В предлагаемой вниманию читателей книге излагаются основные вопросы аналитической геометрии на плоскости, дифференциального и интегрального исчисления, а также теории функций комплексного переменного; т. е. тот круг вопросов высшей математики, который необходим для студентов и аспирантов технических профилей. К сожалению, в настоящее время все эти вопросы рассредоточены по многим источникам, что существенно затрудняет их изучение.
Более подробно, чем в распространенной учебной литературе, рассматриваются рекуррентные формулы для выполнения алгебраических действий над степенными рядами и формулы численных квадратур, которые позволяют с любой наперед заданной степенью точности определять числовые значения интегралов, включая и те случаи, когда рассматриваемый интеграл не выражается в явном виде через элементарные функции, а также методы решения нелинейных конечных систем алгебраических и трансцендентных уравнений как в действительной области, так и в области комплексной. Учитывая ту роль, которую играют дифференциальные уравнения в самых различных теоретических и прикладных вопросах, в девятой главе, после краткого изложения простейших типов дифференциальных уравнений, более подробно освещены вопросы применения степенных рядов к интегрированию обыкновенных нелинейных и линейных дифференциальных уравнений и их систем. При этом рассматриваются задача Коши (т. е. задача с начальными условиями), краевые задачи и задачи по определению собственных значений.
В связи с переходом в ближайшие годы средней школы к новым программам, в справочнике предпринята попытка устранить существующий разрыв между элементарной и высшей математикой, что будет представлять интерес для учителей, студентов и аспирантов пединститутов, а также для учеников старших классов.
Наряду с этим часть материала, а именно: решение конечных систем алгебраических и трансцендентных уравнений, алгебраические действия над степенными рядами, применений РЯДОВ к решению нелинейных дифференциальных уравнений и т- Д., выходит за рамки существующих программ технических вузов, так что он будет полезен для аспирантов и научных сотрудников, интересующихся прикладной математикой.
Весь материал иллюстрируется большим количеством рисунков и графиков, а также многочисленными примерами, доведенными до окончательных числовых результатов.
Для того чтобы активно усвоить все изложенное в книге, читатель обязательно должен продублировать рассмотренные примеры. Этой же цели служат и упражнения, приведенные в большинстве параграфов и.в конце каждой главы. Ответы и указания к этим упражнениям даны в конце книги. Однако часть упражнений оставлена без ответов, для того чтобы помочь читателю выработать навыки самоконтроля. К сожалению, в практической работе при решении самых различных технических задач в большинстве случаев готового ответа не существует, и поэтому надо уметь найденный результат проверить
самостоятельно.
В заключение автор выражает глубокую благодарность академику АН УССР Ю. А. Митропольскому, с которым был обсужден ряд идей, положенных в основу данной книги.
Автор также искренне благодарит члена-корреспондента АН УССР А. Н. Боголюбова, профессора Н. М. Матвеева и доцента Ф. П. Яремчука за ряд ценных советов и замечаний, которые позволили улучшить изложение материала.
Все критические замечания и пожелания, направленные по адресу: Киев-4, ул. Репина, 3, издательство «Наукова думка», будут приняты с признательностью. Март 1971 г. Автор
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Аналитическая геометрия—это раздел математики, в котором изучают свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей и тел) средствами алгебры и математического 'анализа при помощи метода координат.
Сущность данного метода заключается в том, что геометрическим объектам сопоставляются уравнения или их системы, так что геометрические свойства фигур выражаются в свойст-вах их уравнений. Благодаря этому аналитическая геометрия объединила геометрию с алгеброй и математическим анализом что плодотворно сказалось на развитии, этих трех разделов математики.
