ГЛАВА I.
Основные понятия и, положения высшей алгебры.
.,§1. Задача высшей алгебры..................
§ 2. Формулы Маклорена и Тэйлора для целых рациональных
функций.........................
§ 3. Разложение целой рациональной функции на множители ••
§ 4. Кратные корни уравнения................
§ 5. Вопрос о числе корней уравнения............
ГЛАВА И. Комплексные числа.
§ I. Вектор на плоскости и комплексное число........
§ 2. Комплексное число как отношение двух векторов на плоскости..........................
§ 3- Сложение векторов....................
§ 4. Сложение комплексных чисел...............
§ 5. Вычитание комплексных чисел...............
§ 6. Умножение комплексных чисел..............
§ 7. Деление комплексных чисел.............•. . .
§ 8. Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексного числа
§ 9. Тригонометрическая форма комплексных чисел......
§ 10. Извлечение корня.....................
§ 11. Понятие предела для комплексного переменного .....
§ 12. Комплексная величина как показательная функция амплитуды. Формула Эйлера..................
Упражнения ....................... .
ГЛАВА III.
Основное предложение высшей алгебры.
^ •
§ 1. Целый многочлен как функция комплексного переменного
§ 2. Основное предложение высшей алгебры.......-. .
§ 3. Уравнение с действительными коэффициентами. Сопряжённые корни..........•..............
§ 4. Соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями...........................
§ 5. Общий вид разложения целого многочлена в произведение
1*
Приближенное вычисление корней уравнения.
j 1. Отделение действительных корней уравнения. Теорема
, Штурма.......................... 48
«2. Определение верхней и нижней границ положительных (или отрицательных) корней уравнения............. 54
* 3. Графики целых рациональных функций — параболы высших
порядков ......................... 56
4. Приближённое вычисление корней уравнения....... 60
'лгражнения........................ 67
I
ll\ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ.
Ь ВТОРАЯ ЧАСТЬ.
Ц" ГЛАВА I.
jf Интегрирование рациональных функции.
•, 1. Интегрирование элементарных дробей........, . . 68
2. Разложение рациональной дроби на простейшие и инте-Й грирование её (случай действительных корней знамена-
*• ' теля)........................... 69
•§ 3- Разложение рациональной дроби и интегрирование её в слу-
> чае мнимых корней знаменателя.............. 79
ф 4. Соотношение между круговыми функциями и логарифмом.
,; Формула Эйлера...............•....... 88
'§ 5. Метод Остроградского- интегрирования рациональных функций; выделение алгебраической части интеграла от рациональной дроби....................... 89
Упражнения........................ 93
ГЛАВА II.
Интегрирование иррациональных функций.
? 1. Иррациональные функции................. 95
§ 2. Интегрирование выражений, содержащих рациональные степени линейной дроби ................... 96
-§ 3. Интеграл двучленного дифференциала........... 98
$ 4. Интегрирование выражений, содержащих корень из квад-
* ратного трёхчлена..................... 102
Упражнения........................ 109
41 ГЛАВА in.
I» т Интегрирование трансцендентных функций.
J. Интегрирование функций, содержащих трансцендентный
множитель с алгебраической производной.........110
2. Интегрирование функций с трансцендентным множителем*"*,
' sin л* илисозадг.............k .......... ,111
- 3. Интегрирование выражений, зависящих рационально от по-
казательной функции SR(e*}dx...............113
§ 4. Интегралы выражений, зависящих рационально от тригонометрических функций ^Я(зШ*, cos*, tg *...)<**. Инта-
_грирование помощью подстановки............ 1Ы
§ 5. Формулы приведения для интеграла \ sinmx cos** dx. . , Ш § 6. разложение степеней sin"* и cos»* по синусам и косинусам
кратных дуг........................ 118
§7. Интегралы вида f eaxcosbxdx, \eaxsinbxdx....... >12G
Г Г
§ 8. Интегралы вида I х" е"* cos bx dx, \ *" е"* sin bx dx . . 121
§ 9. Некоторые замечательные определённые интегралы . . . .• 122 Упражнения........................12?
