Предисловие ко второму изданию................. 10
Введение............................... 11
§ 1. Вводные понятия и определения............... 11
1°. Понятия дифференциального уравнения с частными
производными и его решения............... 11
2°. Понятие характеристической формы и классификация
линейных уравнений второго порядка......... 13
3°. Классификация уравнений высшего порядка...... 15
4°. Системы уравнений с частными производными..... 16
§ 2, Приведение к каноническому виду линейных уравнений .с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными.................... 17
1°. Характеристические кривые и характеристические направления ......................... 17
2°. Приведение к каноническому виду уравнения второго
порядка с двумя независимыми переменными..... 19
§ 3. Простейшие примеры трех основных типов уравнений с
частными производными второго порядка......... 22
1°. Уравнение Лапласа.................... 22
2°. Волновое уравнение.................... 25
3°. Уравнение теплопроводности............... 28
4°. Постановка некоторых задач для уравнений с частными
производными ....................... 29
§ 4. Понятие интегрального уравнения.............. 30
1°. Основные определения и обозначения.......... 30
2°. Классификация линейных интегральных уравнений . . 31
§ 5. Упрощенные математические модели некоторых явлений,
изучаемых в физике и технике................ 33
1°. Электростатическое поле................. 33
2°. Колебания мембраны................... 35
3°. Распространение тепла.................. 37
4°, Движение материальной точки под действием силы
тяжести........................... 39
Глава I
Уравнения эллиптического типа.................. 41
§ 1. Основные свойства гармонических функций......... 41
1°. Определение гармонической функции и некоторые ее
элементарные свойства................... 41
2°. Интегральное представление гармонических функций 44 1*
3°. Формулы о среднем арифметическом.......... 45
4°. Принцип экстремума и единственность решения задачи
Дирихле .......................... 46
§ 2. Понятие функции Грина и решение задачи Дирихле для
шара и полупространства................... 47
\°. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа ............................. 47
2°. Решение задачи Дирихле для шара. Формула Пуассона 49
3°. Проверка краевых условий................ 52
4°. Решение задачи Дирихле для полупространства .... 53 5°. Некоторые важнейшие следствия, вытекающие из формулы Пуассона. Теоремы Лиувилля и Гарнака .... 54
§ 3. Потенциал объемных масс.................. 57
1°. Непрерывность потенциала объемных масс и его производных первого порядка ................. 57
2°. Существование производных второго порядка потенциала .объемных масс................... 58
3°. Уравнение Пуассона................... 60
4°. Формула Гаусса...................... 63
§ 4. Потенциалы двойного и простого слоя........... 64
1°, Определение потенциала двойного слоя......... 64
2°. Формулы скачка для потенциала двойного слоя и редукция задачи Дирихле к интегральному уравнению 67
3°. Потенциал простого слоя. Задача Неймана...... 70
4°. Внешние задачи Дирихле и Неймана.......... 72
§ 5, Некоторые сведения из общей теории линейных эллиптических уравнений второго порядка ............. 74
1°. Сопряженные операторы. Формула Грина....... 74
2°. Существование решений линейного эллиптического уравнения второго порядка.................. 75
3°. Постановка краевых задач................ 78
4°. Принцип экстремума. Единственность решения задачи
Дирихле .......................... 79
5°, Обобщенные потенциалы простого и двойного слоя . . 81
Глава II
Система Коши — Римана.