В предлагаемой книге мы ограничились изложением основ аналитической геометрии на плоскости, усвоив которые читатель сможет самостоятельно перейти к изучению аналитической геометрии в пространстве, воспользовавшись, например руководствами Н. В. Ефимова [39J, А. В. Погорелова [103](или И. И. Привалова [ПО], в которых краткость и доступность изложения удачно сочетаются с его полнотой и математической
СТРОГОСТЬЮ. Twnve<
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .............................. 3
Часть первая
ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава I. Уравнение прямой...................... 6
§ 1. Основные понятия. Метод координат................ 6
§ 2. Задачи, связанные с точкой.................... 9
§ 3. График функции у — ах + Ь.................... 13
§ 4. Уравнение прямой линии.................... . 15
§ 5. Уравнение с угловым коэффициентом. Формулы параллельного переноса координат.......................... 16
§ 6. Общее уравнение прямой...................., 19
$ 7. Уравнение прямой в отрезках................... 21
§ 8. Уравнение пучка прямых. Уравнение прямой, проходящей через две
данные точки........................... 23
§ 9. Угол между двумя прямыми.................... 25
§ 10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых .... 26
§ 11. Пересечение двух прямых..................... 28
§ 12. Некоторые задачи, решаемые при помощи уравнения прямой линии . 31
Контрольные упражнения........................ 34
Глава II. Кривые второго порядка .................. 36
§ 13. Алгебраические линии и их порядок . . . . ^........... 36
§ 14. Окружность......•..................... 38
§ 15. Эллипс, его вершины, оси симметрии, фокусы и эксцентриситет . . 45
§ 16. Построение эллипса. Применение эллипса в технике........ 52
| 17. Гипербола и ее асимптоты..................... 56'
| 18. Общее преобразование координат. Равносторонняя гипербола .... 64
§ 19. График квадратичной функции................... 70
§ 20. Парабола и ее директриса..................... 74
§ 21. Эллипс, • гипербола и парабола как конические сечения. Полярные
координаты и единое уравнение конических сечений......... $0
§ 22. Исследование общего уравнения второй степени........... 89
§ 23. Заключительные замечания.................... 90
Контрольные упражнения........................ 91
Частьвторая
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Глава III. Элементы дифференциального исчисления.......... 94
§ 24. Функциональная зависимость . . ................. 94
§ 25. Предельный переход....................... 98
§ 26. Предел функции непрерывного аргумента ............, 103
{27. Бесконечно малые и бесконечно большие величины ......... |0д 28. Непрерывность функций. Разрывы первого и второго рода и устранимые разрывы........................... ид
f 29. Свойства непрерывных функций.......... . ....... j2i
: 30. Обратная функция н ее непрерывность. Сложная функция..... \yj
; 31. Производная и ее вычисление................... ]зд
i 32. Геометрическое значение производной............... 135
•'] 33. Дифференцируемость функций................... 133
|' 34. Основные формулы и правила дифференцирования ......... 140
j [ 35. Производная степенной функции................... 147
i 36. Производные тригонометрических и обратных тригонометрических
функций............................. 152
137. Натуральные логарифмы. Число е ................. 156
38. Производные логарифмической и показательной функций...... 163
39. Таблица основных формул и правил дифференцирования...... 166
40. Графическое дифференцирование.................. 168
онтрольные упражнения........................ 170
Глава IV. Исследование функций с помощью производных....... 171
§ 41. Возрастание и убывание функции................. 171
§ 42. Максимум и минимум функции. Экстремальные точки кривой . . .174 § 43. Производные высших порядков. Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба ......................... 180
, , § 44. Второй способ разыскания экстремумов функции......... 186
§45. Задачи на максимум и минимум функции . ............ 189
§46. Уравнение касательной и нормали к кривой. Дифференцирование
неявных функций........................ 195
!47. Кривизна и соприкасающаяся окружность............. 199
48. Асимптоты...........,................ 204
49. Построение графиков....................... 207
50. Раскрытие неопределенностей................... 214
§ 51.. Приращение и дифференциал функции. Аппроксимация любой дифференцируемой функции отрезками прямых............. 218
Контрольные упражнения..............; . ........• 223
Глава V. Элементы интегрального исчисления............. 225
- § 52. Отыскание функции по ее производной. Первообразная и неопределенный интеграл . . ....................... 225
§ 53. Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла. Определение произвольной постоянной по начальным данным....... 227
§ 54. Обращение формул дифференцирования. Таблица простейших интег-
ралов.............................. 22j
§ 55. Основные свойства неопределенного интеграла........... Ml
§ 56. Простейшие способы интегрирования. Непосредственное интегриро-
вание. Интегрирование подстановкой............... ?~
§ 57. Интегрированиг по частям ......•............... ^
§ 58. Определенный интеграл и его связь с неопределенным интегралом.
