Предисловие . .............................
Глава I. Теория поля......................... 9
§ 1. Оператор Гамильтона...................... 9
1 Операции первого порядка (10). 2. Правила действий (11). 3. Интегральные формулы (12). 4. Операции второго порядка (13). 5. Разрывные поля (14), •. .- .
§ 2. Специальные типы полей....................... 16
1 Потенциальные поля (16). 2. Безвихревое поле в многосвязной области (17). 3. Соленоидальные поля (19). 4. Примеры (21). 5. Ныотоио» потенциал (23). 6. Построение векторного поля по заданным ротору и дивергенции (25).
Глава П. Теория аналитических функций................27
§ 1. Дифференцирование и отображения................27
1. Производная (27). 2. Условия Коши—Римана (28). 3. Сопряженные гар--монические функции (29). 4. Геометрический смысл производной (30). 5. Конформные отображения (31). 6. Линейные отображения (32). 7. Расширенная комплексная плоскость (33). 8. Дробно-линейное отображение (34). 9. Степенные отображения (37). 10. Многозначные функции и точки
разветвления (39). П. Отображение ш=4- ( z+—) (42)- 12. Показательное и связанные с ним5 отображения (45). 13. Поверхность Римана (47). 14. Приложение к теории плоских полей (48). 15. Примеры (50); 16. Краевые задачи и конформные отображения (52). 17. Общие замечания о конформных отображениях (56). 18. Применение метода малого параметра (58).
§ 2. Интегрирование и степенные ряды .„.-..............61
1. Интеграл (61). 2. Интеграл от аналитической функции (62). 3. Ряды Лорана (63). 4. Разложение аналитической функции в ряд Лорана 165). 5. Ряд Тейлора (67). 6. Аналитические отображения и принципы максимума (70). 7. Аналитическое продолжение (72). 8. Варианты (74).
§ 3. Особые точки и нули ...................... 78
I. Изолированные особые точки (78). 2. Полюс (79). 3. Теорема Коши о вычетах (81). 4. Применение к несобственным интегралам (83). 5. Интегральные формулы Пуассона (91)- 6. Поведение функции на бесконечности (94)» 7. Логарифмические вычеты (95). 8. Теорема Руше (96). 9. Зависимость нулей от параметра (98). 10. Нули многочленов (100)'.
II. Результант двух многочленов (104). 12. Мероморфные функции (Ю5). 13. Формула Кристоффеля-тШварца (108). 14. Понятие об эллиптических
ФУНКЦИЯХ (М:1)< .-..;. •:-.-'
§ 4. Асимптотические разложения . . . ................114
I. Введение (114). 2. Свойства (116). 3. Интеграл типа Фурье (118); •, 4. Интеграл с параметром в вещественном показателе (122). 5. Метод пере-, • вала (125).
1*
t лава in. иперацнонное исчисление .................. 129
§ I. Общая теория..........................129
I. Преобразование Лапласа (129). 2. Образы простых функций (130).
3. Основные свойства преобразования Лапласа (133). 4. Обратное преобразование Лапласа (136). б. Разложение прообраза в сумму (139). 6. Численное определение прообраза (142).
§ 2. Приложения . ..........................144
1 Основная идея (144). 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения (145) 3 Разностные и дифференциально-разностные уравнения (149)
4. Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения (150). 5. Уравнения с частыми производными (151).
§ 3. Варианты ............................155
1. Дискретное преобразование Лапласа (155). 2. Преобразование Фурье растущих функций (157). 3. Другие интегральные преобразования на бесконечном интервале (158). 4. Интегральные преобразования на конечном интервале (162)
Глава IV. Линейная алгебра......................164
§ 1. Сопряженные отображения................... . 1G5
1. Прямая сумма (165). 2. Инвариантные подпространства (166). 3. Сопряженные отображения (167). 4 Разложение, связанное с сопряженными отображениями (168). 5. Отображение пространства в себя (169) 6. Самосопряженное отображение (170) 7. Экстремальное свойство собственных значений (1 71).
