Предисловие к третьему изданию................. 7
Указатель обозна чений..................... 10
Введение............................. 11
Глава 1. Общие сведения из теории разностных схем..... 19
1.1. Основные понятия и определения............. 19
1.1.1. Оценки норм некоторых матриц (2i). 1.1.2. Вычисление границ спектра положительной матрицы (25). 1.1.3. Собственные числа и функции оператора Лапласа (33). 1.1.4. Сетки и сеточные функции. Собственные числа и векторы конечно-разностного аналога оператора Лапласа (35).
1.2. Аппроксимация.................... 41
1.3. Счетная устойчивость.................. 49
1.4. Теорема сходимости................... 57
1.5. Конечно-разностные аналоги некоторых задач математической физики....................... 59
1.5.1. Задача Дирихле для одномерного уравнения Пуассона (59).
1.5.2. Одномерная задача Неймана (62). 1.5.3. Двумерное уравнение Пуассона (65). 1.5.4. Проблема граничных условий (70). 1.5.5. Уравнение теплопроводности (72). 1.5.6. Уравнение колебаний (76). 1.5.7. Уравнение движения (80).
Глава 2. Методы построения разностных схем для дифференциальных уравнений.................. 88
2.1. Вариационные методы в математической физике...... 89
2.1.1. Некоторые задачи вариационного исчисления (89). 2.1.2. Метод Ритца (96). 2.1.3. Метод Галёркина (101). 2.1.4. Метод наименьших квадратов (105).
2.2. Построение базисных функций для решения одномерных задач......................... 107
2.2.1. Кусочно-постоянные финитные функции (107). 2.2.2. Кусочно-линейные базисные функции (109). 2.2.3. Общий подход к построению подпространств кусочно-полиномиальных функций (113). 2.2.4. Построение базиса на основе тригонометрических функций и использование его в вариационных методах (116).
2.3. Построение базисных функций для решения многомерных задач.......................... 122
2.3.1. Кусочно-линейные функции на прямоугольнике (122).
2.3.2. Кусочно-линейные базисные функции на прямоугольной области (124). 2.3.3. Билинейные базисные функции (126). 2.3.4. Способы построения подпространств в областях с криволинейной границей (128). 2.3.5. Способы построения подпространств F^ для
многомерных задач (131). 1*
2.4. Вариационно-разностные и проекционно-сеточные схемы 133
2.4.1. Вариационно-разностная схема для одномерного уравнения диффузии (131). 2.4.2. Вариационно-разностная схема для эллиптического уравнения (139). 2.4.3. Проекционно-сеточная схема для эллиптического уравнения (113). 2.4.4. Решение третьей краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка (147) 2.4.5. Метод штрафа (151).
2.5. Метод интегральных тождеств.............. 152
2.5.1. Построение разностных уравнений для задач с разрывными ко-еффициентами на основе интегрального тождества (152). 2,5.2. Вариационная форма интегрального тождества (160).
2.6. Построение схем для нестационарных задач проекционно-се-точным методом..................... 169
Глава 3. Интерполяция сеточных функций........... 173
3.1. Интерполяция функций одного переменного........ 174
3.1.1. Интерполяция функций одного переменного с помощью кубических сплайнов (174). 3.1.2. Кусочно-кубическая интерполяция со сглаживанием (178). 3.1.3. Гладкие восполнения (181). 3.1.4. Сходимость сплайн-функций (182).
3.2. Интерполяция функций двух и многих переменных . . . 184
3.3. r-гладкое приближение функций многих переменных . . . 187
3.4. Элементы общей теории сплайнов............. 193
Глава 4. Методы решения стационарных задач математической
физики....................... 199
4.1. Общие понятия теории итерационных методов....... 200
4.2. Некоторые итерационные методы и их оптимизация . . . 202
4.2.1. Простейший итерационный метод (202). 4.2.2. Сходимость и оптимизация стационарных итерационных методов (205). 4.2.3. Метод последовательной верхней релаксации (208). 4.2.4. Чебы-шевский итерационный метод (213). 4.2.5. Сравнение скорости сходимости итерационных методов для систем разностных уравнений (222).
4.3. Нестационарные итерационные методы.......... 224
4.3.1. Теоремы сходимости (224). 4.3.2. Метод минимальных невязок
(227). 4.3.3. Метод сопряженных градиентов (228).
4.4. Метод расщепления................... 234
4.4.1. Коммутативный случай (237). 4.4.2. Некоммутативный случай (241). 4.4.3. Вариационная и чебышевская оптимизация методов расщепления (246).
4.5. Итерационные методы для систем с вырожденными матрицами ........................... 251
4.5.1. Случай совместной системы (251). 4.5.2. Случай несовместной системы (253). 4.5.3. Метод фиктивных областей (255).