Элементы теории аналитических функций............ 83
§ 1. Понятие аналитической функции комплексного переменного ............................... 83
1°. Система Коши — Римана................. 83
2°. Понятие аналитической функции............. 84 '
3°. Примеры аналитических функций.........., . 87
4°. Конформное отображение................. 90
5°. Конформные отображения, осуществляемые некоторыми элементарными функциями, и обращение этих функций. Понятие римановой поверхности.......... 93
§ 2. Комплексное интегрирование................. 100
1°. Понятие комплексного интегрирования......... 100
2°, Теорема Ковш................,,.,.., 102
3°. Интегральная формула Коши.............. 104
4°' Интеграл типа Коши................... 107
5°.' Сопряженные гармонические функции. Теорема Морера 108
$ 3 Важнейшие следствия, вытекающие из интегральной фор-
9 ' мулы Коши........................... ПО
1°. Принцип максимума модуля аналитической функции ПО
2°. Теоремы Вейерштрасса.................. 111
3"'. Ряд Тейлора........................ 113
4°. Единственность аналитической функции. Теорема Лиувилля ............................ 115
5°. Ряд Лорана........................ 116
6°. Понятия особых точек и вычета аналитической функции 119
7°. Формула Шварца. Решение задачи Дирихле...... 124
s 4. Аналитическое продолжение ............ 127
1°. Понятие аналитического продолжения.......... 127
2°. Принцип непрерывности................ 127
3°. Принцип симметрии Римана — Шварца......... 128
§ 5. Формулы для предельных значений интеграла типа Коши
и некоторые их приложения............... 130
1°. Понятие интеграла в смысле главного значения по Коши 130
2°. Касательная производная потенциала простого слоя 131
3°. Предельные значения интеграла типа Коши...... 133
4°. Понятие кусочно-аналитической функции........ 136
5°. Приложения к краевым задачам............. 137
§ 6. Функции нескольких переменных.............. 142
1°. Вводные понятия и обозначения............. 142
2°. Понятие аналитической функции нескольких переменных............................. 143
3°. Степенной ряд о несколькими переменными ...... 145
4°. Интегральная формула Коши и теорема Тейлора . . . 147
5°. Аналитические функции действительных переменных 149
6°. Конформные отображения в евклидовых пространствах 151
Глава III
Уравнения гиперболического типа................. 154
§ 1. Волновое уравнение...................... 154
1°. Волновое уравнение с тремя пространственными переменными. Формула Кирхгофа.............. 154
2е. Волновое уравнение с двумя пространственными переменными. Формула Пуассона............... 156
3°. Уравнение колебаний струны. Формула Даламбера . . 157 4°. Понятия области зависимости, области влияния и области определения...................... 158
§ 2, Неоднородное волновое уравнение.............. 160
1°. Случай трех пространственных переменных. Запаздывающий потенциал..................... 160
„ „ * • Случай двух и одноге пространственных переменных 161 S о. Задачи, корректно поставленные для гиперболических уравнений ........................... . . 162
Iе. Единотвеиыеоть решения задачи Коши ..,.,.,,, 163
2°. Корректность постановки задачи Коши.........
3°. Общая постановка задачи Коши.............
4°. Задача Гурса (характеристическая задача).......
5°. Некоторые некорректно поставленные задачи.....
§ 4. Общее линейное уравнение второго порядка гиперболического типа с двумя независимыми переменными......
1°. Функция Римана.....................
2°. Задача Гурса........................
3°. Задача Коши........................
Глава IV
Уравнения параболического типа .................
§ 1. Уравнение теплопроводности. Первая краевая задача . . .
1°. Принцип экстремума...................
2°. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности ..............................
§ 2. Задача Коши —Дирихле...................
1°. Постановка задачи Коши—Дирихле и доказательство
существования ее решения................
2°. Единственность и устойчивость решения задачи Коши —
Дирихле ..........................
3°. Неоднородное уравнение теплопроводности.......
§ 3. О характере гладкости решений уравнений с частными производными .........................
1°. Случай эллиптических и параболических уравнений . . 2°. Случай гиперболических уравнений...........
Глава V
Интегральные уравнения......................
§ 1. Метод последовательных приближений решения интегральных уравнений .........................
1°. Общие замечания.....................
2°. Построение решения уравнения Фредгольма второго рода при малых значениях параметра методом последовательных приближений ................
3°. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода . . .
§ 2. Теоремы Фредгольма.....................
1°. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода
с вырожденным ядром...................
2°. Понятия итерированного ядра и резольвенты.....
3°. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода
с непрерывным ядром...................
4°. Понятие спектра......................
5°. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода
с кратным интегралом......... .......
