Первое издание книги Феллера уже получило в СССР широкое признание. Сейчас вниманию читателей предлагается перевод второго английского издания, во многих деталях усовершенствованного и дополненного автором. Во втором английском издании книга по-прежнему называется «Введение в теорию вероятностей и ее приложения», первый том двухтомного курса. Так как публикация второго тома вновь откладывается, то в русском издании сохранен подзаголовок, указывающий на принцип отбора материала, принятый автором для первого тома своего курса.
Именно этот принцип отбора материала позволяет книге Феллера занять самостоятельное место в литературе по теории вероятностей. Ограничиваясь дискретными распределениями, автор имеет возможность достигнуть вполне современной строгости и отчетливости изложения,' не выходя за пределы элементарных чисто арифметических средств, и на твердой теоретической основе довести читателя до ряда важных принципиальных вопросов и большого числа практически интересных задач.
Несомненно, что при серьезном систематическом изучении теории вероятностей нельзя оставить в стороне непрерывные распределения. Но хорошо известно, что точное определение таких понятий, как условная функция распределения
F(x\y) = P($<\x\. rt = y)
случайной величины Ч, при заданном значении ч\ = у случайной величины т], в случае непрерывных распределений требует трудно воспринимаемых формальных конструкций, что строгое и в то же время общее изложение вопроса о суммировании произвольных независимых случайных величин требует хорошего владения теорией интеграла Стильтьеса и т. д. Ввиду практической важности непрерывных распределений часто обходятся более элементарными и не всегда строгими средствами. Но именно тем, кто для случая непрерывных Р спределений ограничится несколько кустарным или не вполне стро-»• изложением, будет особенно полезно проследить уже с полной еТЛИВ0СТЬЮ паРаллельное развитие основных вероятностных идей Дискретного случая. Подробное изучение теории и применений
ОГЛАВЛЕИИЕ
Предисловие ко второму русскому изданию............ 5
Предисловие ко второму изданию................. 7
Предисловие к первому изданию................. 9
Введение. Природа теории вероятностей............ 11
§ 1. Исходные представления................... И
§ 2. Способ изложения...................... 13
§ 3. «Статистическая» вероятность................ 14
§ 4. Резюме........................... 15
§ 5. Исторические замечания................... 16
Глава 1. Пространства элементарных событий.......... 17
§ 1. Опытные основания..................... 17
§ 2. Примеры .............'............. 19
§ 3. Пространство элементарных событий. События........ 24
................ 25
§ 5. Дискретные пространства элементарных событий....... 28
§ 4. Отношения между событиям
§ 5. Дискретные пространства эл______,___.,
§ 6. Вероятности в дискретных пространствах элементарных соб
тий . § 7. Основн § 8. Задачи .....................
МеНТЫ ВПИЙиавто"""-» ------------ 38
тий ....... .................. 30
)сновные допущения........ 33
.................. 35
Глава П. Элементы комбинаторного анализа
§ 1. Предварительные сведения................. 38
§ 2. Выборки.......................... 40
§ 3. Примеры.......................... 42
§ 4. Соединения . . ....................... 45
§ 5. Приложения к задачам о размещении............ 49
§ б. Гипергеометрическое распределение............. 55
§ 7. Примеры, связанные с временем ожидания.......... 59
§ 8. Биномиальные коэффициенты................ 62
§ 9. Формула Стерлинга..................... 64
§ 10. Примеры и упражнения................... 67
§ И. Задачи и дополнения теоретического характера ....... 71
§ 12. Задачи и тождества, связанные с биномиальными коэффициентами.......................... 7э
Глава III. Колебания при игре с бросанием монеты и случайные
блуждания......................... 80
§ 1. Основные понятия . . . ¦.................. 81
§ 2. Задачи о расположении.................... 84
§ 3. Случайное блуждание и игра с бросанием монеты...... 88
§ 4. Новая формулировка комбинаторных теорем......... 90
§ 5. Первый закон арксинуса . .................. 92
§ 6. Число возвращений в начало координат............ 97
§ 7. Экспериментальные данные................. 99
§ 8. Различные дополнения.................... 101
Глава IV. Комбинации событий.................. 104
§ 1. Объединение событий.................... 104
§ 2. Приложение к классической задаче о размещении...... 107
§ 3. Осуществление т из N событий............... 112
§ 4. Приложения к задачам о совпадениях и к задаче угадывания 113
§ 5. Различные дополнения.................... 115
§ 6. Задачи ........................... 117
Глава V. Условная вероятность. Независимость.........120
§ 1. Условная вероятность.................... 120
§ 2. Вероятности, определяемые через условные вероятности. Урно-
вые модели......................... 124
§ 3. Независимость........................ 131
§ 4. Повторные испытания.................... 134
§ 5. Приложения к генетике................... 138
§ 6. Сцепленные с полом признаки................ 142
§ 7. Селекция.......................... 145
§ 8. Задачи............................ 146
Глава VI. Биномиальное распределение и распределение Пуассона.............................152
§ 1. Испытания Бернулли.................... 152
§ 2. Биномиальное распределение................ 154
§ 3. Максимальная вероятность в биномиальном распределении . . 157
§ 4. Закон больших чисел.................... 158
§ 5. Приближенная формула Пуассона.............. 159
§ 6. Распределение Пуассона.................. 163
§ 7. Примеры схем, приводящих к распределению Пуассона . . . 166
§ 8. Время ожидания. Отрицательное биномиальное распределение 171
§ 9. Полиномиальное распределение............... 174
§ 10. Задачи........................... 175
Глава VII. Нормальное приближение для биномиального распределения .......................... 181
