Предисловие.................. 8
ЧАСТЬ I
ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент . . 11
1. Схема вычислительного эксперимента (11). 2. Вычислительный алгоритм (12).
3. Требования к вычислительным методам (14).
§ 2. Погрешности округления.............16
1. Представление вещественных чисел в ЭВМ (16). 2. Округление чисел в ЭВМ (17). 3. Накопление погрешностей округления (19). 4. Разностные уравнения первого порядка (20). 5. Оценки погрешностей округления (22).
§ 3. Разностные уравнения второго порядка.........25
1. Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений (25). 2. Однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
(26). 3. Однородное разностное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (28). 4. Неоднородное разностное уравнение второго порядка (31).
§ 4. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений ... 34
1. Сетки и сеточные функции (34). 2. Разностная краевая задача (35). 3. Некоторые разностные тождества (38). 4. Разностная задача на собственные значения (39). 5. Свойства собственных значений и собственных функций (41). 6. Разрешимость и сходимость разностной задачи (43). 7. Метод прогонки (45).
ЧАСТЬ II
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА
Глава 1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений ..................48
§ 1. Метод Гаусса численного решения систем линейных алгебраических
уравнений.................49
1. Основная идея метода (49). 2. Расчетные формулы (51). 3. Подсчет числа действий (53).
§ 2. Условия применимости метода Гаусса........54
1. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители (54). 2. Теорема об Lf-разложении (55). 3. Элементарные треугольные матрицы (58).
5 3. Метод Гаусса с выбором главного элемента.......60
1. Основная идея метода (60). 2. Матрицы перестановок (61). 3. Пример (62).
4. Общий вывод (65). 5. Доказательство теоремы 1 (66). 6. Вычисление определителя (67).
§ 4. Обращение матрицы..............68
§ 5. Метод квадратного корня............69
1. Факторизация эрмитовой матрицы (69). 2. Пример (70). 3. Общие расчетные Формулы (71). 4. Подсчет числа действий (72).
Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений . . 74
1- Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений (74). 2. Число обусловленности (76). 3. Полная оценка относительной погрешности (77). •Влияние погрешностей округления при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (79).
Глава 2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений...............82
§ 1. Примеры и канонический вид итерационных методов решения систем
линейных алгебраических уравнений..........82
1. Итерационные методы Якоби и Зейделя (82). 2. Матричная запись методов Якоби и Зейделя (83). 3. Каноническая форма одношаговых итерационных методов (84).
§ 2. Исследование сходимости итерационных методов......86
§ 3. Необходимое и достаточное условие сходимости стационарных итерационных методов...............90
1. Введение (90). 2. Норма матрицы (91). 3. Теорема о сходимости итерационного метода (92). 4. Продолжение доказательства (93).
§ 4. Оценки скорости сходимости стационарных итерационных методов . 95 1. Скорость сходимости итерационного метода (95). 2. Оценки скорости сходимости в случае симметричных матриц А и В (96). 3. Правила действий с матричными неравенствами (98). 4. Доказательство теоремы 1 (100). 5. Оценка погрешности в случае несимметричной матрицы В (102).
§ 5. Многочлены Чебышева.............103
1. Многочлен Чебышева на отрезке [—1, 1] (103). 2. Случай произвольного отрезка (105). 3. Другая нормировка многочленов Чебышева (106). 4. Примеры применения многочленов Чебышева (107).
§ 6. Итерационные методы с чебышевским набором параметров . . . 10&
1. Явный итерационный метод (109). 2. Численная устойчивость итерационного метода с чебышевским набором параметров (112). 3. Неявный чебышевский итерационный метод (113). 4. Случай, когда точные границы спектра неизвестны (114).
§ 7. Итерационные методы вариационного типа.......115
1. Метод минимальных невязок (116). 2. Метод минимальных поправок (118). 3. Метод скорейшего спуска (119). 4. Метод сопряженных градиентов (120). 5. Минимизация погрешности (121). 6. Выбор итерационных параметров в методе сопряженных градиентов (122). 7. Оценка погрешности в методе сопряженных градиентов (126).
Глава 3. Интерполирование и приближение функций.....127
§ 1. Интерполирование алгебраическими многочленами.....127
1. Интерполяционная формула Лагранжа (127). 2. Интерполяционная формула Ньютона (129).
§ 2. Погрешность интерполирования..........132
1. Остаточный член интерполяционной формулы (132). 2. Оптимальный выбор узлов интерполирования (134). 3. О сходимости интерполяционного процесса (134).
§ 3. Интерполирование с кратными узлами.........136
1. Интерполяционный многочлен Эрмита (136). 2. Пример (138).