6°. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода . . '. § 3. Применения теории линейных интегральных уравнений второго рода ...,,,,.,,,,,....,,,.,,,.,.. 5
1°. Применение альтернативы Фредгольма в теории краевых задач для гармонических функций......... 201
2°. Редукция задачи Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений к интегральному уравнению Вольтерра второго рода ............ 204
3°. Краевая задача для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка ....... 206
s 4. Сингулярные интегральные уравнения........... 209
1°. Понятие сингулярного интегрального уравнения .... 209
2°. Интегральные уравнения Гильберта........... 209
3°. Преобразование Гильберта................ 212
4°. Интегральное уравнение теории крыла самолета . . . 213 5°. Интегральное уравнение с логарифмическим ядром . . 215 Глава VI Методы, наиболее часто применяемые на практике
при решении уравнений с частными производными....... 217
§ 1. Метод разделения переменных................ 217
1°. Решение основной смешанной задачи для уравнения
колебаний струны..................... 217
2°. Задача колебаний мембраны............... 221
3°. Понятие полной ортонормированной системы функций 224
4°. Случай круговой мембраны................ 227
5°. Общие замечания относительно метода разделения переменных .......................... 230
6°. Шаровые и сферические функции............ 232
7°. Вынужденные колебания................. 234
§ 2. Метод интегральных преобразований............ 235
1°. Интегральные представления решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка ............................ 235
2°. Понятия преобразований Лапласа, Фурье и Меллина 241 3°. Применение интегральных преобразований к задачам для дифференциальных уравнений с частными производными ........................... 243
4°. Применение преобразования Фурье при построении глобального решения задачи Коши для уравнения
колебаний струны..................... 245
5°. Понятие свертки...................... 248
6°. Понятие б-функции Дирака............... 251
i 3. Метод конечных разностей.................. 252
1°. Конечно-разностная замена уравнений с частными производными ......................... 252
2°. Задача Дирихле для уравнения Лапласа........ 254
3 . Первая краевая задача для уравнения теплопроводности .............................. 255
4°. Общие замечания относительно метода конечных раз-
„ . «остей............................ 256
4. Асимптотическое разложение................. 256
Г. Асимптотическое разложение функции одного переменного............................. 266
2°. Метод Ватсона построения асимптотических разложений .............................
3°. Метод перевала......................
§ б. Понятие о вариационных методах..............
1°. Принцип Дирихле.....................
2°. Задача о собственных значениях............
3°. Минимизирующие последовательности..........
4°. Понятие о методе Ритоа.................
5°. Построение приближенного решения задачи о собственных значениях. Понятие о методе Бубнова —Галеркина § 6. Построение приближенного решения задачи Дирихле для
гармонических функций в круге...............
1°. Задача Дирихле для гармонических функций с разрывными краевыми условиями................
2°. Справедливость формулы Пуассона решения задачи Дирихле при наличии разрывов в краевых условиях
3°. Построение приближенного решения задачи Дирихле для гармонических функций в круге..........
Глава VII
Нелинейные уравнения в частных производных.........
f I. Уравнения Коши — Ковалевской...............
1°. Определение системы К оши — Ковалевской и постановка задачи Коши для нее...............
2°, Редукция системы (3) к системе первого порядка . . .
3°. Задача Коши с аналитическими данными. Теорема Коши — Ковалевской....................
4°. Понятие мажоранты аналитической функции......
5е. Доказательство теоремы Коши — Ковалевской при отсутствии в задаче (17), (18) пространственных переменных .............................
6е. Доказательство теоремы Коши — Ковалевской для задачи (17), (18).......................
7°. Некоторые другие замечания относительно задачи
Коши (18) для системы Коши — Ковалевской (17) . . .
§ 2. Нелинейные гиперболические и эллиптические уравнения
второго порядка ........................
1°. Нелинейные уравнения гиперболического типа ....
2°. О единственности решения задачи Гурса........
3е. Задача Коши для одной квазилинейной гиперболической системы........................
4°. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка
8е, Достаточное условие единственности решения задачи Дирихле для нелинейного равномерно эллиптического
уравнения второго порядка................
f 8. Некоторые классы нелинейных уравнений в частных производных ............................
1е. Общее представление решений одного класса квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка...........................
2° Редукция одного класса квазилинейных уравнений
' второго порядка к линейному уравнению...... 307
3° Некоторые другие примеры уравнений вида (95) ... 310 4°. Построение точных решений еще одного класса квазилинейных уравнений................... 312
5° Система уравнений ферромагнетизма.......... 314
6°! Одномерный случай гамильтониана (119)........ 317
7°.' Варианты уравнений гравитационного поля...... 318
8°.' Уравнение Лиувилля................... 321
9°. Синус-уравнение Гордона................. 323
10*. Задача Коши — Дирихле для одного класса нелинейных уравнений параболического типа ......... 323
1Г. Задача Коши для уравнения (86)........... 327
редметный указатель.............,........ 330
Цена: 150руб.
