Роль математики в научно-техническом прогрессе весьма велика, а в последние десятилетия она возросла особенно. Математика, которая традиционно обслуживала механику, астрономию и некоторые разделы физики, сейчас активно вторгается в технику, экономику, науку об управлении, начинает завоевывать плацдармы в медицине, биологии и других областях естественных и общественных наук. Возрастает и интерес к математике среди неспециалистов, особенно молодежи, желание разобраться в особенностях математических методов, понять, в чем сила и привлекательность этой науки.
Книга написана по заказу Британской энциклопедии и призвана дать представление о математике, доступное достаточно широким читательским кругам. Ее авторы — американские ученые, выходцы из Польши. Оба они известны не только научными результатами, но и своей деятельностью по популяризации науки. Марк Кац в течение ряда лет руководил Исследовательской группой по школьной математике США, Станиславу Уламу принадлежит собрание задач и проблем из разных разделов математики. Советским читателям М. Кац и С. Улам известны по переводу ряда их книг и статей.
Большую часть книги занимает первая глава, которая называется «Примеры». В ней разбирается много конкретных задач из разных областей математики, иллюстрирующих богатство и своеобразие ее идей. Задачи эти составляют, так сказать, экспериментальный фактический материал, без которого понять, что представляет собой математика, невозможно. Они подобраны с большим вкусом, изложены живо, интересно и по возможности доступно. Авторы начи-.
нают с широко известных идей расширения понятия числа и осуществимости геометрических построений, затем переходят к основам теории вероятностей и, наконец, к теории групп и линейной алгебре. По мере накопления фактов обсуждаются их связи друг с другом и с физикой — постепенно из отдельных деталей начинает вырисовываться величественная картина математики. ,
'Следующая глава «Темы, тенденции и синтез» призвана завершить создание этой картины. Здесь оттеняются наиболее важные идеи, поданные в их развитии. Особое место уделяется логике и основаниям математики, а также изменениям, которые вызвало в математике появление электронных вычислительных машин.
Третья глава посвящена связям математики с другими науками. Здесь, в частности, коротко излагаются задачи массового обслуживания (теории очередей), теории игр и теории информации. В небольшой последней главе «Итоги и перспективы» уже совсем бегло описываются некоторые самые свежие исследования и делаются предположения о дальнейшем их развитии.
Не со всеми утверждениями авторов можно согласиться, В частности, вызывает возражения неоднократно высказываемая ими мысль о том, что внешний мир является лишь источником математических понятий и теорий, а дальше математика развивается независимо по своим внутренним законам. Конечно же, связи математики с внешним миром неизмеримо глубже и богаче. Чтобы составить правильное представление об этом и других методологических вопросах, читатель должен обратиться, например, к статье А. Н. Колмогорова «Математика» в 26-м томе Большой советской энциклопедии и к книге «Математика, ее содержание, методы и значение» (Изд-во АН СССР, М„ 1956).
Спорным является и то, что авторы выделяют из математики и относят к другим наукам такие важные разделы, как теория игр и теория информации. Пожалуй, слишком критически они относятся и к возмож-
ностям применения математических методов в экономике и совсем ничего не говорят о применениях в психологии, педагогике и других науках, изучающих интеллектуальную деятельность.
С сожалением приходится отметить, что вообще новые разделы математики, особенно прикладные, не нашли в книге столь полного и яркого отражения, как классические. По-видимому, эти разделы заслуживают отдельной книги того же объема и столь же интересной. Но такая книга еще не написана...
Эта же книга, несмотря на отмеченные недостатки, доставит истинное удовольствие всем, кто любит ма-: тематику, независимо от того, знает он ее, или только начинает с ней знакомиться.
спираль) расщепляется на две цепи. Составные элементы каждой из этих цепей находят для себя комплементарные элементы в окружающей среде; таким образом из двух одинарных цепей ДНК получаются две новые двойные цепи, идентичные исходной двойной спирали. Последовательность четырех' оснований, из которых состоит молекула ДНК, служит генетическим кодом клетки и всего организма. В этой последовательности закодирована, в частности, информация о биосинтезе белков. Кроме того, в ней, по-видимому, содержатся и инструкции (с логической точки зрения более высокого порядка) о функциональном поведении, нечто вроде общей «блок-схемы» для вычислительной машины. Другие находящиеся в клетке молекулы, по-видимому, получают все эти инструкции от ДНК и передают их далее, туда, где происходят процессы биосинтеза.
В понимании механики, логики и комбинаторики этих процессов полной ясности достичь пока что не удалось. Несомненно во всяком случае, что при математическом анализе новых логических схем, которые вводятся для описания этих' процессов, будут обнаружены какие-то новые элементы, не используемые в формальном аппарате современной математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства................. 5
Введение.................... 8
Глава 1. Примеры ................ 15
§ 1. Бесконечность множества простых чисел .... 15
§ 2. Иррациональность числа У 2......... 19
§ 3. Приближения рациональными числами..... 23
§ 4. Трансцендентные числа: канторовское доказательство .................. 29
§ 5. Еще некоторые доказательства невозможности . . 32
§ 6. Лемма Шпернера............. 40
§ 7. Искусство и наука счета.......... 45
§ 8. Отступление о числовых системах и о функциях . 50
§ 9. Искусство и наука счета (продолжение) .... 57
§ 10. Вероятность и независимость......... 60
§ 11. Мера.................. 77
§ 12. Еще о теории вероятностей......... 84
§ 13. Группы и преобразования.......... 88
§ 14. Группы гомологии............. 100
§ 15. Векторы, матрицы и геометрия........ 108
§ 16. Специальная теория относительности как пример
геометрического подхода в физике....... 130
§ 17. Преобразования, потоки и эргодичность..... 142
§ 18. Еще об итерации и композиции отображений ... 148
§ .19. Легко ли доказать очевидное?......... 152
Глава 2. Темы, тенденции и синтез.......... 157
Глава 3. Связь с другими науками . . . ....... 212
Глава 4. Итоги и перспективы.........* . . 235
Цена: 150руб.
