Математика	Физика	Химия	Биология	Техника и технологии
	Теория вероятностей. Боровков А. А., Главная редакция физико-математической литературы, изд-во «Наука», 1976. В основу книги легли лекции, читавшиеся автором в течение ряда лет на 3-м курсе (шестой семестр) математического факультета Новосибирского университета. Книга охватывает широкий круг вопросов, начиная с оснований теории вероятностей и кончая простейшими вероятностными процессами. Сюда входят достаточно полный аппарат современной теории вероятностей; разного рода предельные законы для сумм независимых случайных величин; теоремы о поведении траекторий, порожденных этими суммами, включая относящиеся сюда так называемые факторизационные тождества; элементы теории восстановления и различные ее npib ложения; цепи Маркова и эргодические теоремы для них; элементы теории информации; теоремы об основных свойствах винеровских и пуассоновских процессов и другие. '~ Илл.— 14.
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 Предисловие............... ' Введение............... У Глава 1. Дискретное пространство элементарных событии 13 § 1. Вероятностное пространство....... 13 § 2. Классическая схема......... 16 § 3. Схема Бернулли.......... 20 § 4. Вероятность объединения событий. Примеры ... 24 Глава 2. Произвольное пространство элементарных событий ............... 27 § 1. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство ............ 27 § 2. Свойства вероятности......... 34 § 3. Условная вероятность. Независимость событий и испытаний ............ 35 § 4. Формула полной вероятности и формула Байеса . 39 Глава 3. Случайные величины и функции распределения 44 § 1. Определения и примеры........ 44 § 2. Свойства функций распределения и примеры . . 46 § 3. Интегралы............ 53 § 4. Многомерные случайные величины..... 56 § 5. Независимость случайных величии и классов событий ............. 59 Глава 4. Числовые характеристики случайных величин ¦ 74 § 1. Математическое ожидание....... 74 § 2, Условные функции распределения и условные математические ожидания......... 77 § 3. Математическое ожидание произведения случайных величин............. 83 I 4. Математическое ожидание случайных величин, не зависящих от будущего........ 84 § 5. Дисперсия............ 88 § 6. Коэффициент корреляции и другие числовые характеристики ....... , , . 91 1' § 7. Неравенства Чебышева....... § 8. Обобщение понятия условного математического ожидания ............ Глава 5. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами............ § 1. Законы больших чисел........ § 2. Локальная предельная теорема...... § 3. Теорема Муавра — Лапласа и ее уточнения § 4. Теорема Пуассона и ее уточнения..... Глава 6. Характеристические функции..... § 1. Определение и свойства характеристических функций .............. § 2. О сходимости случайных величин и распределений § 3. Формула обращения......... § 4. Теорема непрерывности........ § 5. Применение теоремы непрерывности для доказательства теоремы Пуассона........ § 6. Характеристические функции многомерных распределений. Многомерное нормальное распределение § 7. Другие применения х. ф. Свойства гамма-распределения ............. § 8. Производящие функции. Применение к изучению ветвящегося процесса. Задача о вырождении Глава 7. Последовательности независимых случайных величин. Предельные теоремы........ § 1. Закон больших чисел......... § 2. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин...... § 3. Центральная предельная теорема для произвольных последовательностей независимых случайных величин . ......... § 4. Локальная предельная теорема . . . . § 5. Вероятности больших уклонений...... § 6. Сходимость к другим устойчивым законам Глава 8. Элементы теории восстановления .... § 1. Процессы восстановления........ § 2. Законы больших чисел и центральная предельная теорема для процесса ц (t)....... § 3. Предельное распределение дефекта и эксцесса. Стационарные процессы восстановления. Локальная теорема восстановления ......... г тт я я я 9 Последовательности независимых случайных ве- ли-шн.' Свойства траектории (0, S,, S2, ...) в целом . . 209 § 1. Законы нуля и единицы. Верхние и нижние.функ- ции •.......... § 2. Усиленный закон больших чисел......215 S 3 Усиленный закон больших чисел для произвольных ' независимых слагаемых. Неравенство Колмогорова 220 Глава 10. Факторизационные тождества.....224 § 1. Факторизационные тождества и их первые следствия ..............224 8 "> Факторизационпые тождества. Свойства траектории "' (0, ShS2,...)...........232 8 3 Распределение S = max (0, t) = max Sh . . . . 236 J ' ft>o § 4. Системы обслуживания........238 § 5. Факторизационные тождества для ^распределений, связанных с показательной функцией .... 240 §, 6. Симметричные непрерывно распределенные случайные величины........• 242 § 7. Тождество Поллачека — Спитцера.....243 § 8. Явные формулы для дискретных блужданий, непрерывных сверху...........245 Глава 11. Последовательности зависимых испытаний. Дискретные цепи Маркова..........250 § 1. Определения и примеры. Классификация состояний 250 § 2. Необходимые и достаточные условия возвратности состояний. Теорема об однотипности состояний неразложимой цепи, структура цепи в периодическом случае.............257 § 3. Теоремы о случайных блужданиях по решетке . 261 § 4. Эргодические теоремы......... 265 § 5. Поведение переходных вероятностей для разложимых цепей............274 Глава 12. Информация и энтропия.......276 § 1. Определения, свойства информации и энтропии . 276 § 2. Энтропия конечной цепи Маркова. Теорема об асимптотическом поведении информации длинного сообщения, ее приложения..........282 Глава 13. Простейшие случайные процессы • 288 § 1. Общие определения. Процессы с независимыми приращениями ............288 § 2, Винеровские процессы, свойства траекторий . . . 292 § 3. Законы повторного логарифма ,..... 298 § 4. Пуассоповские процессы, свойства траекторий . . 304 Приложение 1. Теорема о продолжении вероятностной меры.............. 308 Приложение 2. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях............ 315 Приложение 3. Интегрирование....... 318 Приложение 4. Теорема непрерывности для характеристических функций........... 341 Приложение 5. Таблицы......... 345 Предметный указатель........... 350 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга написана на основе «Курса теории вероятностей», вышедшего в свет в 1972 году. Переработке подверглись почти все главы «Курса», некоторые из них написаны заново. Автором руководило при этом стремление к более законченному и связному изложению, к более простым и наглядным доказательствам. Появилось несколько новых разделов, предназначенных для более глубокого изучения предмета. Предполагается, что читатели в дополнение к традиционному курсу математического анализа знакомы также с элементами теории меры и, в частности, с понятием интеграла по мере на абстрактном пространстве и его простейшими свойствами. Однако отсутствие этих дополнительных познаний не помешает успешному освоению книги, если только читатель будет готов некоторые утверждения принять не в их максимально общей форме. Есть и другая возможность. Читатель полностью избежит затруднений, если он при чтении соответствующих разделов познакомится с краткими Приложениями, которые помещены в конце курса и в которых получены все необходимые результаты. Первые 9 глав книги представляют собой связное целое, и их лучше читать подряд. Главы 10—13 продолжают изучение теоретико-вероятностных проблем в трех разных направлениях (факторизационные тождества — глава 10, цепи Маркова и теория информации — главы 11, 12 и простейшие вероятностные процессы — глава 13), с каждым из которых можно знакомиться независимо от других. В разное время студентам в лекциях предлагались все эти три варианта продолжения, и у автора нет оснований считать, что с методической или познавательной точки зрения можно отдать предпочтение какому-нибудь одному из этих вариантов. Цена: 150руб.
Назад	Заказ	На главную страницу