ГЛАВА IV.
Функции нескольких переменных. Частные производные.
§ 1. Функции нескольких переметных............. 131
§ 2. Непрерывность функций нескольких переменных..... Ш
§ 3. Частные производные................... 13S
§ 4. Частные дифференциалы. Полный дифференциал...... 14|
§ 5. Дифференцирование сложной функции.......... 147
§ 6." Дифференцирование неявной функции........,• • • 151
§ 7. Теорема о существовании неявной функции........ 152
§ 8. Геометрическое значение частных производных и полного
дифференциала функции двух независимых переменных , . 155 § 9. Уравнение касательной плоскости и нормаль к поверхности .......................... 15i
§ 10. Высшие частные производные. Независимость результата дифференцирования от порядка многократного дифференцирования........................ Ч 16]
§ 11. Высшие частные и полные дифференциалы ........ Ш
§ 12. Теооема Эйлера об однородных функциях....... . J$
Упражнения........................ 16{
ГЛАВА V.
Максимумы и минимумы функций нескольких переменных,
§ 1. Максимум и минимум функции двух независимых переменных. Изыскание тех значений аргумента, при которых функция может иметь максимум или минимум........ . YU
§ 2. Условия существования максимума или минимума функции
двух независимых переменных............... }1
§ 3. Максимум и минимум функции многих переменных.....fi
§ 4. Относительный максимум или минимум......... . И
§ б. Метод Лагранжа для решения вопроса об относительном
максимуме или минимуме.................. Г
Повторительные вопросы...............1
Упра.жнения . . . ,........-.;....,...... . I
': Задачи интегрального исчисления для функций
•'! нескольких переменных.
§ 1. Нахождение первообразной функции по данной частной'
производной........................ 199
f2. Интеграл функции, зависящей от параметра........ 201 3- Дифференцирование под знаком интеграла. Правило Лейбница . . . '....................... . 202
§ 4. Интегрирование по параметру.............. . 211
-§ 5. Геометрическое значение двойного интеграла....... 216
§ 6. Криволинейный интеграл.................. 218
•§ 7. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования ........ ...... ..... ....... 222
§ 8. Интегрирование полного дифференциала......... 226
Повторительные в опросы.............'. . .231
Упражнения........................ 232
ГЛАВА VII.
;•;• Кратные интегралы.
4 1- Двойной интеграл..................... 233
§ 2. Теорема о среднем значении............... 238
§ 3. Вычисление двойного интеграла . . ........... 239
§ 4. Замена переменных. Функциональный детерминант .... 248
•§ 5. Замена переменных в двойном интеграле......... 250
•§ 6. Элемент площади в прямолинейных координатах..... 253
§ 7. Свойства функционального детерминанта......... 256
§ 8. Переход от декартовых координат к полярным. Примеры
применения замены переменных в двукратном интеграле . 256
§ 9. Вычисление поверхности................. 261
5 10. Площадь поверхности в криволинейных координатах . . . 267 § 11. Поверхностный интеграл или интеграл, распространённый
на какую-либо определённую сторону поверхности..... 268
12. Многократные интегралы. Трёхкратный интеграл..... 271
13. Замена переменных в трёхкратном интеграле....... 276
14. Вычисление объёмов................... 281
15. Центр тяжести. Теоремы Гюльдена............ 283
16. Момент инерции..................... 288
(овторительные вопросы............... 290
''Упражнения........................ 291
ГЛАВА VIII.
Соотношения между интегралами, распространенными на область, и интегралами, распространёнными на границу этой области.
L. Формула Грина......................293
. 2. Формула Грина-Остроградского.............. 296
|;3. Теорема Грина........................ 300
4. Формула Стокса . . . . •..............., 301
5. Понятие о векторном анализе...............304
Упражнения....-»..............«. ... 305
Основания теории рядов.