§ 2. Квадратичные формы....................... 174
I- Введение (174). 2. Закон инерции квадратичных форм (175). 3. Метод Якоби и теорема Сильвестра (176). 4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду (178)
§ 3. Структура линейного отображения ................ 179
1. Отображение с единственным собственным вектором (1 79). 2. Отображение с единственным собственным значением (182). 3. Общий случай (183). 4. Отображение вещественного пространства (186). 5. Применение к вычислению функций от матриц (188). 6. Другое представление отображения вещественного пространства (190). 7. Структура перестановочных отображений (191).
§ 4. Некоторые численные методы...................192
1. Метод Гаусса (192). 2. Норма матрицы и обусловленность системы (194). 3. Метод улучшения невязки (196). 4. Спектр симметрической матрицы (197). 5. Метод Якоби (198). 6. Вычисление старшего собственного значения путем итераций (199). 7. Вычисление последующих собственных значений (201). 8. Матрицы с неотрицательными элементами (202). 9. Метод А. Н. Крылова (203). 10. Метод малого параметра (204). 11. Метод непрерывного продолжения (205).
§ 5. Задачи линейного программирования .......... ..... 207
1. Основная задача (207). 2. Примеры (208). 3. Геометрические замечания <210). 4 Геометрический смысл основной задачи (212). 5. Стандартный вид основной задачи (214). 6. Метод последовательного улучшения решения (215). 7. Приложение к м тричным играм (219). 8. Варианты (225).
Глава V. Тензоры........................... 228
§ 1. Тензорная алгебра........................ 229
1. Примеры (229). 2. Евклидовы тензоры, общее определение (231). 3. Действия над тензорами (232). 4. Тензоры 2-го ранга (234). 5. Примеры из механики (?35). 6. Общие аффинные тензоры (237). 7. Аффинные тензоры в евклидовом пространстве (239). 8. Индефинитные метрические формы (240). 9. Замечание о размерностях (243).
§ 2, Тензорные поля.................••.......244
1. Поле евклидова тензора (244).. 2. Поступательный перенос вектора в криво-л и не Л них координатах (245). 3. Ковариантное дифференцирование (248). 4. Поле на многообразии евклидова пространства (25J). 6. Внутренняя геометрия и римаиовы пространства (253).
Глава VI. Вариационное исчисление................. . 267
к 1. Первая вариация и необходимые условия экстремума....... 257
1. Примеры задач вариационного исчисления (257). 2. Функционал (259).
3. Функциональные пространства (261). 4. Вариация функционала (264). 5. Уточнение (267). 6. Необходимое условие экстремума (269). 7 Уравнение Эйлера (270). 8. Примеры (273). 9. Функционалы с производными высшего порядка (275). 10. Функционалы от нескольких функций (275). 11 Функционалы от функций нескольких переменных (277)..12. Условный экстремум с интегральными связями (279). 13. Условный экстремум с конечными или дифференциальными связями (282). 14. Задачи, сводящиеся к задаче Лагранжа (285). 15. Задачи с подвижными концами на плоскости (286). 16. Условия трансверсальности (288). 17. Задачи с подвижными концами в пространстве (290). 18. Трансверсальность для функций нескольких переменных (292). 19. Высвобождающие связи (293). 20. Разрывные задачи (295).
§ 2. Вторая вариация и достаточные условия экстремума ....... 297
1. Вариации высших порядков (297). 2. Условия экстремума в терминах второй вариации (299). 3. Необходимые условия Лежандра (300). 4. Квадратичный функционал (301). 5. Условия Якоби (304). 6. Геодезические линии (307). 7. Условия сильного экстремума (309). 8. Вариационная теория собственных значений (311). 9. О существовании минимума (315). 10. Основное условие минимума (317). 11. Зависимость собственных значений от функционала (320).