Формула Ньютона—Лейбница . ........ .,........ •;«
§ 59. Основные свойства определенного интеграла............
§ 60. Вычисление определенного интеграла подстановкой и интегрирова-
нием по частям......................... ogg
§.61. Формула Валлнса ........................ 260
§ 62. Определенный интеграл как предел суммы............ „64
§ 63. Численное интегрирование. Формула трапеций и формула Симпсона .
§ 64. Понятие о математическом моделировании. Определение численного ^
значения интеграла взвешиванием...............• '
§ 65, Исследование функций при помощи интеграла. Круговые и гипероо-
66. Об интегралах, которые не выражаются через элементарные функ- . ции. Эллиптические интегралы.................. 285 ,
67. Вычисление площади произвольной фигуры............ 290
68. Длина дуги кривой....................... 292
69. Вычисление Ьбъема тела по его поперечным сечениям...... . 297
70. Путь, пройденный телом '.'.................... 301 ']':
71. .Заключительные замечания . ,................... 302
штрольные упражнения........................ 308 ;
Чисть третья
НЕКОТОРЫЕ^ ОПРОСЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
пава VI. Основные понятия ..................... 311
.• 72. Вводные замечания ....................... 311
'73. Приближенные числа...... . ................ 314
74. Абсолютная и относительная погрешности.......'...... 317
75. Сложение и вычитание приближенных чисел............ 319
76. Умножение и деление приближенных чисел. Погрешность при вычислении заданной функции ......"............ 322
77. Приближенное извлечение корня................ . 326
78. Оформление вычислений и их контроль.............. 330
79. Табулирование и интерполяция . . ................ 332
80. Уплотнение таблиц, или субтабулирование......~~....... 338 .
8Г. Прямая и обратная табличные задачи............... 347 »
82. Конечные разности. Вычисление таблиц полиномов........ 350
83. О точности полиномиальной интерполяции. Проверка и корректировка таблиц.......................... 357
онтрольные упражнения.............»........... 362
лава VII. Приближенные методы решения конечных уравнений и их
систем............................. 364
84. Численное решение уравнений с одним неизвестным. Графический
, метод отделения корней..................... . 364 -
85. Метод Ньютона, или метод касательных............. 370
86. Метод линейной аппроксимации, или метод хорд......... 377
87. Метод итераций......................... 379
,.88. Решение систем двух уравнений................. 383
89. Решение систем нелинейных уравнений в общем случае. Метод вариации параметров..........-............ 396
90. Решение нелинейных уравнений и их систем в комплексной области 409
91. Заключительные замечания...........•......... 421
рнтрольные упражнения........................ 427
• •ва VIII. Степенные ряды..................... 429
(92. Краткая историческая справка. Основные понятия . . •...... 429
; 93. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.......... 438
V..94. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница........... 441
95. Степенные ряды. Радиус сходимости................ 442
; 96. Разложение в степенные ряды функций In (l + г) и arctgz . . . ." 447.
