ГЛАВА I
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнения первого порядка .................. 11
1. Общие понятия (11). 2. Уравнения с отделяющимися переменными (12). 3. Однородные уравнения (15). 4. Линейные уравнения и уравнение Бернулли (19). 5. Определение решения дифференциального уравнения по начальному условию (25). 6. Способ Эйлера — Коши (29). 7. Общий интеграл (32). 8. Уравнение Клеро (37). 9. Уравнение Лагранжа (39). 10. Огибающие семейства кривых и особые решения (41). 11. Уравнения, квадратные относительно у' (44). 12. Изовональные траектории (45).
§ 2. дифференциальные уравнения высших порядков и системы
уравнений........................... 48
13. Общие понятия (48). 14. Графические способы интегрирования дифференциального уравнения второго порядка (51). 15. Уравнение у («) = f(x) (55). 16. Изгиб балки (57). 17. Понижение порядка дифференциального уравнения (61). 18. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (65). 19. Примеры (68). 20. Системы уравнений и уравнения высших порядков (73). 21. Линейные уравнения с частными производными (74). 22. Геометрическая интерпретация (77).
23. Примеры (80).
ГЛАВА II
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами 83
24. Линейные однородные уравнения второго порядка (83). 25. Линейные неоднородные уравнения второго порядка (86). 26. Линейные уравнения высших порядков (88). 27, Однородные уравнения
1*
неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (92). 29. Частные случаи (94). 30. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами (96). 31. Линейные уравнения и колебательные явления (98). 32. Собственные и вынужденные колебания (100). 33. Синусоидальная внешняя сила и резонанс (102). 34. Внешняя сила типа импульса (107). 35. Внешняя сила, действующая статически (108). 36. Прочность тонкого упругого стержня, сжимаемого продольной силой (111). 37. Вращающийся вал (113). 38. Символический метод (114). 39. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами (117). 40. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами (120). 41. Пример (121). 42. Уравнение Эйлера (122). 43. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (125). 44. Примеры (129).
§ 4. Интегрирование с помощью степенных рядов.........132
45. Интегрирование линейного уравнения с помощью степенного ряда (132). 46. Примеры (135). 47. Разложение решения в обобщенный степенной ряд (137). 48. Уравнение Бесселя (139). 49. Уравнения, приводящиеся к уравнению Бесселя (142).
§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных уравнений ..................*............144
50. Метод последовательных приближений для линейных уравнений (144). 51. Случай нелинейного уравнения (152). 52. Особые точки дифференциального уравнения первого порядка (157).
53. Линии тока коллинеарного плоского движения жидкости (159).
ГЛАВА 111
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 6. Кратные интегралы.......................156
54. Объемы (166). 55. Двукратный интеграл (169). 56. Вычисление двукратного интеграла (172). 57. Криволинейные координаты (176). 58. Трехкратный интеграл (179). 59. Цилиндрические и сферические координаты (184). 60. Криволинейные координаты в пространстве (189). 61. Основные свойства кратных интегралов (191). 62. Площадь поверхности (192). 63. Интегралы по поверхности и формула Остроградского (195). 64. Интегралы по определенной стороне поверхности (19У). Ь5. Моменты (201).
§ 7. Криволинейные интегралы...................205
66 Определение криволинейного интеграла (205). 67. Работа силового поля. Примеры (209). 68. Площадь и криволинейный интеграл (213). 69. Формула Грина (216). 70. Формула Стокса (218). 71. Независимость криволинейного интеграла от пути на плоскости (221). 72. Случай многосвязной области (226). 73. Независимость криволинейного интеграла от пути в пространстве (229). 74. Установившееся течение жидкости (231). 75. Интегрирующий множитель (233). 76. Уравнение в полных дифференциалах для случая трех переменных (238). 77. Замена переменных в двойном интеграле (239).
