Второй том книги известного американского математика В. Феллера «Введение в теорию вероятностей и се приложения» вышел в США в 1966 г. Напомню, что первый том, посвященный дискретным распределениям, дважды издавался в США в 1950 году и (с изменениями и дополнениями) в 1958 году. Оба издания были переведены на русский язык (в 1952 и 19G4 годах).
Несмотря на большой промежуток времени между выходом первого и второго томов, оба тома имеют общий замысел и составляют единое целое. Книга дает строгое изложение теории вероятностей как самостоятельного раздела математики и в то же время знакомит читателя с опытными основаниями теории и различными применениями. Последнее достигается включением большого числа примеров и задач.
Книга очень богата содержанием (достаточно сказать, например, что гл. XV, XVI и XVII второго тома полностью поглощают известную монографию Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин»). Многочисленные отступления от основного текста содержат сведения, интересные и специалистам. Большая работа, проведенная автором при подготовке второго тома, позволила существенно упростить изложение целых разделов (например, вывод асимптотических формул в теории случайных блужданий и задачах о разорении и многое другое).
Изложение тщательно продумано. Оно часто дополняется замечаниями, отражающими отношение автора к приводимым фактам (см., например, замечание в гл. VI, 7 о том, что рассмотрение в теории очередей потоков вызовов с независимыми промежутками между вызовами и с законом распределения длины этих промежутков, отличным от вырожденного или показатель-Hero, создает лишь иллюзию общности; трудно, говорит автор, найти примеры таких процессов, кроме разве движения автобуса по кольцевому маршруту без расписания). Напомню, что
в первом томе автор удачно продемонстрировал тот факт, что сравнительно простые модели позволяют хотя бы в первом приближении правильно описать широкий круг практических задач (такими моделями в первом томе являются, например, размещения частиц по ячейкам, урновые схемы и случайные блуждания). Во многих случаях, где интуиция не подсказывает правильного порядка соответствующих вероятностей, автор приводил численные результаты. Подчеркивался ряд свойств случайности, идущих в разрез с интуитивными представлениями (закон арксинуса, пропорциональность времени до я-го возвращения величине п2 и т. п.). Эти тенденции сохраняются и во втором томе (см., в частности, неоднократное обсуждение парадокса инспекции и сходных тем).
После того, как разобран дискретный случай, элементарная теория непрерывных распределений требует лишь нескольких слов дополнительного объяснения. Поэтому до всякой общей теории, в первых трех главах, автор излагает задачи, связанные с тремя важнейшими распределениями — равномерным, показательным и нормальным. При этом автор затрагивает и ряд глубоких вопросов (случайные разбиения и теоремы о покрытиях, отклонение эмпирического распределения от теоретического, характеризация нормального распределения независимостью статистик, структура некоторых стационарных нормальных последовательностей и т. п.).
Необходимые сведения из теории меры сообщаются в четвертой главе. Автор подчеркивает вспомогательный характер этих сведений (что отличает книгу Феллера от ряда других современных руководств, где до трети объема уходит на теорию меры и интеграла).
Важную роль играет гл. VI, являющаяся, как замечает автор, собранием введений во все последующие главы.
В настоящем томе, по-видимому, впервые излагается так обстоятельно теория преобразований Лапласа в применении к вероятностным проблемам (гл. VII, XIII, XIV). Много места отведено вопросам теории восстановления и случайным блужданиям (гл. VI, XI, XII, XIV и XVIII). Предельные теоремы для сумм независимых величин излагаются дважды: сначала как иллюстрация операторных методов (гл. IX), а затем в общей форме, в гл. XVII.
Можно надеяться, что выход в свет второго тома книги Феллера окажет заметное воздействие на многие стороны развития теории вероятностей, в частности сильно повлияет на характер преподавания теории вероятностей, позволив, наконец, привести его в соответствие с современными требованиями.
