Предисловие........................
ГЛАВА I ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1. Уравнения Фредгольма и Вольтерра........... 14
1.1. Уравнение Фредгольма (14). 1.2. Уравнения со слаГии ьсобен-ностыо (18). 1.3. Уравнения Вольтерра (18).
§ 2. Некоторые другие классы интегральных уравнений .... 20
•ч 1 Уравнения с разностными ядрами (20). 2.2. Уравнение Ви пера — Хоифа(21). 2.3. Парное уравнение (21). 2.4. Уравнения интегральных преобразований (22). 2.5. Сингулярные уравнения (23). 2.6. Нели-нсшшо уравнения (24).
§ 3. Некоторые формулы обращения............. 26
3.1. Обращение интегральных преобразований (26). 3.2. Формулы обращении для уравнений с разностными ядрами (28). 3.3. Уравнение Вольтерра с очной независимой переменной и с разностным адром (31). ;U. Уравнение Абеля (31). 3.5. Уравнения, ядра которых зависят от ги-
псргеометрнческой функции (33).
ГЛАВА II ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА
§ 1. Основные понятия. Теоремы Фредгольма........ 36
1.1. Основные понятия (36). 1.2. Основные теоремы (41).
§ 2. Решение уравнений Фредгольма. Метод последовательных
приближений...................... 43
2.1_. Построение приближений. Ряд Ненмаиа (4.;). 2.2. Резольвента
ядра (43).
§ 3. Решение уравнений Фредгольма. Вырожденные уравнения
п общий случай..................... 47
3.1. Уравнения с вырожденными ядрами (47). 3.2. Общий случай (50).
§ 4. Резольвента Фредгольма................ 52
4.1. Резольвента Фредгольма (52). 4.2. Свойства резольвенты (53).
§ 5. Решение уравнений Фредгольма. Ряды Фредгольма ... 54
5.1. Ряды Фредгольма. Определитель и миноры Фредгольма (54). V-. Выражение собственных функций ядра через миноры Фредгольма (56).
1*
§ 6. Уравнения со слабой особенностью........... 57
6.1. Ограниченность интегрального оператора со слабой особенностью (57). 6.2. Итерации ядра со слабой особенностью (53). 6.3. Метод последовательных приближений (59).
§ 7. Системы интегральных уравнений............ 59
7.1. Векторная форма записи систем интегральных уравнений (59). 7.2. Методы решения для случая фредгольмовскнх ядер (59). 7.3. Методы решения длл случая ядер со слабыми особенностями (GO).
§ 8. Строение резольвенты в окрестности характеристического
числа....................... - 6)
8.1. Ортогональчы.! ядра (61). 8.2. Главны? ядра (S3). 8.3. Каш-пические ядра (62).
§ 9. О порядке роста собственных чисел...........64
1 Л A IS A 111
СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Основные свойства................... 66
1.1. Симметричные ядра (66) 1.2. Основные теоремы о симметричных ядрах (67). 1.3. Системы характеристических чисел и собственных функций (67). 1.4. Процесс ортогонализации (63).
§ 2. Ряд Гильберта — Шмидта и следствия из него ...... 68
2.1. Теорема Гильберта — Шмидтз (68). 2.2. Решение симметричного интегрального уравнений (69). 2.3. Резольвента симметричного ядра (69). 2.4» Билинейные ряд для ядра и его итераций (70).
§ 3. Классификация симметричных ядер........... 71
§ 4. Экстремальные свойства характеристических чисел и собственных функций................... 72
§5. Ядра Шмидта и билинейный ряд для несимметричных ядер 73
§ 6. Решение интегральных уравнений первого рода..... 74
6.1. Симметричные уравнения (74). 6.2, Несимметричные уравнения (75).
ГЛАВА IV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЯДРАМИ
§ 1. Позитивные собственные значения............ 77
1.1. Постановка задачи (77). 1.2. Рассматриваемые классы ядер (77). 1.3. Существование положительной собственной функции (80). 1.4. Сравнение позитивных собственных значений с другими собственными значениями (80). 1.5. Простота позитивного собственного значения (81), 1.6. Стохастические ядра (81). 1.7. Замечания (82).
§ 2. Положительные решения неоднородного уравнения .... 83
2.1. Существование положительного решения (83), 2.2. Сходимость последовательных приближений (84), 2.3. Замечание (84).
§ 3. Оценки спектрального радиуса............. 84
3.1. Постановка задачи (84). 3.2. Оценки сверху (Но). 3.3. Общий метод (86). 3.4. Блочный метод (87). 3.5. Дополнительные замечания (88).