§ 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра 242
78. Интегрирование под знаком интеграла (242). 79. Формула Дирихле (244). 80. Дифференцирование под знаком интеграла (247). 81. Примеры (250). 82. Несобственные интегралы (255). 83. Неабсолютно-сходящиеся интегралы (259). 84. Равномерно-сходящиеся интегралы (263). 85. Примеры (266). 86. Несобственные кратные интегралы (270). 87. Примеры (274).
§ 9. Дополнительные сведения по теорий кратных интегралов . . . 280
88. Предварительные понятия (280). 89. Основные теоремы теории множеств (281). 90. Внутренняя и внешняя площади (283). 91. Ква-дрируемые множества (285). 92. Независимость от выбора осей (287). 93. Случай любого числа измерений (289). 94. Теорема Дарбу (289). 95. Интегрируемые функции (291). 96. Свойства интегрируемых функций (293). 97. Вычисление двойного интеграла (294). 93. л-крат-пые интегралы (296). 99. Примеры (298).
ГЛАВА IV ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ Ю- Основы векторной алгебры..................300
100. Сложенней вычитание векторов (300). 101. Умножение вектора на скаляр. Компланарность векторов (302). 102. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам (303). 103. Скалярное произведение (304). 104. Векторное произведение (305). 105. Соотношения между скалярным и векторным произведениями (308). 106. Распределение скоростей при вращении твердого тела; момент вектора (311).
§ 11- Теория поля......................... 312
*07. Дифференцирование вектора (312). 108. Скалярное поле и его грлдпент (314). 109. Векторное поле. Вихрь и расходимость (317).
НО. Потенциальное и соленоидальное поле (321). 111. Направленный элемент поверхности (323). 112. Некоторые формулы векторного анализа (325). 113. Движение твердого тела и малая деформация (326). 114. Уравнение непрерывности (329). 115. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости (331). 116. Уравнения распространения звука (333). 117. Уравнение теплопроводности (334). 118. Уравнения Максвелла (337). 119. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах (339). 120. Операция дифференцирования для случая переменного поля (345).
Г л л в А V
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ § 12. Кривые на плоскости и в пространстве............351
121. Плоская кривая, ее кривизна и эволюта (351). 122. Эвольвента (357). 123. Естественное уравнение кривой (358). 124. Основные элементы кривой в пространстве (360). 125. Формулы Френе (364). 126. Соприкасающаяся плоскость (365). 127. Винтовые линии (365).
128. Поле единичных векторов (367).
О
§ 13. Элементы теории поверхностей................368
129. Параметрические уравнения поверхности (368). 130. Первая дифференциальная форма Гаусса (371). 131. Вторая дифференциальная форма Гаусса (372). 132. О кривизне линий, начерченных на поверхности (374). 133. Индикатриса Дюпена и формула Эйлера (378). 134. Определение главных радиусов кривизны и главных направлений (380). 135. Линии кривизны (382). 138. Теорема Дюпена (384), 137. Примеры (386). 133. Гауссова кривизна (388).
139. Вариация элемента площади и средняя кривизна (389).
140. Огибающая семейства поверхностей и кривых (392). 141. Развертывающиеся поверхности (395).
ГЛАВА VI
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 14. Гармонический анализ....................398
142. Ортогональность тригонометрических функций (398) 143. Теорема Дирихле (403). 144. Примеры (405). 145. Разложение в проме--жутке (0, к) (407). 146. Периодические функции периода 2/ (412). 147. Средняя квадратичная погрешность (414). 148. Общие ортогональные системы функций (419). 149. Практический гармонический анализ (424).
6 15 Дополнительные сведения из теории рядов Фурье......430
150. Разложение в ряд Фурье (430). 151. Вторая теорема о среднем (435). 152. Интеграл Дирихле (439). 153. Теорема Дирихле (443).
154. Приближение к непрерывной функции полиномами (445).
