22. Скалярное произведение двух векторов (45). — § 23. Выраже- ' ние прямоугольной проекции вектора через скалярное произведе- ' •) пне (47). — § 24. Правая и левая системы трёх направлений (47). —. § 25. Векторное произведение двух векторов (48). — § 26. Смешанное произведение трёх векторов (52).
ГЛАВА ВТОРАЯ
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И ТОЧКИ I. Декартовы координаты............ . ............. . . 55
§ 27. Координаты на прямой (оси) (55). — § 28. Координаты вектора и точки па плоскости (57). — § 29, Прямоугольные координаты . на плоскости (60). — § 30. Координаты вектора и точки в простран-
1* '
щённые декартовы координаты IDO;.
II. Основные аффинные формулы...................... 69
§ 34. Координаш суммы данных векторов (69). — § 35. Определение вектора по заданным началу и концу (70). — § 36. Координаты произведения вектора и числа (71). — § 37. Условие параллельности двух векторов (72). — § 37а. Условие параллельности двух векторов (продолжение) (74). — § 38. Условие коллинеарности трёх точек (75). — §39. Условие компланарности трёх векторов (76). — § 40. Условие компланарности четырёх точек (78).—§ 41. Деление отрезка в данном отношении (79)......:
ill. Основные' метрические формулы в прямоугольных коорди-• , натах..............,........................ 82
§ 42. Скалярное произведение двух векторов (82). — § 43. Длина вектора; углы, составляемые вектором с осями координа!; расстояние между двумя точками (83).—§ 44. Координаты орта. Косинусы направления (85).—§45. Угол между двумя векторами (направлениями) (86). — § 46. Условие перпендикулярности двух векторов (направлений) (88). — § 47. Определение направления на плоскости (88).— § 48. Определение угла между двумя направлениями на плоскости, когда углу Приписывается знак (91). — § 49. Площадь треугольника, построенного на двух векторах, приложенных к одной точке (93).— § 50. Площадь треугольника, заданного своими вершинами (94). — § 51. Векторное произведение двух векторов (95).-г-§ 52. Смешанное произведение трёх векторов. Объём параллелепипеда (97).— § 53. Объём тетраэдра, заданного координатами вершин (100).
IV. Основные метрические формулы в обобщённых декартовых координатах.................................. 100
§ 54. Ковариантные и контравариантиые декартовы координаты /100). — § 55. Зависимость межщг ковариантными и контравариантными координатами (102). — § 56. Выражения для скалярного произведения двух векторов, длины вектора, расстояния междз^ двумя точками и угла между двумя направлениями (104). — § 57. Координаты и косинусы направления в необобщённых косоугольных координатах (106).
V. Различные системы координат....................... 108
§ 58. Система полярных координат на плоскости (108).— § 59. Обобщение (109). — § 60. Преобразование полярных координат на плоскости в декартовы (109). — § 61. Полярные .координаты в пространстве (111).—§ 62. Полуполярные (цилиндрические) координаты (112). —§ 63. Общий метод координат (113).
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЯ
И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Общие формулы преобразования декартовых координат..... 116
§ 64. Перенесение начала (116). — § 65. Изменение координатных векторов (117). —§ 66.Общий случай (120).—§ 67. Приложения (123). — § 63. Преобразование ковариантных координат (126).
II. Важнейшие частные случаи преобразования координат ..... 127
§ 69. Преобразование прямоугольных координат на плоскости '.'. (128). — § 70, Преобразование прямоугольных координат в пространстве (130). — § 71. Соотношения между коэффициентами формул преобразования прямоугольных координат (132). — §72. Ортогональные подстановки. Алгебраический вывод формул предыдущего параграфа (136). — § 73. Углы Эйлера (138). —§ 74. Преобразование необобщённых косоугольных координат на плоскости (141).
III. Движения и аффинные преобразования................ 142
§ 75. Движения (142). — § 76. Аффинные преобразования (145).— § 77. Подобные преобразования и движения как частные случаи аффинного преобразования (152). — § 78.'О группах точечных преобразований. О классификации геометрических дисциплин (156).
ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ
ОБ УРАВНЕНИИ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
I. Аналитическое представление линии на плоскости ......... 159
§ 79. Уравнение линии (159). — § 80. Примеры: уравнения прямой' • линии и окружности (161).—§ 81. Параметрическое представление линии (165). — § 82. Уравнения линии в различных системах координат (166). — § 83. Основные вопросы, связанные с аналитическим представлением линии (167). — § 84. Примеры различных линий (170). — § 85. Классификация плоских линий (175). — § 86. Распадающиеся и нераспадающиеся алгебраические линии (178). — § 87. О пересечении двух линий (179). ,
II. Различные виды уравнения прямой................... 181
§ 88. Уравнение в коэффициентах направления. Параметрическое представление (181). — § 89. Приведённое уравнение -прямой (183).— § 90. Общее уравнение прямой П85). — § 91. Частные случаи общего уравнения прямой (187). — § 92. Знак трСхчяена Ах-{-By-{-С (188).— § 93. Уравнение в отрезках на осях (190). — § 94. Построение прямой по заданному уравнению (191). — § 95. Геометрическое значение коэффициентов А и В в общем уравнении (191). — § 96. Нормальное уравнение прямой (193).
lib Основные задачи на прямую....................... 195
§ 97. Задача 1. Найти условия параллельности и совпадения двух заданных прямых (196). — § 98. Задача 2. Найти точку пересечения двух прямых (197). — § 99. Задача 3. Найти формулы перехода к ноной декартовой системе, оси которой заданы уравнениями (198). — § 100. Задача 4. Найти точки пересечения данной прямой с данной кривой (199). — § 101. Задача 5. Найти угол между двумя данными прямыми (202). — § 102. Задача 6. Найти условие перпендикулярности двух прямых (204). — § ЮЗ. Задача 7. Найти расстояние данной точки до данной прямой (205). —§ 104. Задача 8. Найти отношение, в котором Данная прямая делит отрезок, соединяющий ППР пяиич*. •.«..«.. /
§ Ю5 чис« езависимТ/пК',СО-ДИНЯЮ1ЦНЙ ДВС ДаННые точки
§ Ю6.
ю ,еря замш,» тощ, и
к заданной прямой (210).— § ПО. Задача 12. Найти прямую, проходящую через заданную точку и составляющую с заданной прямой заданный угол (211). — § 111. Общее уравнение прямых, проходящих через пересечение двух заданных (212). — § 112. Задача 13. Найти прямую, проходящую через пересечение двух заданных прямых и через другую заданную точку (214). — § 113. Условие пересечения трёх прямых в одной точке (215). ^—§ 114. Задача 14. Найти уравнение прямой, проходящей через пересечение заданных прямых и имеющей заданное направление (217). — § 115. Геометрическое значение постоянной ft (218).
ГЛАВА ПЯТАЯ
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ I. Уравнение поверхности. Уравнение линии............... 221
§ 116. Уравнение поверхности (221). — § 117. Уравнение сферы' и кругового конуса в прямоугольных координатах (223). — § 118. Уравнение цилиндра (225). — § 119. Классификация поверхностей (226).— § 120. Уравнения линии (227).—§ 121. Параметрическое представление линий и поверхностей (228). — § 122. О пересечении поверхностей и ,линий в пространстве (230).
П. Уравнение плоскости..........................'. . . . 231
§ 123. Общее уравнение плоскости. Параметрическое представление (231). — § 124. Геометрическое значение коэффициентов А, В, С (233). — § 125. Частные случаи (234). — § 126. Знак четырёхчлена Ах-\- Ву-\- Cz-\-D (235). — § 127. Уравнение в отрезках на осях (235). — § 128. Построение плоскости, заданной уравнением *(2Э6).— § 129. Следы плоскости па плоскостях координат (237). — § 130. Условия параллельности и совпадения двух плоскостей (238).—§ 131. Нормальное уравнение плоскости (239).
III. Уравнения прямо'й в пространстве................... 240
§ 132. Уравнения в коэффициентах направления. Параметрическое представление (240). — § 133. Приведённые уравнения прямой (243).— § 134. Условия параллельности и совпадения двух прямых (244).— .§ 135. Уравнения прямой в общем виде (245).