89
§ 4. Осцилляционные ядра ................
г л л в л v
УРАВНЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ НЕПРЕРЫВНЫМИ И ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
§ 1. Условия непрерывности и полной непрерывности линейных интегральных операторов.............. 96
1.1. Постановка задачи (Об). 1.2. Линейные интегральные операторы со значениями в пространстве С (100). 1.3. Общие свойства интегральных операторов в пространствах Lp (101). 1.4. /.-характеристики линейных интегральных операторов (104). 1.5. Линейные (/-ограниченные операторы (105). 1.6. Линейные ?/-коограничсшш'.: операторы (103). 1.7. Признаки с двумя условиями (103). 1.8. Олин тонкий признак непрерывности ч полной непрерывности (110). 1.0. Частные классы интегральных операторов (111). 1.10. Дополнительные замечания (114).
§ 2. Уравнения второго рода. Резольвента интегрального оператора .........................114
2.1. Постановка задачи (114). 2.2. г'е.кмьвепта .пшенного оператора и спектр (116). 2,3. Пространство ядер (117). 2.4. Резольвента линейного интегрального оператора (119). 2.5. Резольвента «улучшающих» операторов (120). 2.6. Условия однозначной разр'еши-мости (121). 2.7. Уравнения с итерированными ядрами (121). 2.8. Союзные уравнения (123). 2.9. Донолнптельные замечания (124).
§ 3. Уравнения второго рода с вполне непрерывными опера-горами в банаховом пространстве ........... 125
3.1. Постановка задачи (125). 3.2. Спектр ьпглне пепрсрышюго оператора (125). 3.3. Расщепление вполне непрерывного оператора (127). 3.4. Спектр интегрального вполне непрерывного оператора (130). 3.5. Теоремы Фредгольма (132). 3.6. Резольвента вполне непрерывного оператора (133). 3.7. Уравнения с улучшающими операторами (134). 3.8. Дополнительные замечания (134).'
§ 4. Уравнения второго рода с вполне непрерывными операторами в гильбертовом пространстве .......... 135
4.1. Введение (135). 4.2. Уравнения с самосопряженным оператором (136). 4.3. Резольвента и спектр самосопряженного интегрального оператора (136). 4.4. Операторы Гильберта - Шмидта (139). 4.5. Операторы Мерсера (140). 4.6. Самосопряженные операторы со значениями в банаховом пространстве (141). 4.7. Положительно определенные самосопряженные операторы (143). 4.8. Разложения Гиль-осрта — Шмидта вполне непрерывных операторов (14-1).
§ 5. Положительные операторы...............146
••>.!. Полуупорядоченные пространства (14о;. 5.2. Общие теоремы о положительных операторах (147). 5.3. Оценки спектрального ра-днуса (148). 5.4. Неоднородное уравнение (149). 5.5. Существование собственного^ вектора (149). 5.6. Простота собственного значения г rt n ''^' ^оисгвен!1Ь1е ^начеши сопряженного оператора (150). HVC iV]r\e'>aTOPb1' оставляющие инвариантным мнннэдральиын ко-
§ 6. Уравнения Вольтерра второго рода...........152
6.1. Постановка задачи (152). 6.2. Основные теоремы (133). 6.3. Дополнительные замечания (154).
§ 7. Уравнения первого рода................154
7.1. Постановка задачи (154). 7.2. Уравнения в гильбертовом пространстве (155). 7.3. Метод регуляризации (136).
ГЛАВА VI
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Основные определения.................159
1.1. Сингулярный интеграл (159). 1.2. Сингулярный питеграт Коши (162). 1.3. Сингулярный интеграл Гильберта (163).
§ 2. Некоторые свойства сингулярных интегралов......164
2.1. Допущения о контуре (164). 2.2. О существовании сингулярного интеграла Коши (164). 2.3. Предельные формулы (165). 2.4. Формулы интегрирования по частям (166). 2.5. Искажение удаляемой дуги (167). 2.6. Правило замены переменной (168).
§ 3. Сингулярные операторы в функциональных пространствах 168
'3.1. Сингулярный оператор (168). 3.2. Инвариантные пространства (168). 3.3. Неляпуновские контуры (170). 3.4. Дальнейшие теоремы об инвариантных пространствах (170).
§ 4. Формулы дифференцирования и интегрирования, содержащие сингулярные интегралы...............171
4.1. Формулы дифференцирования (171). 4.2. Формулы интегрирования (172).
§ 5. Регуляризация.....................173
5.1. Правая и левая регуляризация (173). 5.2. Индекс оператора (174).
