Предисловие к шестому изданию............................. 7
Из предисловия ко второму изданию........................... 9
№ предисловия к первому изданию........................ 9
Введешь............................................ Ц
Глава 1. Случайные события и их вероятности................... 16
§ 1. Интуитивные представления о случайных событиях............ 16
§ 2. Поле событий. Классическое определение вероятности.......... 20
§ 3. Примеры...................................... 29
§ 4. Геометрические вероятности.......................... 38
§ 5. О статистической оценке неизвестной вероятности............ 45
§ 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей............ 49
§ 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы......... 54
§ 8. Примеры...................................... 62
Упражнения......................................... 69
Глава 2. Последовательность независимых испытаний.............. 72
§ 9. Вводные замечания................................ 72
§ 10. Локальная предельная теорема......................... 77
§ 11. Интегральная предельная теорема....................... 85
§ 12. Применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа........... 92
§ 13. Теорема Пуассона................................. 97
§ 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний................ 103
Упражнения......................................... Ю6
Глава 3. Цепи Маркова................................. 109
§15. Определение цепи Маркова........................... 109
§ 16. Матрица перехода................................. ПО
§ 17. Теорема о предельных вероятностях..................... 112
Упражнения......................................... 115
Глава 4. Случайные величины и функции распределения............. 116
§ 18. Основные свойства функций распределения................. 116
S 19. Непрерывные и дискретные распределения................. 123
S 20. Многомерные функции распределения.................... 127
S 21. Фу.мкции от случайных величин........................ 135
S 22. Интеграл Стилтьеса................................ 148
Упражнения........... ..................... 153
I*.....................
Глава 5. Числовые характеристики случайных величин.............. 158
§ 23. Математическое ожидание........................... 158
§ 24. Дисперсия..................................... 164
§ 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии............ 169
§ 26. Моменты...................................... 175
Упражнения......................................... 180
Глава 6. Закон больших чисел............................. 184
§ 27. Массовые явления и закон больших чисел.................. 184
§ 28. Закон больших чисел в форме Чсбышева.................. 187
§ 29. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел .... 191
§ 30. Усиленный закон больших чисел........................ 195
§ 31. Теорема В. И. Гливенко.......................... 201
Упражнения....................................... 207
Глава 7. Характеристические функции........................ 209
§ 32. Определение и простейшие свойства характеристических функций 209
§ 33. Формула обращения и теорема единственности............... 214
§ 34. Теоремы Хелли.................................. 219
§ 35. Предельные теоремы для характеристических функций......... 224
§ 36. Положительно определенные функции.................... 228
§ 37. Характеристические функции многомерных случайных величин 234
§ 38. Преобразование Лапласа - Стилтьеса..................... 238
Упражнения......................................... 244
Глава 8. Классическая предельная теорема...................... 248
§ 39. Постановка задачи................................ 248
§ 40. Теорема Линдеберга............................... 251
§ 41. Локальная предельная теорема......................... 257
Упражнения......................................'. • . 263
Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения......... 264
§ 42. Безгранично делимые законы и их основные свойства.......... 265
§ 43. Каноническое представление безгранично делимых законов....... 267
§ 44. Предельная^теорема для без!ранично делимых законов......... 272
§ 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм........... 276
§ 46. Предельные теоремы для сумм......................... 277
§ 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона........ 280
§ 48. Суммирование независимых случайных неличин в случайном числе 283
Упражнения......................................... 288
Глава 10. Теория стохастических процессов.................... 290
§ 49. Вводные замечания................................ 290
§ 50. Процесс Пуассона................................ 294
§ 51. Процессы гибели и размножения........................ 300
§ 52. Условные функции распределения и формула Байеса........... 312
§ 53. Обобщенное уравнение Маркова........................ 316