IV. Основные задачи на прямую и плоскость .............. 247
§ 136. Задача 1. Найти пересечение двух плоскостей (247).— § 137. Задача 2, Найти пересечение трёх плоскостей (248). — § 138. Задача 3. Найти формулы перехода к новой системе декартовых координат, плоскости которой заданы уравнениями (249). — § 139. Задача 4. Найти' пересечение плоскости и прямой (249). — § 140. Задача 5. Найти пересечение: 1° данной поверхности и плоскости; 2° данной поверхности и прямой; 3° данной кризой и плоскости (251). — § 141. Задача 6. Найти углы между данными плоскостями или прямыми (253). — § 142. Задача 7. Найти условия перпендикулярности данных прямых и плоскостей (255). — § 143. Задача 8. Найти расстояние .данной точки до данной плоскости (256). —§ 144. Задача 9. Найти отношение, в котором данная плоскость делит отрезок, соединяющий две данные точки (257). — § 145. Число независимых постоянных, определяющих положение плоскости и прямой в пространстве (257). — § 146. Связка прямых и плоскостей. Пучок плоскостей (258). — § 147. Задача 10. Найти прямую, проходящую через заданную точку и параллельную заданной прямой (или вектору)
ОГЛАВЛЕНИИ
(251). — § 143. Задача 11. Найти прямую, проходящую через задан* ную точку MI (Xi, уi, z,ji и перпендикулярную к заданной плоскости Ax + By+Cz + D = 0 (262). — § 149. Задача 12. Найти прямую, проходящую через две заданные точки (262). — § 150. Задача 13, Найти плоскость, проходящую через заданную точку М (xit ylt zt) я параллельную заданной плоскости (262). — § 151. Задача 14. Найти плоскость, проходящую через заданную точку MI (xit _yt, zt) и перпендикулярную к заданной прямой или вектору (262). — § 152. Задача 15. Найти плоскость, проходящую через заданную прямую и заданную точку (263).—§ 153. Задача 16. Найти плоскость, проходящую через три заданные неко'ллинеарные точки (264). — § 154. Задача 17. Найти плоскость, проходящую через заданную прямую и параллельную другой заданной прямой или вектору (265). — § 155. Задача 18. Найти плоскость, проходящую через заданную прямую и перпендикулярную к заданной плоскости (265). — § 156. Задача 19. Найти условия компланарности (пересечения) двух данных прямых (265). — § 157. Задача 20. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из заданной точки М на заданную прямую А (267). — § 158. Задача 21. Найти расстояние заданной точки до заданной прямой (268). — § 159. Задача 22. Найти уравнения общего перпендикуляра к двум прямым (269).— § 160. Задача 23. Найти кратчайшее расстояние iteiunv nnvua "~-ыыми mm
... --j~ .. ..„^„.WBUJIU Дру-
,~« отданной прямой или вектору (265). — § 155. Задача 18. Найти плоскость, проходящую через заданную прямую и перпендикулярную к заданной плоскости (265). — § 156. Задача 19. Найти условия компланарности (пересечения) двух данных прямых (265). — § 157. Задача 20. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из заданной точки М на заданную прямую А (267). — § 158. Задача 21. Найти расстояние заданной точки до заданной прямой (268). — § 159. Задача 22. Найти уравнения общего перпендикуляра к двум прямым (269).— § 160. Задача 23. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми (270).
ГЛАВА ШЕСТАЯ
МНИМЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. ОДНОРОДНЫЕ ДЕКАРТОВЫ И ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
I. Мнимые геометрические элементы.................... 271
§ 161. Мнимые точки и векторы (271). — § 162. Мнимые прямые и плоскости (274).
II. Однородные координаты и несобственные элементы. Координаты прямой и плоскости........................
§ 163. Однородные декартовы координаты на прямой (275).— § 164. Приложение к корням алгебраического уравнения (277).— § 165. Однородные декартовы координаты па плоскости (279).— § 166. Уравнение прямой на плоскости в однородных координатах (281).—§ 167. Параметрическое представление прямой на плоскости !', однородных координатах (288). — § 168. Однородные декартовы координаты в пространстве (291). — § 169. Параметрическое представление прямой в пространстве (296). — § 170. Координаты прямой на плоскости. Взаимность между точками и прямыми (296). — § 171. Координаты плоскости в пространстве. Взаимность между точками и плоскостями (299). — § 172. Основные геометрические образы проек-тюной геометрии (300). — § 173. Преобразование однородных декартовых координат (301). — § 174. Уравнение алгебраических кривых и поверхностей в однородных координатах. Некоторые общие предложения (304). — § 175. Циклические точки и сферическая окружность (312). 'П. Проективные координаты и проективные преобразования, . . § 176. О дробно-линейных (гомографических) подстановках (315).— » 177. Проективные координаты точки (317).—§ 178. Уравнения алгебраических линий и поверхностей в однородных проективных координатах (323)—§ Ша. Параметрическое представление прямой и "учка в проективных' координатах (325). — § 17А Проективные точеч-
275
314
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание мало чем отличается по своемусодержаний от предыдущего: значительной переработке подверглась лишь глава VI.