Профессор Феллер, узнав о подготовке перевода второго тома, любезно прислал список ряда необходимые исправлений которые были внесены в текст. Я весьма благодарен Jv зэту любезность. В работе над переводом сУшегтПРНт,^ ™ У
оказали А. В. Прохоров и В.V cZZ^oZllZ^ZuZ" чли рукопись перевода и сделали пап ir^u^^ ""'«дельно про-рьш„ я в„сГьзРовалДс, оТГжГу^ГзГГрйГ/оГосХ"
9 мая 1967 г. in rr
nJ Прохоров
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию...............5
Предисловие ..........•.............8
Глава 1. Показательные и равномерные плотности ......... 13
§ 1. Введение......................... 13
§ 2. Плотности. Свертки.................... 16
§ 3. Показательная плотность........... ....... 21
§ 4. Парадоксы, связанные с временем ожидания. Пуассоновский
процесс........................... 24
§ 5. Устойчивость неудач.................... 29
\ § 6. Времена ожидания и порядковые статистики......... 32
§ 7. Равномерное распределение ................. 36
§ 8. Случайные разбиения........ ............ 40
§ 9. Свертки и теоремы о покрытии............... 42
§ 10. Случайные направления................... 46
§ 11. Использование меры Лебега................. 51
§ 12. Эмпирические распределения................. 55
§ 13. Задачи......................... . 58
Глава П. Специальные плотности. Рандомизация...........64
§ 1. Обозначения и определения................ . 64
§ 2. Гамма-распределения ................... 66
§ 3. Распределения математической статистики, связанные с гамма-распределениями...................... 67
§ 4. Некоторые распространенные плотности........... 69
§ 5. Рандомизация и смеси ................... 74
§ 6. Дискретные распределения.................. 76
§ 7. Бесселевы функции и случайные блуждания ......... 79
§ 8. Распределения на окружности................ 83
§ 9. Задачи ........................... 86
Глава III. Многомерные плотности. Нормальные плотности и процессы 89
§ 1. Плотности .......................89
§ 2. Условные распределения ...................95
§ 3. Возвращение к показательному и равномерному распределениям 98
§ 4. Характеризация нормального распределения.........102
§ 5. Матричные обозначения. Матрица ковариаций........ . 106
§ 6. Нормальные плотности и распределения...........108
§ 7. Стационарные нормальные процессы.............114
§ 8. Марковские нормальные плотности .............122
§ 9. Задачи ...........................128
Глава IV. Вероятностные меры и пространства..........132
§ 1. Бэровские функции......................132
§ 2. Функции интервалов и интегралы в ftr............135
§ 3. Вероятностные меры и пространства............142
§ 4. Случайные величины. Математические ожидания ......145
§ 5. Теорема о продолжении .... ..............149
§ 6. Произведения пространств. Последовательности независимых
случайных величин ... ................. 153
§ 7. Нулевые множества. Пополнение ..............158
Глава V. Вероятностные распределения в 5?г .........., 160
§ 1. Распределения и математические ожидания .........161
§ 2. Предварительные сведения.................. 170
§ 3. Плотности........................ .174
§ За. Сингулярные распределения ......,............ 177
§ 4. Свертки ...,....,..,..............179
§ 5. Симметризация...................... 186
§ 6. Интегрирование по частям. Существование моментов ..... 189
§ 7. Неравенство Чебышева....................191
§ 8. Дальнейшие неравенства. Выпуклые функции ........192
§ 9. Простые условные распределения. Смеси.......... 196
§ 10. Условные распределения ,..................200
§ !0а. Условные математические ожидания.............203
§ 11. Задачи ..........................206
Глава VI. Некоторые важные распределения и процессы ......210
§ 1. Устойчивые распределения в 5?1.............• • ¦ 210
§ 2. Примеры.........................-216
§ 3. Безгранично делимые распределения вЖ1..........220
§ 4. Процессы с независимыми приращениями.........224
§ 5. Обобщенные пуассоновские процессы и задачи о разорении 228
§ 6. Процессы восстановления.................. 230
