Предисловие ко второму изданию............. 8
Часть первая
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Глава 1. Вероятностное пространство..........11
1.1. Случайный эксперимент............ И
1.2. Аксиомы и основные свойства вероятности..... 13
1.3. Определение вероятностного пространства..... 16
1.4. Случайные величины............... 18
1.5. Группы случайных величин........... 21
1.6. Математическое ожидание........... 27
1.7. Условные вероятности и математические ожидания . . 32
Глава 2. Последовательности независимых событий и величин 38
2.1. Закон нуля и единицы............. 33
2.2. Схема Бернулли............... 40
2.3. Предельные теоремы для схемы Бернулли..... 41
2.4. Последовательности независимых случайных величин. Закон больших чисел............. 43
2.5. Неравенство Колмогорова. Усиленный закон больших чисел................... . 47
2.6. Закон повторного логарифма.......... 50
2.7. Ряды из независимых случайных величин ...... 52
2.8. Сходимость функций распределения........ 53
Глава 3. Аналитический аппарат ............ 55
3.1. Производящие функции............ 55
3.2. Преобразование Лапласа............ 60
3.3. Характеристические функции .......... 64
1 л а в а 4. Центральная предельная теорема........ 70
4.1. Центральная предельная теорема для последовательностей независимых случайных величин...... 71
4.2. Центральная предельная теорема для независимых случайных векторов.............. 77
4-3. Локальные предельные теоремы......... 79
4.4. Уточнение центральной предельной теоремы и асимптотические разложения.............82
4'5. Большие уклонения.............. 87
л а в а 5. Безгранично делимые распределения.......89
5,1, Суммы независимых случайных величин и их распределения ,..................89
мых распределений..............91
5.3. Предельные теоремы для схемы серий.......96
6.4. Предельные теоремы для нарастающих сумм в R . . 99
Глава 6. Основные вероятностные распределения.....105
6.1. Характеристики случайных величин........105
6.2. Дискретные распределения...........108
6.3. Непрерывные распределения ..........116
6.4. Распределения Пирсона............ 133
6.5. Многомерные распределения..........135
6.6. Устойчивые распределения...........141
6.7. Сингулярные распределения...........143
Глава 7. Случайные блуждания............ 145
7.1. Процессы восстановления........... 145
7.2. Классификация случайных блужданий на прямой . .150
7.3. Функционалы на случайном блуждании...... 152
7.4. «Задача о разорении» для полунепрерывных случайных блужданий................ 155
7.5. Факторизационные тождества.......... 156
Глава 8. Цепи Маркова...............163
8.1. Определение цепи Маркова...........163
8.2. Однородные цепи Маркова...........172
8.3. Цепи Маркова с дискретным множеством состояний 192
Часть вторая
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Глава 9. Основные понятия теории случайных процессов , у 205
9.1. Определение случайного процесса........205
9.2. Измеримость и интегрируемость случайных процессов 212
9.3. Сепарабельность. Свойства выборочных функций . . . 215
9.4. Потоки а-алгебр и согласованные с ними процессы . . 219
9.5. Абсолютная непрерывность мер, соответствующих случайным процессам..............224
Глава 10. ^-теория................. 229
10.1. Пространство гильбертовых случайных величин 3?2(Q, ®, P) ...............229
10.2. Стохастические меры и интегралы........233
10.3. Линейный прогноз и фильтрация гильбертовых случайных функций . . . '............238
Глава 11. Стационарные процессы...........240
11.1. Стационарные в широком смысле случайные процессы .............".......240
11.2. Спектральное представление корреляционных функций 245
11.3. Спектральное представление стационарных процессов 248
11.4. Аналитические свойства стационарных процессов и
их траекторий................251
11.5 Эргодическая теорема.............253
.11,6, Линейные преобразования (фильтры) ...*... 255
11.7. Процессы с дробно-рациональными спектральными ^ 118 ШоТетТвание,' интерполирование ' и фильтрация
стационарных процессов ............69
11 Q Разложение стационарного процесса.......
11.10. Решение задач линейного прогнозирования, интерпо- ^ ' лировання и фильтрации............977
11.11. Стационарные в узком смысле случайные процессы " •
Глава 12. Случайные поля ,............."^
12.1. Основные определения.............285
12.2. Свойства выборочных функций..........?»
12.3. Однородные случайные поля..........^91 .