§ 6. Случай замкнутого контура. Символ. Теоремы Нетера 176
6.1. Общий сингулярный оператор (176). 6.2. Символ сингулярного оператора (177). 6.3. Теорема Нетера (178). 6.4. Сингулярное уравнение с ядром Гильберта (179). 6.5. Дополнительные замечания (130).
§ 7. Метод Карлемана для замкнутого контура........181
7.1. Сведение сингулярного уравнения к краевой задаче (182).
7.2. Решение краевой задачи (183).
§ 8. Системы сингулярных уравнений с интегралом по замкнутому контуру......................190
8.1. Сингулярный оператор системы (I'M). 8.2. Символ (191).
8.3. Теоремы Нетера (191).
§ 9. Случай разомкнутого контура..............195
9.1. Пример (195). 9.2. Общий случай (197). 9.3. Дополнительные замечания (200).
§ 10. Уравнения Трикоми и Геллерстедта...........202
10.1. Постановка задачи (202). 10.2, Сведение к краевой за даче (203). 10.3. Решение однородной задачи (201). 10.4. Решени неоднородной задачи (20j).
за-ние
я 11 Уравнения с вырождающимся символом........203
ИЛ. Неограниченная регуляризация (206). 11.2. Общее сингулярное уравнение (207). 11.3. Системы сингулярных уравнений (2ЭЗ).
s 12 Сингулярные уравнения в обобщенных функциях .... 210
12.1. Уравнение с невырождающимся символом (210). 12.2. Уравнение с вырождающимся символом (211).
Г ЛАВА VII
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Интегральные уравнения теории потенциала.......213
1.1. Интегральные уравнении задач Дирихле и Неймана и их исследование в случае односвязной границы (213). 1.2. Задача Ро-бена (218). 1.3. Ипешняя задача Дирихле (219). 1.4. Случай несвязной границы (220). 1.5. Смешанная задача теории потенциала (222). 1.6. Распределение характеристических чисел интегральных уравнении теории потенциала (223). 1.7. Распространение на пространства мпигпх измерений (223).
§ 2. Применение теории функций комплексного переменного
к плоским задачам теории потенциала..........225
2.1. Задача Дирихле для односвязной плоской области (223). 2.2. Задача Дирихле для мпогосвязных областей (227). 2.3. Задача Неймана (2301. 2.4. Конформное отображение многосвязных областей (232). Функция Грина и ядро Шварца (233).
2. о
§ 3. Бнгармоническое уравнение и плоская задача теории упру-
235
гости
3.1. Применение функции Грина. Постановка и исследование плоской задачи теории упругости (235). 3.2. Случай односвязной области (23U). 3.3. Применение интегралов типа Кощи. Уравнения П. И. ЛЬсхелишвили (239). 3.4. Уравнения Лауричелла — Шер-мана (240). 3.5. Периодическая задача теории упругости (241). 3.6. Распределение характеристических чисел интегральные уравнений теории упругости (243).
§ 4. Потенциалы уравнения теплопроводности ........ 243
•1.1. Интегральные уравнения задач теплопроводности (243). •1.2. Исследование интегральных уравнений теплового потенциала и сходимость метода последовательных приближений (247).
§ 5. Обобщенный алгорифм Шварца ............. 248
•3.1. Общая формулировка _и сходимость алгорифма в плоской :;;цачс_ тсо_рии потенциала (24S). 5.2. Применение к трехмерным задачам (232). о.З. Применение к теории упругости (254).
§ 6. Применение теории симметричных интегральных уравнений 255
').!. Задача Штурма — Лиувилл •! (256). 6.2. Собственные колеба-пнт струны (237). 6.3". Устойчивость сжатого стержня (259). 6.4. Собственные колебания мембраны (26'J). 6.5. Давление жесткого штампа па упругое полупространство (261).
S 7. Приложения сингулярных интегральных уравнений . . . 262
7.1. Смешанная задача теории потенциала (262). 7.2. Смешанная задача для полуплоскости (264). 7.3. Соприкасание двух упругих полуплоскостей (265). 7.4. Давление жесткого штампа на упругую полуплоскость (266). 7. г,. Смешанная задача теории упругости (267). '•о. Затача об обтекании дуги заданной формы (269).
Л А В А VIII
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЯДРАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ
§ 1. Общие сведения.............•.......272
1.1. Основные уравнения и его частные случаи (272). 1.2. Символ.
Условия нормальной разрешимости (274). 1.3. Уравнения, решаемые
элементарно (275). 1.1. Уравнения, приводящиеся к виду (8.1) (278). 1.5. Пространства функций (230).