§ 1. Определение рядов. Их сходимость и расходимость .... 305 § 2. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда . . . 307 § 3. Ряды с положительными членами. Признаки их сходимости,
вытекающие из сравнения рядов..............309
§ 4. Признаки сходимости, вытекающие из свойств общего члена ряда или группы таких .членов.............311
§ 5. Иные признаки сходимости ряда.............317
§ 6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость 319
§ 7. Действия с рядами....................325
§ 8. Ряды с комплексными членами...............328
Повторительные вопросы............. . . 329
Упражнения........................330
ГЛАВА X.
Функциональные ряды.
§ 1 Ряды, члены которых зависят от переменного аргумента . 331
§ 2. Равномерная сходимость ......;.......... 333
§ 3. Признак (Вейерштрасса) равномерной сходимости и некоторые свойства равномерно сходящихся рядов...... 335
§ 4. Интегрирование и дифференцирование рядов ....... 336
§ 5. Свойства степенных рядов................ 339
§ 6. Задача разложения функции в степенной ряд; аппроксимация
функции целым многочленом..............' . 345
§ 7. Ряды Тэйлора и Маклорена...........* . . . . 349
§ 8. Разложение в ряд простейших функций.......... 350
§ 9. Косвенные приёмы разложения в степенной ряд некото-
• рых функций......•................ 355.
§ 10. Ряды Тэйлора и Маклорена для функций нескольких переменных......................... 358
§ 11. Ряды Фурье......... •;.....'........ 361
§ 12. Неопределённые выражения . . •............. 374
Упражнения........................ 382
ГЛАВА XI.
Приложение анализа к геометрии.
§ 1. Касательная и нормаль к плоской кривой......... 384
§ 2. Отрезки касательной и нормали. Подкасательная и поднормаль 386 § 3. Отрезки касательной к нормали в полярных координатах.
Полярные подкасательная и поднормаль.......... 387
§ 4. Асимптоты плоских кривых............... . 390
§ б. Особые точки плоских кривых.............. 399
§ 6. Прикосновение плоских кривых между собой ....... 409
§ 7. Кривизна плоской кривой................. 416
§ 8. Радиус кривизны. Центр кривизны. Круг кривизны .... 419
§ 9. Эволюта кривой..................... 422
§ 10. Огибающая семейства кривых................ 426
§ 11. Касательная прямая к пространственной кривой. Нормальная плоскость....................... 432
7
§ 12. Соприкасающаяся плоскость. Главная нормаль и бинормаль 434
§ 13. Кривизна и кручение пространственной кривой . . . . . . 437
§ 14. Системы поверхностей в пространстве.......... 440
Упражнения........................ 447
ГЛАВА ХП.
Дифференциальные уравнения.
§ 1. Общие понятия .......,.....,,»,..,.. 430
§ 2. Общий и частный интегралы дифференциального, убиения 4§1 § 3. Приближённое построение интегральных кривых уравнений
первого порядка.................., л . 456
§ 4. Разделение переменных. Однородные уравнения . . , . ,. + 4S9
§ 5. Линейные уравнения первого порядка.......... . 462
§ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к линейным уравнениям.............. 470
§ 7. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка......................... . , 415
§ 8. Второй способ нахождения особых решений........„ 4?§
§ 9. О существовании решений дифференциальных уравнений
первого порядка.................•..... 481
§ 10. Случаи нарушения единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Аналитическое обоснование существования особых решений ,:„ ™ . ...... 489
§,11. Общие свойства интегралов линейных дифференциальных
уравнений второго порядка . '.............. , 4S&
§ 12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.........,..,... 497
§ 13. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения
второго порядка...............'..",-,. -V . 500
§ 14. Линейные однородные уравнения /г-го порядка...... 501
§ 15. Линейные однородные уравнения /г-го порядка с постоянными коэффициентами................... 505
§ 16. Уравнения Эйлера..................... 509
§ 17. Неоднородные линейные уравнения п-го порядка..... 512
§ 18. Интегрирование уравнений при помощи рядов.....4 520
Упражнения........................ 524"
Алфавитный указатель.................... 528
Цена: 300руб.