§ 3. Канонические уравнения и вариационные принципы........322
I. Канонические уравнения (322). 2. Первые интегралы (323). 3. Канонические преобразования (324). 4. Контактные преобразования (326). 5. Теорема Нётер (328). 6. Случай функций нескольких переменных (330). 7. Уравнение Гамильтона — Якоби (332). 8. Плоскость Лобачевского (334). 9. Вариационные принципы (336). 10. Принцип Гамильтона в простейшем случае (338).
II. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом степеней свободы (340). 12. Принцип Гамильтона для сплошных сред. Струна (343). 13. Стержень и пластинка (345). 14. Общая схема вариационного подхода к физическим полям (348). 15. Уравнения движения упругой среды (351). 16. Дисси-пативные системы (352). 17. Принцип минимума потенциальной энергии (364). 18. Примеры (355). 19. Запас устойчивости (357). 20. Вариационные принципы в конформных отображениях (359).
§ 4. Прямые методы.......................... 360
1. Метод Ритца для квадратичного функционала (361). 2. Применение к решению краевых задач (366). 3. Метод счетного множества переменных (367).
4. Метод Ритца для функционалов от функций нескольких переменных (369).
5. Метод Трефтца (373). 6. Метод Ритца для собственных значений (374).
7. Метод Ритца для неквадратичных функцисчалов (376). 8. Метод наименьших квадратов (379). 9. Метод Канторовича (380). 10. Метод Эйлера (382).
Глава VII. Интегральные уравнения.................. 384
§ 1. Введение............................. 384
I. Примеры (384). 2. Основные классы интегральных уравнений (386). 3. Еще о пространстве Гильберта (387).
§ 2. Теория Фредгольма........................389
1. Уравнения с вырожденными ядрами (389). 2. Общий случай (394). 3. Применение бесконечных систем алгебраических уравнений (398). 4. Применение численного интегрирования (401). 5. Уравнения с малыми ядрами (404).
6. Принцип сжимающих отображений (407). 7. Возмущение ядра (409).
8. Характер решений (411). 9. Уравнения Вольтерра 2-го рода^413). 10. Урав- -нения со слабой особенностью (414). 11. Уравнения с вполне непрерывными операторами (416). 12. Уравнения с положительными ядрами (417). '
S 8. Уравнения с симметричными ядрами ............... 418
I. Аналогия с конечномерными уравнениями (418). 2. Разложение ядра по собственным функциям (419). 3. Следствия (421). 4. Переход от несимметричного ядра к симметричному (425). 5. Экстремальное свойство характеристических чисел (427). 6. Уравнения с самосопряженными операторами (430).
3 4. Некоторые специальные классы уравнений............433
1. Уравнения Вольтерра 1-го рода (433): 2. Уравнения Фредгольма 1-го шэда « симметричным ядром (435); 3. Понятие о некорректных задачах (437).
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Уравнения Фредгольма 1-го рода, общий случай (437). В. Применение производящих функций (439). 6. Уравнение Вольтерра с разностным ядром (443). 7. Уравнение Фредгольма с разностным ядрам на оси (445). 8. Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси (450).
§ 5. Сингулярные интегральные уравнения...............454
1. Сингулярные интегралы (455). 2. Формулы обращения (458). 3. Непосред-стзенное применение формул обращения (4&9). 4. Переход к краевой задаче, простой пример (461). 5. Общий замкнутый контур (463). 6. Незамкнутый контур (467). 7. Приведение к бесконечной системе алгебраических уравнений (469).
§ 6. Нелинейные интегральные уравнения...............471
1. Переход к конечным уравнениям (471). 2 Метод итераций (473). 3. Метод малого параметра (475). 4. Применение теории симметричных ядер (476) 5. Применение теории неподвижных точек (478). 6. Вариационные методы (480). 7. Уравнения с параметром (481). 8. Разветвление решений (482).