Однако некоторые изменения последовательности изложения, ряд дополнительных указаний о порядке прохождения курса и более четкое выделение необязательного для студентов Первого курса материала значительно облегчат, как я надеюсь, усвоение предметй начинающим.
Тбилиси, зима 1945 г.
И- Мусхелашвили
НЕКОТОРЫЕ ПОЯСНЕНИЯ (ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ)
1°. Считаю необходимым дать следующие пояснения относительно характера изложения и выбора материала. Преподавание аналитической геометрии на физико-математических факультетах должно', по моему мнению, преследовать следующую основную цель: ознакомить начинающих с определёнными общими методами приложения анализа к геометрии и развить у учащихся необходимые прочные навыки в этой области. Если бы не эта главная цель, изложение того, сравнительно небольшого, круга геометрических истин, который дается в курсе, потребовало бы значительно меньшего места.
Сверх того, курс аналитической геометрии должен служить двум побочным, но весьма важным целям: приучить учащихся, возможно раньше, к оперированию векторами и к практическому прим?-нению теории' определителей, а также теории линейных и квадратичных форм. Вряд ли какой-либо другой предмет учебного плшй. может лучше служить этим целям.
Я постарался учесть все эти. требования, заботясь и о том, чтобы не слишком перегружать курс. ' " ' _ \
2°. При изложении всякого математического предмета, предназначенного для студентов первых курсов, приходится делать выбор ыежду логической последовательностью и последовательностью, дик- . туемой педагогическими соображениями; вернее, приходится итти «а бблыций или меньший компромисс. Я отдал некоторое предпочтение логической последовательности. Поэтому материал изложен в том порядке, в котором учащемуся следует его проходить при вторичном чтении книги и при дальнейших повторениях курса. При первом же чтений и при лекционном изложении рекомендуется сделать некоторые перестановки, о чём будет сейчас сказано.
3°. Материал, который по тем или иным соображениям можно «читать необязательным для студентов первого курса, отпечатан .мелким шрифтом (петитом); он может быть вовсе опущен без .ущерба для понимания остального текста книги (это не относится к упражнениям, помещённым в конце отдельных параграфов),
При первом чтении книги некоторые параграфы можно (и желательно) временно опускать, с тем,'чтобы возвращаться к ним в дальнейшем; соответствующие указания сделаны в подстрочных примечаниях. Но более существенным является следующее/
В основу построения курса положена хорошо, известная идея классификации геометрических свойств на метрические, аффинные и проективные. Однако идея эта может быть легко усвоена начинающими лишь после того, как, они ознакомятся с определённым конкретным материалом и приобретут некоторые необходимые навыки. Поэтому идея классификации проводится в начале книги в неявной .форме; она излагается явно лишь в конце главы III (§ 78). Мне представляется целесообразным отодвинуть ознакомление с идеей классификации ещё дальше. В связи с этим я рекомендую следующий порядок прохождения курса.
Сначала пройти подряд главы I — V, пропустив ббльшую часть главы III (а именно ограничиться лишь §§ 64 — 66 этой главы) и, .пропустив главу VI, перейти прямо к главе VII, в которой излагаются .элементарные свойства конических сечений.
После этого следует вернуться к пропущенной части главы III •вслед за чем пройти главу VI. Далее (начиная с главы VIII) можно лройти курс в том порядке, как он изложен').
. . А) Можно еще, непосредственно вслед за главой VII, где изучаются элементарные свойства конических сечений, пройти отдел I главы XII, где исследуются формы отдельных поверхностей второго порядка.
4°. Изложение построено так, что для понимания текста, отпечатанного крупным шрифтом, достаточно иметь лишь самое общее-представление о проективных координатах и проективных преобразованиях; для этого, в свою очередь, достаточно лишь бегло просмотреть содержание §§ 176—179 отдела III главы VI.
5°. Относительно приводимых в книге «упражнений» должен заметить, что они ни в коем случае не могут заменить специальный сборник задач: упражнения эти, в большинстве чрезвычайно простые и не требующие никакой изобретательности со стороны читателя, предназначены исключительно для пояснения отдельных предложений и формул, встречающихся до них, а иногда и после них.
6°. В конце книги, в виде «Добавления», даны те элементарные сведения из теории линейных и квадратичных форм, которые необходимы для понимания основного текста книги. Начинающему рекомен-- дуется знакомиться с материалом «Добавления» постепенно, по мере встречи ссылок на отдельные места.
Цена: 300руб.