12.4. Изотропные случайные поля..........™1
12.5. Обобщенные случайные поля..........зил
Глава 13. Мартингалы , . . . ,...........з;1
13.1. Определения. Общие свойства ........ . 311 ;
13.2. Мартингалы с дискретным параметром......314
13.3. Мартингалы с непрерывным временем.......320
13.4. Семимартингалы и стохастические интегралы .... 32Э
Глава 14. Марковские процессы • ,..........339
14.1. Марковские случайные функции.........339
14.2. Марковские процессы. Определение и основные свойства ........
............344
14.3. Мультипликативные функционалы от марковских процессов ...................353
Глава 15. Однородные марковские процессы.......358
15.1. Определение и основные свойства........353
15.2. Полугруппы операторов, связанные с однородными марковскими процессами............361
15.3. Характеристические операторы строго марковских процессов ...................365
15.4. Процессы со счетным множеством состояний .... 370
15.5. Функционалы от марковских процессов......378
15.6. Преобразования марковских процессов......384
15.7. Однородные диффузионные процессы в евклидовых пространствах ................ 391
15.8. Непрерывные процессы на прямой........395
15.9. Предельное поведение вероятностей перехода эргоди-ческих марковских процессов..........400
Глава 16. Процессы с независимыми приращениями.....403
lft'o' Определение и общие свойства..........403
10.2. Стохастически непрерывные процессы с независимыми
приращениями................405
If 4 5АНОРодные процессы. Асимптотические свойства . . 409 Функционалы от процессов с независимыми приращениями .......... ^ 414
Jfi'fi' ?Р°цесс Пуассона .'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'. 420 10.0. Вииеровский процесс.............422
Глава 17. Ветвящиеся процессы............. 427
17.1. Ветвящиеся процессы с одним типом частиц (дискретное время) . . ...............427
17.2. Ветвящиеся процессы с одим типом частиц (непрерывное время) ................. 432
17.3. Ветвящиеся процессы с конечным числом типов частиц (дискретное время) .............. 438
17.4. Ветвящиеся процессы с конечным числом типов частиц (непрерывное время)...........444
17.5. Общие марковские ветвящиеся процессы......448
Глава 18. Предельные теоремы для случайных процессов . . 451
38.1. Слабая сходимость мер в метрических пространствах 451
18.2. Слабая сходимость мер в гильбертовом пространстве 454
18.3. Предельные теоремы для непрерывных случайных процессов ...................458
18.4. Предельные теоремы для. процессов без разрывов второго рода..................464
Глава 19. Стохастические дифференциальные уравнения . . 468
19.1. Диффузионные процессы............468
19.2. Стохастические интегралы по винеровскому процессу 472
19.3. Стохастические, дифференциальные уравнения для- непрерывных процессов........... . .483
19.4. Стохастические дифференциальные уравнения для процессов с разрывами..............611
Часть третья
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Глава 20. Основные понятия и задачи математической статистики . .....................525
20.1. Статистическая структура...........525
20.2. Статистики.................527
20.3. Основные задачи математической статистики .... 531
20.4. Распределение выборки............Б34
20.5. Процедуры проверки гипотез..........542
Глава 21. Теория ^оценивания параметров.........550
21.1. Задача оценивания и свойства оценок.......550
), 21.2. Методы построения оценок...........556
21.3. Доверительные области............Б59
Глава 22. Оценки параметров некоторых распределений « . . 562
22.1. Оценки параметров нормального распределения . . . Щ2
22.2. Оценки параметров биномиального и пуассоновского распределений ................ 565
22.3. Оценки параметров равномерного распределения и Г-распределения ............... 567
Глава 23. Метод наименьших квадратов.........570
23.1. Линейные модели регрессии..........570
23.2. Свойства МНК-оценок............. 572
23.3. Оценка параметров линейной регрессии......577
г- ...и Статистика случайных процессов.......581
1 л а в а ^^. _0
9Д 1 Различение гипотез..............о»1
24 2 Различение гипотез для процессов с независимыми
приращениями . . • ¦ •............584
24 3 Различение гипотез для диффузионных процессов . . 591 24 4. Различение гипотез о среднем значении гауссовского
процесса...........•......594
24 5. Различение гипотез о корреляционной функции гаус-
' совского процесса............. . 598
24.6. Оценки параметров распределений для случайных процессов ...................605
Глава 25. Статистика стационарных в широком смысле случайных процессов.................610
25.1. Свойства статистических оценок характеристик стационарных процессов............... 610
25.2. Оценки неизвестного среднего..........611
25.3. Оценки параметров регрессии..........617
25.4. Оценки спектральной плотности и спектральной функции стационарных последовательностей......621
25.5. Оценки параметров спектральной плотности . . , . . 626
Список литературы..................628
Предметный указатель ..,,,,,,,,,,,,,,, 633
Цена: 300руб.
