Предисловие к первому изданию............ 8
Предисловие ко второму изданию........... 11
Предисловие к третьему изданию........,. • 12
Г л а и а 1. Введение................ 13
§ 1.1. Вступление.............. 13
§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок........ 13
§ (.Л. Функция ...,,.••••..... 16.
5 l.'i. Понятие непрерывности функции . •...... 27
S 1.Г-. Производная...............30
§ !.(•;. Первообразная. Неопределенный интеграл..... 30
5 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры.............. 38
Г л а и а 2. Действительное число ........ . . 43
§2.1. Рациональные и иррациональные числа...... 43
§ 2.2. Определение неравенства.......... 48
§ 2.Н. Определение арифметических действий......ч 49
$ 2.1. Основные свойства действительных чисел ...... 52
§ 2.."i. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Длина отрезка, физические величины..... 55
§ 2.(>. Дополнение.............. til
$ 2.7. Неравенства для абсолютных величин...... 63
$ 2.8. Точные верхняя и нижняя грани множества . . ... 64
Г л А в а 3. Предел последовательности........ . 66
§ 3.1. Понятие предела последовательности . . . ... . 66 -
$ 3.2. Арифметические действия б пределами . . .... 70
§ 3.3, Бесконечно малая и бесконечно большая величины . . 72 § 0.4. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности . . .......... 74
§ 3.5, Число е.............. 76
* З.С. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных гра-
ней множества и сечения во множестве действительных
чисел............... 77 "
s 3.7, Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы . .79
& -18, Критерий Коши существования предела..... 86
* 3.9. Теорема Вейерштрасса.......... 88
ь 3.10. Счетное множество. Счетность множества рациональных
чисел. Несчетность множества действительных чисел . . 89
1*
Глава 4. Предел функции............. 92
§ 4.1. Понятие предела функции......... 100
§ 4.2. Непрерывность функции в точке....., . 105
§ 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция
§ 4.4. Функции, непрерывные на отрезке . . . . . . 109
§ 4.5. Обратная функция.......v , . . 113
§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции . . . . 11В
§ 4.7. Степенная функция хь ........ 120
§ 4.8. Еще о числе е............ 121
§ 4.9.1im!i2l?.............. 122
х-»о х
§ 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика) 123
Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной................. 127
§ 5.1. Производная............. 127
§ 5.2. Дифференциал функции.......... 131
§ 5.3. Производная функции от функции . '..... 133
S 5.4. Производная обратной функции...... 135
§ 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций 138 § 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка . . 139 § 5.7. Возрастание и.убывание функции на интервале п в точке. Локальный экстремум........ . 143
§ 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убывания функции на интервале. Достаточные критерии
локальных экстремумов.......... 145
§ 5.9. Формула Тейлора........... . 150
§ 5.10. Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций 158
§ 5.11. Ряд Тейлора . ........... 162
§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба .... 106
§ 5.13. Выпуклость кривой на отрезке........ 168
§ 5.14. Раскрытие неопределенностей . .'...... \Ш
§ 5.15. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции . . 174
Глава 6. п -мерное пространство. Геометрия кривой..... 177
§ 6.1. n-мерное пространство. Линейное множество .... 177 § 6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скалярным произведением......... 178
§ 6.3. Линейное нормированное пространство . . . - . . 181
§ 6.4. Вектор-функция в n-мерном евклидовом пространстве . 182
§ 6.5. Кривая в n-мёрном пространстве....... 185
§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции . . 191
§ 6.7. Длина дуги кривой . . ......... 192
§ 6.8. Касательная. Нормаль к плоской кривой ..... 194 § 6.9. Кривизна и радиус кривизны кривой. Плоская кривая.