155. Формула замкнутости (450). 156. Свойства замкнутых систем функций (452). 157. Характер сходимости рядов Фурье (456). 158. Улучшение сходимости рядов Фурье (461). 159. Пример (464).
к 16. Интеграл Фурье и кратные ряды Фурье...........46/
S
ItO. Формула Фурье (467). 161. Ряды Фурье в комплексной форме (475). 162. Кратные ряды Фурье (476).
ГЛАВА VII
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 17. Волновое уравнение......................478
1СЗ. Уравнение колебаний струны (478). 164. Решение Далам-бера (482). 165. Частные случаи (485). 166. Ограниченная струна (489). 167. Способ Фурье (494). 168. Гармоники и стоячие во.лны (496). 169. Вынужденные колебания (499). 170. Сосредоточенная сила (502). 171. Формула Пуассона (506). 172. Цилиндрические волны (510). 173. Случай n-мерного пространства (512). 174. Неоднородное волновое уравнение (514). 175. Точечный источник (518). 176. Поперечные колебания мембран (519). 177. Прямоугольная мембрана (520). 178. Круглая мембрана (524). 179. Теорема единственности (531).
180. Применение интеграла Фурье (534).
§ 13. Телеграфное уравнение....................536
181. Основные уравнения (536). 182. Установившиеся процессы (537). 183. Устанавливающиеся процессы (539). 184. Примеры (542). 185. Обобщенное уравнение колебаний струны (545). 186. Неограниченная цепь в общем случае (549). 187. Способ Фурье для ограниченной цепи (551). 188. Обобщенное волновое уравнение (556).
§ 19. Колебания стержней......................55S
189. Основные уравнения (558). 190. Частные решения (560).
191. Разложение произвольной функции (564).
§ 20. Уравнение Лапласа......................567
192. Гармонические функции (567). 193. Формула Грина (569). 194. Основные свойства гармонических функций (574). 195. Решение задачи Дирихле для круга (578). 198. Интеграл Пуассона (5S1J.
197. Задача Дирихле для сферы (585). 193. Функция Гринл (589). 199. Случай полупространства (591). 200. Потенциал объемных масс (592). 201. Уравнение Пуассона (596). 202. Формула Кирхгофа (600).
§ 21. Уравнение теплопроводности.................603
203. Основные уравнения (603), 204. Неограниченный стержень (604). 205. Стержень, ограниченный с одного конца (609). 206. Стержень, ограниченный с обоих концов (614). 207. Дополнительные замечания (617). 208. Случай сферы (618). 209. Теорема единственности (620).
Алфавитный указатель........................624
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание второго тома значительно отличается от предыдущего. Вся первая глава предыдущего издания, содержащая теорию комплексных чисел, основы высшей алгебры и интегрирование функций, перешла в первый том. Наоборот, из первого тома перенесен во второй том весь материал, относящийся к основам векторной алгебры. Этот материал объединен с векторным анализом и вошел в состав главы IV.
Изложение остальных глав подверглось существенным изменениям. Особенно это относится к главам III, VI и VII. В главе III, между прочим, добавлен специальный параграф, посвященный изложению теории измерения и строгой теории кратных интегралов. В главе VI произведено некоторое перераспределение материала и добавлено доказательство уравнения замкнутости на основе теоремы Вейер-штрасса о приближении к непрерывной функции полиномами. В главе VII добавлены вопросы распространения сферических и цилиндрических волн и формула Кирхгофа для решения волнового уравнения. Изложение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ведется сначала без применения символического метода.
Первые параграфы каждой главы сохранили прежний характер изложения. Примеры и дополнительный теоретический материал выделены в мелкий шрифт. Изложение ведется так, что основной материал, напечатанный крупным шрифтом, может изучаться самостоятельно.
Профессор Г. М. Фихтенгольц прочел всю рукопись настоящего издания и сделал мне ряд ценных указаний в отношении изложения, за что я выражаю ему мою глубокую благодарность.
Цена: 300руб.