§ 4. Интерполирование сплайнами...........140
1. Построение кубического сплайна (141). 2. Сходимость процесса интерполирования кубическими сплайнами (143).
§ 5. Другие постановки задач интерполирования и приближения функций 148
1. Примеры (148). 2. Общая постановка задачи интерполирования (151). 3. Наилучшее приближение функции, заданной таблично (152). 4. Сглаживание сеточных функций (154).
§ 6. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве .... 156 1. Постановка задачи (156). 2. Сведение к алгебраической задаче о минимуме квадратичного функционала (157). 3. Следствия (159).
Глава 4. Численное интегрирование и дифференцирование ... 161
§ 1. Примеры формул численного интегрирования.......161
1. Введение (161). 2. Формула прямоугольников (162). 3. Формула трапеций (164). 4. Формула Симпсона (165). 5. Апостериорная оценка погрешности методом Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования (168). 6. Экстраполяция Ричардсона (169).
§ 2. Квадратурные формулы интерполяционного типа......172
1. Вывод формул (172). 2. Оценка погрешности (174). 3. Симметричные формулы (175). 4. Формулы Ньютона — Котеса. Численная устойчивость квадратурных формул (178).
§ 3. Метод Гаусса вычисления определенных интегралов.....180
1. Постановка задачи (180). 2. Основная теорема (181). 3. Существование и единственность квадратурных формул наивысшей алгебраической степени точности (183). 4. Свойства квадратурных формул Гаусса (184). 5. Частный случай формул Гаусса (185).
4
, л чаленное дифференцирование...........186
^ 4. Jv корректность операции численного дифференцирования (186). 2. Применение интерполирования (188).
5 Решение нелинейных уравнений и систем уравнений . . . 190
Ппимеры итерационных методов решения нелинейных уравнений . 190
§ 1- ,"ц>ведение (190). 2. Метод простой итерации (191). 3. Метод Ньютона (193). 4 Метод секущих (194). 5. Интерполяционные методы (194). 6. Использование обратной интерполяции (195).
к 9 Сходимость метода простой итерации.........195
1 Теорема о сходимости (195). 2. Метод Эйткена ускорения сходимости (198).
к 3 Сходимость метода Ньютона...........199
1 Простой вещественный корень (199). 2. Кратные корни (202). 3. Односторонние приближения (203). 4. Комплексный корень (205).
к 4 Итерационные методы для систем нелинейных уравнений . . . 207
' 1 Общие понятия (207). 2. Сходимость стационарного метода (208). 3. Примеры итерационных методов (203).
Глава 6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений...........214
« 1. Исходная задача и примеры численных методов ее решения . . 214
1. Постановка исходной задачи (214). 2. Примеры численных методов (214).
& 2. Методы Рунге —Кутта.............218
1. Общая формулировка методов. Семейство методов второго порядка (218).
2. Доказательство сходимости (221). 3. Методы третьего порядка точности (224). 4. Методы четвертого порядка точности (226).
§ '3. Многошаговые разностные методы..........230
1. Формулировка методов (230). 2. Погрешность аппроксимации многошаговых методов (231). 3. Устойчивость и сходимость разностных методов (233). 4. Примеры многошаговых разностных методов (235).
§ 4. Сходимость и оценка погрешности многошагового разностного метода 236
1. Уравнение для погрешности (236). 2. Однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Частные решения (238). 3. Однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Устойчивость по начальным данным (240). 4. Оценка решения неоднородного уравнения (243). 5. Оценки погрешности разностного метода (244).
§ 5. Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений...............247
1. Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностные методы (247).
2. Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений (249). 3. Нелинейные системы дифференциальных уравнений (251). 4. Специальные определения устойчивости (252). 5. Чисто неявные разностные методы (255).
ЧАСТЬ III
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Глава 1. Вводные понятия.............259
§ Г Примеры разностных аппроксимаций.........259
§ 2. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом . 262
1. Построение разностной схемы (262).
X 3. Исследование аппроксимации и сходимости.......265
1. Аппроксимация дифференциального уравнения (265). 2. Аппроксимация граничного условия (267). 3. Уравнение для погрешности (268). 4. Разностные тождества и неравенства (269). 5. Доказательство сходимости (270).
8 4. Разностные схемы для уравнения теплопроводности.....272
1- Исходная задача (272). 2. Явная схема (272). 3. Неявные схемы (276). 4. Уравнения с переменными коэффициентами и нелинейные уравнения (279)'.
§ 5- Трехслойные разностные схемы..........283
'¦ Разностные схемы для уравнения колебаний (283). 2. Трехслойные схемы для Уравнения теплопроводности (285).
s о- Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость .............. 286
3 ^,ведение (286). 2. Погрешность аппроксимации и погрешность схемы (287). J- Корректность разностной схемы. Сходимость. Связь между устойчивостью и сх°Димостью (290).