§ 1. Нормальное распределение.................. 181
§ 2. Предельная теорема Муавра — Лапласа........... 185
§ 3. Примеры .......................... 190
§ 4. Связь с приближенной формулой Пуассона.......... 193
§ 5. Большие отклонения..................... 195
§ 6. Задачи............................ 196
Г лава VIII. Неограниченные последовательности испытаний Бер-
нулли ........................... 200
§ 1. Бесконечные последовательности испытаний......... 200
§ 2. Системы игры........................ 203
§ 3. Леммы Бореля — Кантелли.................. 205
§ 4. Усиленный закон больших чисел............... 208
§ 5. Закон повторного логариф'ма................. 209
§ 6. Интерпретация на языке теории чисел............. 214
§ 7. Задачи............................. 215
X лава IX. Случайные величины; математическое ожидание .... 217
§ 1. Случайные величины..................... 217
§ 2. Математическое ожидание.................. 225
§ 3. Примеры и приложения................... 228
§ 4. Дисперсия.......................... 232
§ 5. Ковариация. Дисперсия суммы................ 235
§ 6. Неравенство Чебышева................... 239
§ 7. Неравенство Колмогорова.................. 240
§ 8. Коэффициент корреляции .................. 241
§ 9. Задачи............................ 243
Глава X. Законы больших чисел................. 248
§ 1. Одинаково распределенные случайные величины....... 248
§ 2. Доказательство закона больших чисел............ 252
§ 3. Теория «безобидных» игр.................. 254
§ 4. Петербургская игра..................... 256
§ 5. Случайные величины с различными распределениями..... 259
§ 6. Приложения к комбинаторике................ 262
§ 7. Усиленный закон больших чисел.............. 264
§ 8. Задачи............................ 267
Слава XI. Целочисленные величины. Производящие функции . . • 270
§ 1. Общие положения...................... "
972
§ 2. Композиция......................... z
§ 3. Приложение к задачам о времени первого достижения и времени первого возвращения в схеме Бернулли........ 2'°
§ 4. Разложение на простые дроби................ 280
§ 5. Двойные производящие функции............... 283
§ 6. Теорема непрерывности................... 284
§ 7. Задачи............................ 287
Глава XII. Сложные распределения. Ветвящиеся процессы ... 291
§ 1. Суммы случайного числа величин.............. 291
§ 2. Сложное распределение Пуассона.............. 293
§ 3. Безгранично делимые законы................ 294
§ 4. Примеры ветвящихся процессов............... 295
§ 5. Вероятности вырождения в ветвящихся процессах...... 297
§ 6. Задачи............................ 3C0
Глава XIII. Рекуррентные события. Уравнение восстановления 301
§ 1. Наглядное введение и примеры............... 301
§ 2. Определения........................ 305
§ 3. Основные соотношения................... 339
§ 4. Уравнение восстановления.................. 314
§ 5. Рекуррентные события с запаздыванием........... 317
§ 6. Число осуществлений события $.............. 321
§ 7. Приложения к теории серий успехов............ 324
§ 8. Более общие рекуррентные события.............. 328
§ 9. Особенность времен ожидания с геометрическим распределением ............................ 329
§ 10. Доказательство теоремы 3§3............... 331
§ 11. Задачи........................... 333
Глава XIV. Случайные блуждания и задачи о разорении ..... 336
§ 1. Общие понятия...................... . 336
§ 2. Задача о разорении игрока...............¦ . . '. 338
§ 3. Средняя продолжительность игры............. . 341
§ 4. Производящие функции продолжительности игры и времени
первого достижения..................... 344
§ 5. Явные выражения...................... 346
§ 6. Переход к пределу; процессы диффузии........... 348
§ 7. Случайные блуждания на плоскости и в пространстве .... 352 § 8. Обобщенное одномерное случайное блуждание (последовательный анализ)......................... 356
§ 9. Задачи............................ 360
Глава XV. Цепи Маркова..................... 365
§ 1. Определение........................ 365
§ 2. Примеры.......................... 367
§ 3. Вероятности перехода за п шагов.............. 375
§ 4. Замкнутые множества состояний.............. 377
§ 5. Классификация состояния.................. 379
§ 6. Эргодическое свойство непериодических цепей. Стационарные
распределения ....................... 384
§ 7. Периодические цепи..................... 388
§ 8. Невозвратные состояния.................. 390
§ 9. Задача о тасовании колоды карт.............. 395
§ 10. Общий марковский процесс................. 397
§ 11. Различные дополнения................... 402
§ 12. Задачи........................... 407
Глава XVI. Алгебраический метод изучения конечных цепей
Маркова .......................... 410
§ 1. Общая теория........................ 410
§ 2. Примеры.......................... 414
§ 3. Случайное блуждание с отражающими экранами....... 418
§ 4. Нево.звратные состояния; вероятности поглощения...... 421
§ 5. Приложение к времени возвращения............. 425
Глава XVII. Простейшие стохастические процессы с непрерывным временем....................... 427
§ 1. Общие понятия....................... 427
§ 2. Распределения Пуассона.................. 430
§ 3. Процесс чистого размножения . . . .'........... 432
§ 4. Расходящийся процесс размножения............. 435
§ 5. Процесс размножения и гибели............... 437
§ 6. Показательное время обслуживания............. 442
§ 7. Очереди и задачи обслуживания.............. 444
§ 8. Обратные уравнения (уравнения, «обращенные в прошлое») 453
§ 9. Обобщение; уравнения Колмогорова............. 455
§ 10. Процессы, уходящие в бесконечность............ 460
§ И. Задачи........................... 466
Ответы к задачам.......................... 470
Предметный указатель........................ 484
Цена: 250руб.
