Данное учебное пособие предназначено абитуриентам, поступающим в средние учебные заведения на базе восьмилетней школы.
Материалы, изложенные в пособии, полностью соответствуют существующей программе по математике для -5—8 классов средней школы.
Пособие состоит из двух частей. Первая часть посвящена алгебре. В ней разъясняются, в частности, понятия множества, натурального числа, действительного числа и функции. В ней рассказывается также об операциях над множествами и о построении графиков элементарных
функций.
Вторая часть посвящена геометрии на плоскости. Здесь разъясняются понятия конгруэнтности, перемещения, вектора, подобия и гомотетии. Рассказывается об аксиоматике и векторной алгебре. В заключительной главе приводятся основные факты,, связанные с тригонометрическими функциями.
Наряду с изложением теоретического материала арторы уделяют большое внимание решению типовых задач. В каждой главе приводится большое количество подробно решенных примеров.
Приведенные в конце каждой главы вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения помогут абитуриентам выяснить, насколько хорошо они разобрались в изучаемом курсе.
В процессе изучения курса абитуриенты должны глубоко вникнуть в сущность всех новых понятий ,и формулировки теорем. При разборе каждой теоремы необходимо выяснить, где в доказательстве используется то или иное
ее условие.
Авторы будут благодарны за все замечания и отзывы по данному пособию, которые просят присылать по адресу: Москва, ул. Мархлевского, д. 19/4, издательство «Высшая
школа».
Авторы
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................... 3
ЧАСТЬ I. АЛГЕБРА
Глава первая. Множество действительных чисел § 1. Множества...................... 4
1. Понятие множества (4). 2. Подмножество (6). 3. Свойства подмножеств (7). 4. Понятие логического следования. Равносильность. Необходимость и достаточность (7). 5. Операции над множествами (8).
§ 2. Множество натуральных чисел............. 11
1. Свойства натуральных чисел (11). 2. Признаки делимости (13). 3. Разложение чисел на простые множители (16). 4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел (17).
§ 3. Множество рациональных чисел............. 21
1. Обыкновенные дроби (21). 2. Десятичные дроби (27).
»3. Числовая прямая. Отрицательные числа. Модуль числа • (32). 4. Множество рациональных чисел (34).
§ 4. Множество действительных чисел.............
1. Иррациональные числа (38). 2. Множество действительных чисел (40). 3. Числовые промежутки (41).
Глава вторая. Преобразование рациональных выражений § I. Тождественные преобразования целых выражений .... 45
1. Степень с натуральным показателем (45). 2. Операции над одночленами (46). 3. Понятие тождественного преобразования выражения (47). 4. Многочлены. Приведение многочлена к стандартному виду (48). 5. Разложение многочлена на множители (49).
§ 2. Тождественные преобразования дробных выражений .... 55
1. Основные понятия (55). 2. Основное свойство дроби (57). 3. Сокращение алгебраической дроби (58). 4. Приведение
32»
алгебраических дробей к общему знаменателю (59) 5 Ум ножение и деление алгебраических дробей (62). 6. Возвеле" ние алгебраической дроби в .натуральную степень (631~
7. Сложение и вычитание алгебраических дробей (641
8. Примеры на все действия с алгебраическими дробями (65).
Глава третья. Преобразование иррациональных выражений
§ 1. Арифметический корень и его свойства......... YQ
1. Определение арифметического корня (70). 2. Свойства арифметических корней (71). 3. Тождество J/~a2= |а| (77). 4. Дополнительные замечания о свойствах радикалов (78).
§ 2. Обобщение понятия о показателе степени......... §0
1. Постановка задачи (80). 2. Степень с положительным дробным показателем'(81). 3. Степень с нулевым показателем (82). 4. Степень с отрицательным рациональным показателем (83). 5. Степень с любым рациональным показателем (83).
§ 3. Тождественные преобразования иррациональных выражений 85
1. Тождественно равные выражения на данном множестве (85). 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений (85).
Глава четвертая. Функции и графики
§ 1. Понятие функции..................... 92
1. Соответствие между множествами (92). 2. Понятие функции (93). 3. Способы задания функции (94).
§ 2. Свойства функции.................... 9°
1. Монотонные функции (98). 2. Четные и нечетные функции (100).
k 1П9
§ 3. Линейная функция и функция у=—•.........
1. Определение (102). 2. График линейной функции (103).
3. График прямой пропорциональности (105). 4. График обратной пропорциональности (105).
. , „ , 108
§ 4. Степенная функция с целым показателем.........
1. Определение (108). 2. Функции, задаваемые формулой y=axi (109) 3. Функции, задаваемые формулой у= ах3 (ПО).
4. Функции, задаваемые формулой у=ах~2 (Ш).
К К V .112
§ 5. Квадратный трехчлен..................
1. Функция, задаваемая формулой y—axz-\-ex+c (112)
2. Построение графика функции у=ахг-\-ex-\-с (113).
оол
6. Функция, обратная данной................ 115
1. Обратное соответствие. Обратная функция (115). 2. График функции, обратной данной (117). 3. Задание формулой функции, обратной данной (118). 4. Графики функций у— УХ и у=-Ух (118).
Глава пятая. Уравнения и системы уравнений
5 1. Линейные уравнения.................. 121
1. Определения (121). 2. Равносильные уравнения (122). 3. Линейные уравнения (123). 4. Уравнение с переменной в знаменателе (124). 5. Уравнения, содержащие переменную I под знаком модуля. (125).