Эволюта и эвольвента........... 196
§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость и подвижный триэдр кривой 202
207
§ 0.11. Асимптота............' ' ' опо '
$ 6.12. Замена переменных........... -UJ
ва7 Дифференциальное исчисление функций многих переменных 211
§ 7.1. Открытое множество........., 211
tj 7.2. Предел функции............ 214
§ 7.3. Непрерывная функция.......... 217
s 74. Частные производные и производная но направлению 221 ij 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость' 223 § 7.6. Производная сложной функции; производная по направлению; градиент........... 227
§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования . . . 233
§ 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка 235 § 7.9. Предельная точка. Теорема Вейерштрасса. Замкнутые и
открытые множества ........... 239
§ 7.10. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций
на замкнутом ограниченном множестве..... 245
§ 7.11. Продолжение равномерно непрерывной функции. Частная
производная на границе области........ 250
§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля 251 •
§ 7.13. Формула Тейлора............ 252
§ 7.14. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано. Единственность................ 257
§ 7.15. Локальный (абсолютный) экстремум функции .... 258
§ 7.16. Теоремы существования неявной функции..... 262
§ 7.17. Теорема существования решения системы уравнений . , 267
$ 7.18. Отображения............. ^272
§ 7.19. Гладкая поверхность........... 275
§ 7.20. Гладкая поверхность, заданная параметрически. Ориентируемая поверхность........... 279
§ 7.21. Пример неориентируемой поверхности. Лист Мёбиуса 284
§ 7.22. Локальный относительный экстремум...... 285
§ 7.23. Особые точки кривой........... 292
5 7.24. Кривые на поверхности.........'. 296
§ 7.25. Криволинейные координаты в окрестности гладкой границы области.............. 302
§ 7.26. Замена переменных в частных производных .... 304
§ 7.27. Система зависимых функций ........ 308
1 •! а в а 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов -t . 312 § 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрироваяия
по частям .............. 312
5 8.2. Комплексные числа........... 318
§ 8.3. Предел последовательности комплексных чисел. Функция
комплексного переменного......... 322
§ 8.4. Многочлены............. 326
§ 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби 330
3 ".и. j:iini;ipJi|JLn>aJTtic рацш/лалопшл дуииси • • . . • ООО
§ 8.7. Метод Остроградского выделения рациональной части из
интеграла............., 336
§ 8.8. Интегрирование алгебраических иррациональностей . . 34Э
§ 8.9. Подстановки Эйлера . . . . . .' . . . . . 341,
§ 8-. 10. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева . . 343
§ 8.11. Интегрирование тригонометрических выражений . . . 344
§ 8.12. Тригонометрические подстановки....... 348
§ 8.13. Несколько важных интегралов, не выражаемых в элементарных функциях............ 348
Глава 9. Определенный интеграл Рнмана . . ...... 350
§ 9.1. Вводная часть и определение...... . . 350
§ 9.2. Ограниченность интегрируемой функции . . . . . 351
§ 9.3. Суммы Дарбу............. 352
§ 9.4. Основная теорема............ 354
§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и
монотонной функции на [в, 6]........ 357
§ 9.6. Теорема Лебега..........." . 358
§ 9.7. Аддитивные и однородные свойства интеграла . . . 360
§ 9.8. Неравенства и теорема о среднем ....... 362
§ 9.9. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона— Лейбница........... . 364
§ 9.10. Вторая теорема о среднем......... 368
§ 9.11. Видоизменение функции . ........ 369
§ 9.12. Несобственные интегралы . ........ 371
§ 9.13. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 375
§ 9.14. Интегрирование по частям.......... 378
§ 9.15. Несобственный интеграл и ряд........ 380
§ 9.16. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких
точках....... . ........ 384
§ 9.17. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме . . 388
§ 9.18. Формулы Валлиса и Стирлинга........ 389
Глава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближенные методы................. 393
§ 10.1. Площадь в полярных координатах ;..... 393
§ 10.2. Объем тела вращения .......... 394
§ 10.3. Длина дуги гладкой кривой........ 395
§ J0.4, Площадь поверхности тела вращения...... 397
§ 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа..... 398
§ 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций 399
§ 10.7. Общая квадратурная формула. Функционал .... 401
§ 10.8. Формула Симпсона . . . ,....... . 402
§ 10.9. Общий метод получения оценок квадратурных формул 403
§ 10.10. Еще о длине дуги........... 409
§ .10.11. Число л. Тригонометрические функции..... 409
. . 413 Глава И. Ряды............
к 111. Понятие ряда........• • • •
к Ц2 Действия с рядами........... «14
! 11 з. Ряды с неотрицательными членами...... -»5
с ц/,. Ряд Лейбница........' ' ' ' /о!
i ||5. Абсолютно сходящиеся ряды......... 4Z»
с 11 о Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами............ 425
к ||7 Иостедовательность и ряды функций. Равномерная сходимость............... 427
к 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов нач>трезке......... 433
S 1)9 Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся ря-
'"дов................. 438
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом
средних арифметических .......... 442
§ 11.11. Степенные ряды............ 443
§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 447 § 11.13. Степенные ряды функций ег, cos г. sin г комплексной
переменной ............. 451
До н о.-г пение. Приближенное вычисление элементарных функций 454
Предметный указатель ,............. 460
Цена: 150руб.