Глава 2. Принцип максимума для разностных схем......
§ 1. Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона
1. Постановка разностной задачи (291). 2. Канонический вид разностного уравнения (293).
§ 2. Принцип максимума для разностных схем. Основные теоремы
1. Исходные предположения (294). 2. Принцип максимума и его следствия (295).
3. Теорема сравнения. Устойчивость по граничным условиям (298). 4. Примеры (299).
§ 3. Доказательство устойчивости и сходимости разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона...........
1. Устойчивость по граничным условиям (300). 2. Устойчивость по правой части и сходимость (302).
§ 4. Примеры применения принципа максимума.......
§ 5. Монотонные разностные схемы для уравнений второго порядка, содержащих первые производные ...........
Глава 3. Метод разделения переменных.........
§ 1. Разностная задача на собственные значения .......
1. Оператор второй разностной производной (311). 2. Задача на собственные значения (312). 3. Свойства собственных значений и собственных функций (313).
4. Операторные неравенства (315).
§ 2. Задача на собственные значения для пятиточечного разностного оператора Лапласа...............
1. Самосопряженность (317). 2. Оценка собственных чисел. Положительность оператора (318).
§ 3. Исследование устойчивости и сходимости схемы с весами для уравнения теплопроводности ............
1. Исходная задача и разностная схема (320). 2. Устойчивость схемы по начальным данным (322). 3. Устойчивость по правой части и сходимость (324). 4. Схема с весами для двумерного уравнения теплопроводности (326). 5. Асимптотическая устойчивость (328).
§ 4. Решение разностного уравнения второго порядка методом Фурье
§ 5. Быстрое дискретное преобразование Фурье........
§ 6. Решение разностного уравнения Пуассона с использованием быстрого преобразования Фурье.............
Глава 4. Теория устойчивости разностных схем.......
§ 1. Разностные схемы как операторные уравнения......
1. Представление разностных схем в виде операторных уравнений (339). 2. Корректность операторных уравнений (342). 3. Операторы первой разностной производной (347).
§ 2. Канонический вид и условия устойчивости двуслойных разностных схем..................
1. Канонический вид двуслойных разностных схем (349). 2. Устойчивость разностных схем (351). 3. Теоремы об устойчивости по начальным данным (354). 4. Несамосопряженные разностные схемы (359).
§ 3. Канонический вид и условия устойчивости трехслойных разностных схем..................
1. Канонический вид (362). 2. Эквивалентность трехслойной схемы двуслойной (363). 3. Устойчивость по начальным данным (364). 4. Примеры (366).
§ 4. Об экономичных методах решения многомерных нестационарных задач математической физики .............
1. Недостатки обычных разностных методов (369). 2. Пример метода переменных направлений (372). 3. Абсолютная устойчивость продольно-поперечной схемы (373). 4. Понятие суммарной аппроксимации (376).
Глава 5. Прямые и итерационные методы решения сеточных уравнений
§ 1. Модельная задача..............
1. Введение (378). 2. Модельная задача (379). 3. Применение методов Якоби и Зейделя (381). 4. Метод верхней релаксации (384).
§ 2. Применение явного итерационного метода с оптимальным набором параметров ................
1. Явный итерационный метод с чебышевскими параметрами (389). 2. Применение к модельной задаче (390). 3. Применение чебышевского метода к разностным аппроксимациям уравнений эллиптического типа (391).
„„ треугольный итерационный метод......394
<; 3 Попеременно-IP У (394) 2 Применение к модельной задаче (398). 3. По-
§ д- ,. Алгебраическая теорияiy , ч?ГбышеЕСКИМИ итерационными параметрами
переменно-треугольньтнный пдопеременн0.треугольный итерационный метод (402).
(401). 4. -vl0A"'7I.4 „„топ переменных направлении......*U4
§ 4. Итерационный метод пер^ен^^ с/одимости т). 2. пример (406).
'д. СлТчЗПрямоугольной области (408). .......4П
* 5. Метод матР™°И2П§°ПисьКИразн'остного'уравнения Пуассона' в виде системы 9 J 1. Введение (411)^ 2. ^™сь3 рДлгоритм м^ричной прогонки (414). 4. Устойчи-
?о?ьР«аЫтХриУчРной прогонки (4.5). ......4jg
S 6. Метод РедУ™И" Формул (418).' 2. Обращение матриц (421). 3. Вычисление п аВвЬыХ°Дча?тёй "423). 4 Формулировка и обсуждение алгоритма (424).
... 426 Список литературы.............
Цена: 300руб.