§ 7. Примеры и задачи.....................234
§ 8. Случайные блуждания..................• 240
§ 9. Процессы массового обслуживания.............• 244
§ 10. Возвратные и невозвратные случайные блуждания......252
§ 11. Общие марковские цепи..................• 258
§ 12. Мартингалы ..... .................. 265
§ 13. Задачи ..............".'........... 272
Глава VII. Законы больших чисел. Применения в анализе . . . .275
§ 1. Основная лемма. Обозначения................ 2'э
§ 2. Полиномы Бернштейна. Абсолютно монотонные функции . . • 278
§ 3. Проблемы моментов ................... 280
§ 4. Применение к симметрично зависимым случайным величинам 283
§ 5. Обобщенная формула Тейлора и полугруппы........ 286
§ 6. Формулы обращения для преобразования Лапласа .... .288 § 7. Законы больших чисел для одинаково распределенных случайных величин ...... ..... ...... ..... 290
§ 8. Усиленный закон больших чисел для мартингалов......295
§ 9. Задачи........................ ; . . 300
Глава VIII. Основные предельные теоремы............ 302
§ 1. Сходимость мер......................302
§ 2. Специальные свойства ......... . '..........307
§ 3. Распределения как операторы...............311
§ 4. Центральная предельная теорема ..............315
§ 5. Бесконечные свертки..................... 324
§ 6. Теоремы, о выборе..................... 325
§ 7. Эргодические теоремы для цепей Маркова........ . . 330
§ 8. Правильно меняющиеся функции................ 334
§ 9. Асимптотические свойства правильно меняющихся функций 339
§ 10. Задачи........................... 344
Глава IX. Безгранично делимые распределения и полугруппы .... 349
§ 1. Общее знакомство с темой ¦,................ 349
§ 2. Полугруппы со сверткой...................... . 352
§ 3. Подготовительные леммы................. . 356
§ 4. Случай конечных дисперсий................. 358
§ 5. Основная теорема......................361
§ 6. Пример: устойчивые полугруппы ............... .366
§ 7. Схемы серий ......................... 369
§ 8. Области притяжения..................... 373
§ 9. Различные распределения. Теорема о трех рядах......378
§ 10. Задачи..........................381
Глава X. Марковские процессы и полугруппы............383
§ 1. Псевдопуассоновский тип.................... 384
§ 2. Вариант: линейные приращения................ 387
§ 3. Скачкообразные процессы ..................389
§ 4. Диффузионные процессы в Ж1 ................394
§ 5. Прямое уравнение. Граничные условия .......... . 400
§ 6. Диффузия в многомерном случае..............407
§. 7. Подчиненные процессы.................... 408
§ 8. Марковские процессы и полугруппы............. .413
§ 9. «Показательная формула» в теории полугрупп....... '-. 417
§ 10. Производящие операторы. Обратное уравнение . ... . ...420
Глава XI. Теория восстановления ..................423
§ 1. Теорема восстановления.......... . • ..........423
§ 2. Уравнение ?=F*?..................429
§ 3. Устойчивые процессы восстановления ............431
§ 4. Уточнения .........................436
§ 5. Центральная предельная теорема . ¦...............438
§ 6. Обрывающиеся (невозвратные) процессы.......... 440
§ 7. Применения........................ 444
§ 8. Существование пределов в случайных процессах.......446
§ 9. Теория восстановления на всей прямой ...........448
§ 10. Задачи ..........................453
Глава XII. Случайные блуждания в 5?1...............456
§ 1. Обозначения и соглашения..................457
§ 2. Двойственность ...............•.......461
§ 3. Распределение лестничных высот. Факторизация Винера—Хопфа 466
§ 4. Примеры ..........................472
§ 5. Применения ........................477
§ 6. Одна комбинаторная лемма ...... ...........480
§ 7. Распределение лестничных моментов ............481
§ 8. Закон арксинуса.......................484
§ 9. Различные дополнения....................489
§ 10. Задачи ..........................491
Глава XIII. Преобразование Лапласа. Тауберовы теоремы. Резольвенты 495
§ 1. Определения. Теорема непрерывности ............495