§ 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова....... 317
jc 55. Чисю разрывный процесс. Уравнения Колмогорова Феллера..... 326
с; 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями . . . 333 л 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о
корреляционной функции............................. 338
j 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов............................... 344
5 59. Эргодическая теорема Биркгофа Хинчина................ 348
[лава 1 1. Элементы статистики............................ 353
g 60. Основные задачи математической статистики................ 353
tj 6 1. Классический метод определения параметров распределения...... 357
§ 62. Исчерпывающие статистики.......................... . 367
§ 63. Доверительные границы и доверительные вероятности . ......... 369
§ 64. Проверка статистических гипотез....................... 377
Дополнение. Очерк истории теории вероятностей................ 386
["лава 1. Предыстория понятия вероятности и случайного события...... 386
§ 1. Первые данные................................... 386
g 2. Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья.................. 388
§ 3. Исследования Галилео Галилея........................ 390
§ 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей 393
§ 5. Работа X. Гюйгенса............................... 397
S 6. О первых исследованиях по демографии................... 400
Г л а в а 2. Период формирования основ теории вероятностей........... 402
§ 7. Возникновение классического определения вероятности......... 402
§ 8. О формировании понятия геометрической вероятности......... 405
§ 9. Основные теоремы теории вероятностей................... 409
§ 10. Задача о разорении игрока........................... 412
§ 11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей......... 413
§ 12. Контроль качества продукции......................... 415
Глава 3. К истории формирования понятия случайной величины....... 418
§ 13. Развитие теории ошибок наблюдений..................... 418
§ 14. Формирование понятия случайной величины................ 420
§ 15. Закон больших чисел............................... 423
§ 16. Центральная предельная теорема........................ 425
§ 17. Общие предельные распределения для сумм................ 429
S 18. Закон повторного логарифма......................... 432
§ 19. Формирование понятий математическою ожидания и дисперсии 434
л а в а 4. .К истории теории случайных процессов.................. 436
S 20. Общие представления............................. . 436
Таблица значений функции i^(.v) =--------е '.................. 441
х/27
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
Более трети века прошло со времени выхода в свет первого издания настоящей книги. С тех пор в нашей стране и за ее пределами вышли многочисленные учебники по теории вероятностей, заслуживающие самой высокой оценки. Отличительная черта подавляющего большинства этих книг -стремление дать возможно более строгое в теоретическом плане изложение теории и показать силу математической абстракции. Настоящая книга ставит перед собой совсем иную цель: восходя от интуитивных представлений и рассматривая большое число примеров, подойти хотя бы к некоторым исследованиям, активно развивающимся в наши дни.
Это издание значительно отличается от предшествующего: введен ряд параграфов, содержащих изложение некоторых новых результатов, вполне доступных читателям настоящей книги; вновь помещена небольшая глава, содержащая элементы математической статистики; приведено добавление, излагающее довольно подробно период возникновения и развития теории вероятностей. Этот очерк базируется на исследованиях последних лет автора и его учеников. Следует сказать, что многие вопросы истории теории вероятностей еще ожидают своих исследователей. В частности, в таком состоянии находится теория случайных процессов. Однако многое еще требует выяснения и в классической теории вероятностей.
Всем хорошо известно, что абстрактное изложение предмета дает возможность быстрее подвести читателя к современному состоянию науки, а также выиграть страницы, которые необходимы для изложения материала. Я считаю, что при первоначальном знакомстве с математическими дисциплинами, а особенно с теорией вероятностей, необходимо рассмотрение большого числа примеров, которые помогли бы развить своеобразную теоретико-вероятностную интуицию, способность увязывать абстрактные идеи и методы с практическими ситуациями. Это приобретение необходимо каждому математику, а особенно подавляющему большинству студентов-математиков, которым предстоит работать в научно-исследовательских институтах прикладного плана. К тому же в настоящее время с теорией вероятностей вынуждены знакомиться многие специалисты, поскольку в их повседневной работе теоретико-вероятностные концепции крайне
Цена: 150руб.