§ 2. Примеры.......................282
2.1. Основная задача теории излучения (282). 2.2. Задача о линейном сглаживании п предсказании (282). 2.3. Береговая рефракция электромагнитных волн (283). 2.4. Задача теории наследственной уи-jn г >стн (28|). 2.5. Потенциал проводящего диска (284).
§ 3. Уравнения на полуоси с суммируемыми ядрами .... 284
3.1. Условия разрешимости (284). 3.2. Факторизация (286). 3.3. Решение неоднородного уравнения (288). 3.4. Решение однородного уравнения (290).
§ 4. Парные уравнения с суммируемыми ядрами и транспонированные к ним.....................291
4.1. Приведение парного уравнения к эквивалентному уравнению на полуоси (201). 4.2. Формула для индекса и свойства базиса решений однородного уравнения "(292). 4.3. Уравнение, транспонированное к парному (293).
§ 5. Примеры.......................294
§ 6. Парные уравнения с ядрами экспоненциального роста 298
6.1. Сведение к краевой задаче (29*). 6.2. Случи'! 1 (ЗЭЭ).
6.3. Случаи 2 (302).
§ 7. Метод Винера — Хопфа................305
7.1. Описание метода (393). 7.2. Сведение уравнения (S.I4) к краевой задаче (307). 7.3. Пример (307).
§ 8. Уравнения с вырождающимся символом........308
8.1. Задача Римана (303). 8.2. Уравнение Винера — Хопфа второго рода (312). 8.3. Уравнение Винера — Хопфа первого рода (313).
8.4. Парное уравнение второго рода (314).
§ 9. Примеры .......................316
§ 10. Системы уравнений на полуоси.............319
10.1. Основные предположения (319). 10.2. Факторизация матриц функций (320). 10.3. Условия разрешимости (321). 10.4. Парные уравнения (324). 10.5. Ядра, экспоненциально убывающие на бескопсч ности (326).
§ 11. Уравнения на конечном промежутке..........327
11.1. Сведение к краевой задаче (328). 11.2. Ядра с рациональными преобразованиями Фурье (323). 11.3. Замена дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (329). 11.4. Собственные значения (330;.
МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Простейшие понятия и теоремы............335
1.1. Обозначения (336). 1.2. Сингулярный интеграл (336). 1.3. Условии существования сингулярного интеграла (337). 4j 2. Символ........................340
через его символ (344).
3. Сингулярные операторы в Lp (?,„)...........345
3.1. Условия ограниченности сингулярного оператора (343).
3.2. Разложение простейшего сингулярного оператора в ряд (345).
3.3. Правило умножения символов (347). 3.4. Оператор, сопряженный с сингулярным (347).
§ 4. Сингулярные интегралы на многообразии........34S
4.1. Определение сингулярного оператора и его символа (34S). 4.:.'. Другое определение сингулярного оператора (349).
§ 5. Регуляризация и теоремы Фредгольма.........350
§ 6. Системы сингулярных уравнений............351
6.1. Матрпчны'1 сингулярный оператор (331). 6.2. Снмволичсскат матрица (352). 6.3. Индекс (352).
§ 7. Сингулярные уравнения в пространствах Липшица . . . 355
§ 8. Сингулярные уравнения на цилиндре.......... 357
§ 9. Сингулярные уравнения в пространствах обобщенных
функции........................ 359
§ 10. Уравнения с вырождающимся символом........ 351
•§ П. Сингулярные интегрэ-диффзргнциальные уравнэния . . . 533
§ 12. Сингулярные уравнения на многообразии с краем .... 365
г л А в л х НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Нелинейные интегральные операторы..........368
1.1. Основные понятия теории нелинейных операторов (368).
1.2. Операторы Урысона со значениями в пространстве С (371).
1.3. Операторы Гаммерштейпа со значениями в пространствах L (375). 1.1. Непрерывность оператора Урысона со значениями в пространствах L (377). 1.5. Полная непрерывность операторов Урысона со значениями а пространстве / (378). 1.6. Частные признаки (379). !-'• Опс-раторы со значениям! в пространстве L (38'J). 1.8. Непре-цыо.юеть п полнад непрерывность других интегральных операторов (382). 1.9. Производмы: нелинейных операторов (383). 1.10. Произ-волньго оператора Гаммерштсйна (384). 1.11. Вспомогательныг теоремы »о операторе суперпозиции (387). 1.12, Дифференцируемость оператора ' p'jcona (391). 1.13. Непрерывная дифференцируемость операторов
Цена: 300руб.