§ 2. Элементарные свойства ...................500
§ 3. Примеры ..........................502
§ 4. Вполне монотонные функции. Формулы обращения.....504
§ 5. Тауберовы теоремы.....................508
§ 6. Устойчивые распределения.................. 514
§ 7. Безгранично-делимые распределения .............516
§ 8. Многомерный случай.....................519
§ 9. Преобразования Лапласа для полугрупп.......... 520
§ 10. Теорема Хилле—Иосида ...................526
§ 11. Задачи...........................530
Глава XIV. Применение преобразования Лапласа..........534
§ 1. Уравнение восстановления: теория .............. 534
§ 2. Уравнение типа уравнения восстановления: примеры.....536
§ 3. Предельные теоремы, включающие распределения арксинуса . . 539
§ 4. Периоды занятости и соответствующие ветвящиеся процессы 542
§ 5. Диффузионные процессы...................544
§ 6. Процессы размножения и гибели. Случайные блуждания . . . 549
§ 7. Дифференциальные уравнения Колмогорова .........553
§ 8. Пример: чистый процесс размножения............559
§ 9. Вычисление Р(со) и времен первого прохождения......562
§ 10. Задачи ..........................566
Глава XV. Характеристические функции...............569
§ 1. Определение. Основные свойства...............569
§ 2. Специальные плотности. Смеси................573
§ 3. Единственность. Формулы обращения.............579
§ 4. Свойства регулярности .................... 584
§ 5. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых........................588
§ 6. Условие Линдеберга .....................592
§ 7. Характеристические функции многомерных распределений . . . 596
§ 8. Две характеризации нормального распределения.......600
§ 9. Задачи...........................603
Глава XVI. Асимптотические разложения, связанные с центральной
предельной теоремой .................. 607
§ 1. Обозначения ........................608
§ 2. Асимптотические разложения для плотностей.........609
§ 3. Сглаживание........................ 613
§ 4. Асимптотические разложения для распределений.......616
§ 5. Теорема Берри—Эссеена...................620
§ 6. Большие отклонения.....................622
§ 7. Различно распределенные слагаемые.............626
§ 8. Задачи...........................630
Глава XVII. Безгранично делимые распределения..........632
§ 1. Теорема о сходимости....................632
§ 2. Безгранично делимые распределения.............638
§ 3. Примеры. Специальные свойства............... 644
§ 4. Устойчивые характеристические функции........... 648
§ 5. Области притяжения.....................652
§ 6. Устойчивые плотности ....................657
. § 7. Схема серий......................... 659
§ 8. Класс L..................... .....663
§ 9. Частичное притяжение. «Универсальные законы».......666
§ 10. Бесконечные свертки.................... . 669
§ 11. Многомерный случай ....................670
§ 12. Задачи . . . . ....... \ . ..... . . ...... .671
Глава XVIII. Применение методов Фурье к случайным блужданиям . 675 '
§ 1. Основное тождество.....................675
§ 2. Конечные интервалы. Вальдовская аппроксимация......678
§ 3. Факторизация Винера—Хопфа................681
§ 4. Обсуждение результатов. Применения............ . 684
§ 5. Уточнения.........................687
§ 6. Возвращения в нуль.....................689
§ 7. Критерии возвратности....................690 ;
§ 8. Задачи...........................693 i
Глава XIX. Гармонический анализ..................695
§ 1. Равенство Парсеваля...................., 695
§ 2. Положительно определенные функции ............697
' § 3. Стационарные процессы ...................700
§ 4. Ряды Фурье.........................703
'§ 5. Формула суммирования Пуассона..............707
§ 6. Положительно определенные последовательности.......710
§ 7. 12-теория..........................713
§ 8. Случайные- процессы и стохастические интегралы.......719 *
§ 9. Задачи...........................726
Предметный указатель................736
Именной указатель . . . .. .'.".'.'.........744
Цена: 250руб.