'•• 97. Вычисление таблиц логарифмов.................. 452
98. Ряд Тейлора...............:.......... 454
" 99. Алгебраические действия над степенными рядами. Рекуррентные
;. формулы............................ 462
100. Деление степенных рядов. Метод неопределенных коэффициентов . . 466
онтрольные упражнения................ .......... 471
—------------------------——,1
Глава IX. Дифференциальные уравнения . .............. 4$
§ 101. Основные понятия и определения................. 47,
§ 102. Уравнение с разделяющимися переменными.......•••••'<№
§ 103. Уравнения, приводящиеся к уравнению с разделяющимися перемен- "* '
ними. Однородное уравнение................... 47!
§ 104. Линейное уравнение первого порядка............... " 4JS
§ 105. Уравнение Бернулли....................... '4$
§ 106. Линейное уравнение второго порядка............... 4#
§ 107. Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэф- •>•
фициентами ......................• • . . 48'
§ 108. Неоднородное линейное уравнение высшего порядка....... . 4$
§ 109. Геометрический смысл уравнения первого порядка......... 49!
§ 110. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. Задача Коши.................... 4S
§ 111. Выделение из решений особенностей............... 50
§ 112. Уравнение Риккати....................... 614
§ 113. Системы уравнений ....................... 5i
§ 114. Краевые задачи......................... 5Я
§ 115. Определение собственных значений. Задача Штурма — Лиувилля . . 54!
§ 116. Уравнение Дуффинга.....................t -.- 59
§ 117. Примеры простейших задач, приводящихся к дифференциальным
уравнениям........................... 5®
§ 118. Заключительные замечания................... . 57
Контрольные упражнения........................ 58
Глава X. Введение в теорию функций комплексного переменного .... 58
§ 119. Комплексные числа..................... . . 5S
§ 120. Основные определения...................... 591
§ 121. Алгебраические действия над комплексными числами........ 59!
, § 122. Возведение в степень и извлечение корня............. 59'
§ 123. Основные геометрические понятия ................ 601
§ 124. Функция комплексного аргумента ................ 601
§ 125! Обратная функция. Непрерывность функции............ 601
'§ 126. Производная. Условия дифференцируемости............ 60'
§ 127. Аналитические функции..................... 615
§ 128.-Интеграл от функции комплексного аргумента........... 614
§ 129. Рациональные функции. Нули и полюсы............. 61J
§ 130. Простейшие иррациональные функции. Точки разветвления..... 61!
§ 131. Показательная функция и ее периодичность............ 621
§ 132. Тригонометрические функции. Формулы Эйлера........•. . 626
§ 133. Другой вывод теоремы сложения. Эффективные формулы для вычисления тригонометрических функций................• Щ
§ 134. Вычисление л с любой наперед заданной точностью. Формулы приведения......'...................... -Р*
§ 135. Графики тригонометрических функций. Составление таблиц..... °Ц
§ 136. Геодезическая съемка. Триангуляция............• • • - °^
§ 137. Гиперболические функции и их связь с показательной и тригоно- •
метрическими функциями.......>.........' ' ' «а
§ 138. Логарифмическая функция................•* ° *'* 'ля
§ 139. Общая степенная и общая показательная функции . . . -...... S3
§ J40. Обратные тригонометрические и гиперболические функции. .... *д
§ 141. Эллиптические функции Якоби.................• J*,
§ 142. Двоякопериодичность эллиптических функций Якоби........ Р"1
§ 143. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют эллиптиче- :•*
ские функции Якоби .....................• ^5
§ 144. Заключительные замечания ................... 5S3
Контрольные упражнения .'................•...... "^
Ответы и указания..................... . . i . • • •'
Латинский и греческий алфавиты . , ................... 711
Таблица I. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции . 712
Таблица II. Показательная и гиперболические функции.......... 714
Таблица III. Коэффициенты для непосредственного интерполирования по
узловым точкам......................... 716
Таблица IV. Полные эллиптические интегралы первого рода....... 720
Таблица V. Некоторые часто встречающиеся постоянные......... 721
Литература .............................. 722
Алфавитный указатель......................... 729
Цена: 300руб.