5 2. Квадратные уравнения......,............ 128
1. Определение (128). 2. Формула корней квадратного уравнения (129). 3. Теорема Виета (136). 4. Разложение кв-адрат-ного трехчлена на множители (138)
§ 3. Системы уравнений..................... 141
1. Основные понятая (141). 2. Метод подстановки (144). 3. Метод-сложения (145). 4. Метод введения новых переменных (147). §4. Графическое решение уравнений и систем уравнений. . . . 150
1. Графическое решение уравнений с одной переменной (150)
2. График уравнения с двумя переменными (151). 3. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными (153). 4. Графическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными (153).
§ 5. Решение задач с помощью составления уравнений и систем уравнений....................... 155
Глава шестая. Неравенства
§ 1. Свойства неравенств................... 159
§ 2. Неравенства с одной переменной............. 163
1. Линейные неравенства (163). 2. Системы и совокупности неравенств (165). 3. Примеры решения нелинейных неравенств (168). 4. Примеры графического решения неравенств и систем неравенств с одной переменной (171).
Глава седьмая. Арифметическая и геометрическая прогрессии
§ 1. Числовые последовательности. .............. 174
§ 2. Арифметическая прогрессия................ 177
1. Основные понятия (177). 2. Характеристическое свойство (178). 3. Связь с линейной функцией (179). 4. Формула суммы п первых членов (179)
331
§ 3. Геометрическая прогрессия. ... ......
1. Основные понятия (183). 2. Характеристическое свойство (185). 3. Формула суммы п первых членов (185).
Глава восьмая. Показательная и логарифмическая функции
§ 1. Показательная функция................ .,,.
1. Определение (190). 2. Свойства показательной функций (161). 3. График показательной функции (192). 4. Целая и дробная части числа (195). 5. Функция у=\0х (196)
§ 2. Логарифмическая функция................ 2оо
1. Определение логарифма (200). 2. Десятичные логарифмы (201). 3. Функция r/=lg x (202). 4. Логарифмирование и потенцирование (203). 5. Стандартный вид числа. Характеристика и мантисса (207). 6. Вычисления с помощыв таблиц логарифмов (208).
ЧАСТЬ И. ГЕОМЕТРИЯ
Глава девятая. Начальные понятия геометрии
§ 1. Основные понятия.................. 213
1. Неопределяемые понятия в геометрии (213). 2. Расстояние и его свойства (213). 3. Язык теории множеств в геометрии (214). 4. Понятие «лежать между» (215).
§ 2. Геометрические фигуры................. 216
1. Отрезок (216). 2. Луч (217). 3. Полуплоскость (218). 4. Ломаная. Многоугольник (218). 5. Угол (221). 6. Окружность и круг (222).
Глава десятая. Конгруэнтность фигур и перемещения
§ 1. Конгруэнтные фигуры................... 226
1. Отображения фигур (226). 2. Конгруэнтные фигуры (227). § 2. Перемещения....................... ?-
1. Отображения плоскости на себя. Перемещения (228).
2. Поворот (229). 3. Центральная симметрия (230). 4. Осевая симметрия (232).
Глава одиннадцатая. Параллельный перенос (вектор)
OQQ
§ 1. Аксиома параллельных. Направления...........
1. Аксиома параллельных (238). 2. Направления. Углы
между направлениями (238).
241 § 2. Вектор. Свойства векторов.................
1.Параллельный перенос (вектор) (241). .
332
1' Глава двенадцатая. Многоугольники
1. Треугольники......................, . 245
1. Виды треугольников. Основные свойства (245). 2. Признаки параллельности прямых (248). 3. Свойства серединного перпендикуляра и биссектрисы угла (249).
2. Четырехугольники..................... 251
1. Параллелограмм (251). 2. Прямоугольник, Ромб. Квадрат. (253). 3. Трапеция (255)
3. Площади многоугольников................. 256
1. Понятие площади (256). 2. Площадь четырехугольника (257). 3. Площадь треугольника (258).
>4. Вписанные и описанные многоугольники ........ 258
1. Вписанные и описанные треугольники (258). 2. Вписанные и описанные четырехугольники (260).
Глава тринадцатая. Элементы векторной алгебры
I 1. Основные действия с векторами.............. 266
1. Сложение векторов (266). 2. Коллинеарные векторы (268). 3. Противоположный вектор. Вычитание векторов (270). 4. Умножение вектора на число (272). 5. Основные законы векторной алгебры (272).
Глава четырнадцатая. Подобие ,
) 1. Подобие и гомотетия.................... 277
1. Подобные фигуры (277). 2. Гомотетия и ее свойства (278). 3. Пропорциональные отрезки (280). 4. Построение подобных фигур (281).
§2. Подобные треугольники. ................. 284
1. Признаки подобия треугольников (284). 2. Теорема Пифагора (285).
§ 3. Длина окружности и площадь круга............ 287
1. Отношение периметров и площадей подобных фигур (287)
2. Длина окружности и площадь круга (288).
§ 4, Применение гомотетии и подобия............. 289
1. Применение «Метода подобия» при решении задач на построение (289). 2. Определение высоты предмета (290).
3. Определение расстояния до недоступной точки (290),
Цена: 100руб.