Глава VIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения....... . 487
§ 1. Линейные уравнения и системы.................. 487
1. Общие свойства (487). 2. Периодические системы (491). 3. Уравнение Хилла (494). 4. Параметрический резонанс (498). 5. Гамильтоновы системы (499). 6. Неоднородные системы (501). 7. Почти-периодические функции (503). S. Асимптотическое разложение решений при t •* оо (505). 9. Еще об асимптотическом поведении решений (608). 10. Осцилляция решений уравнений второго порядка (511) 11 Системы, зависящие от параметра (514). 12. Точки поворота (518).
§ 2. Автономные системы.......................520
1. Общие понятия (520). 2. Предельное поведение траекторий (622). 3. Точки покоя на плоскости, линейные системы (523). 4 Общий случай (527). 5. Циклы на плоскости (530). 6. Вращение векторного поля (533). 7 Точки покоя в пространстве (536). 8. Циклы в пространстве (539). 9. Структурно устойчивые системы (541). 10, Разрывные системы (542). 11. Системы на м иого-образиях (545) 12. Системы с интегральным инвариантом (547) 13. Эргодичность (549).
§ 3. Устойчивость решений......................553
1. Введение (553). 2. Уравнения первого порядка (555). 3. Метод функций Ляпунова (556). 4. Устойчивость по первому приближению (560). 5. Особые случаи (564). 6. Специальные классы механических систем (569). 7. Системы автоматического регулирования (575). 8. Техническая устойчивость (580)
§ 4. Нелинейные колебания......................581
1. Введение (581). 2 Свободные колебания автономной консервативной системы с одной степенью свободы (587). 3. Вынужденные колебания системы с налой нелинейностью, основной случай (592). 4. Особые случаи (594). 5. Субгармонические колебания (599). 6. Еще о вынужденных колебаниях (600). 7. Автоколебания (602). 8. Релаксационные колебания (605). 9 Пограничный слой (607). 10. Непериодические колебания (610). 11. Асимптотические разложения по Н. М. Крылову —Н. Н. Боголюбову (615). 12 Системы с дискретным временем (617),
Литература.............................. 621
Алфавитный указатель........................ 626
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой пособие по специальным главам курса математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений, написанное с единых позиций современной прикладной математики, какими их понимает автор. Книга предназначается в основном для студентов старших курсов втузов и инженеров различных специальностей, но она может выть полезной также физикам и другим специалистам, имеющим дело с прикладной математикой. Книга основана на курсах лекций, прочитанных автором в разные годы, и рассчитана как на аудиторное обучение, так и на самообразование. . . '
По стилю изложения книга близка к «Лекциям по высшей математике» (третье издание, издательство «Наука», 1969 г.; в дальнейшем будет именоваться «ЛВМ») того же автора и может рассматриваться как их продолжение, хотя и читается независимо. Она опирается на общий втузовский курс математики (этим объясняется ее название) и имеет целью развить и укрепить отвечающие современной прикладной математике взгляды на основные математические понятия и факты, а также облегчить применение математики к специальным дисциплинам. Значительное внимание обращается на развитие правильной интуиции и возможно больший показ работающего аппарата, тогда как формальная полнота формулировок и доказательств не является самоцелью. (Поэтому хочется специально подчеркнуть, что эта книга не может обучить доказательству теорем на уровне «чистой» математики, она имеет совсем другое назначение.)
По каждому из освещаемых разделов систематически излагается некоторый необходимый минимум — основные понятия и идеи, представление об области приложений и т. п. За дальнейшими сведениями и деталями читатель отсылается к дополнительной литературе, список которой приведен в конце книги; ссылки на этот список обозначаются номерами в квадратных скобках. При выборе этих разделов, в значительной мере условном, автор в некоторой степени"'ориенти-ровался на официальную программу 1969 г. спецкурсов математики для втузов.
Цена: 150руб.