4.6. Итерационные методы при неточных входных данных . . . 259
4.7. Прямые методы решения конечно-разностных уравнений 261
4.7.1. Быстрое преобразование Фурье (261). 4.7.2. Метод циклической редукции (266). 4.7.3. Факторизация разностных уравнений (268).
4.8. Асимптотический анализ алгоритмов решения задач . . . 279 4.8.1. Оценки некоторых алгоритмов линейной алгебры (280).
4.8.2. Анализ вычислительных алгоримов решения модельной задачи (282).
Глава 5. Методы решения нестационарных задач........ 290
5.1. Разностные схемы второго порядка аппроксимации с операторами, зависящими от времени............. 290
5.2. Неоднородные уравнения эволюционного типа....... 29з
5.3. Методы растепления нестационарных задач....... 294
5.3.1. Метод стабилизации (295). 5.3.2. Метод предиктор-корректор
(299). 5.3.3. Метод покомпонентного расщепления (303). 5.3.4. Некоторые общие замечания. Попеременно-треугольный метод (308).
5.4. Многокомпонентное растепление задач.......... 312
5.4.1. Метод стабилизации (312) 5.4.2. Метод предиктор-корректор
(314). 5.4.3. Метод покомпонентного расщепления на основе элементарных схем (316). 5.4.4. Расщепление квазилинейных задач (321).
5.5. Общий подход к покомпонентному расн-еплению...... 322
5.6. Методы решения уравнений гиперболического типа . . . 327
5.6.1. Метод стабилизации (327). 5.6.2. Сведение уравнения колебаний к эволюционной аадаче (330).
5.7. Методы решения многомерного уравнения движения и уравнения переноса..................... 335
5.7.1. Двумерное уравнение движения с переменными коэффициентами (336). 5.7.2. Многомерное уравнение движения (340). 5.7.3. Нестационарное уравнение переноса нейтронов (3.6).
5.8. Асимптотический анализ и распараллеливание алгоритмов решения простейшего уравнения диффузии........ 359
Глава 6. Повышение точности приближенных решений по Ричардсону ...................... 366
6.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка 366
6.2. Общие результаты................... 361
6.2.1. Теорема о разложении (372). 6.2.2. Ускорение сходимости (378).
6.3. Простейшие интегральные уравнения........., . 384
6.3.1. Уравнение Фредгольма второго рода (384). 6.3.2. Уравнение Вольтерра первого рода (387).
6.4. Одномерное уравнение диффузии............. 389
6.4.1. Разностный метод (390). 6.4.2. Метод Галёркина (392).
6.5. Нестационарные задачи................. 399
6.5.1. Уравнение теплопроводности (399). 6.5.2. Метод расщепления для эволюционной задачи (404).
6.6. Экстраполяция Ричардсона для многомерных задач . . . 406
Глава 7. Методы Шварца и разделения области........ 411
7.1. Метод Шварца..................... 412
7.1.1. Формулировка метода (411). 7.1.2. Сходимость метода (414).
7.2. Метод разделения области................ 418
7.2.1. Алгоритмы метода разделения области (418). 7.2.2. Сходимость алгоритмов (423). 7.2.3. Распараллеливание процесса решения задач (427).
7.3. Метод разделения области в нестационарных задачах . . . 430
7.4. Метод фиктивных областей................ 436
Глава 8. Сопряженные уравнения и методы возмущений . . . 443
8.1. Основные и сопряженные уравнения. Алгоритмы возмущений ........................... 443
8.2. Метод теории возмущений для задач на собственные значения .......................... 451
8.3. Сопряженные уравнения и теория возмущений для линейных функционалов ................... 457
8.4. Алгоритмы возмущений в нестационарных задачах. Применение спектрального метода ............... 461
8.5. Формулировка теории возмущений для сложных нелинейных моделей..................... 465
8.6. Применения сопряженных уравнений и методов возмущений
в прикладных задачах.................. 469
8.6.1. Задачи теории переноса излучения (:69). 8.6.2. Задачи охраны окружающей среды (»71).
Глава 9. Постановка и численные методы решения некоторых
обратных задач................... 475
9.1. Основные определения и примеры............ 476
9.2. Решение обратных эволюционных задач с постоянным оператором ......................... 485
9.2.1. Метод Фурье (485). 9.2.2. Редукция к решению прямой задачи (488).
9.3. Обратная эволюционная задача с оператором, зависящим
от времени....................... 490
9.4. Постановка обратных задач на основе методов теории возмущений ........................ 497
9.4.1. Некоторые вопросы линейной теории измерений (197). 9.4.2. Сопряженные функции и понятие ценности (i98). 9.4.3. Теория возмущений для линейных функционалов (502). 9.4.4. Численные методы решения обратных задач и планирование эксперимента (503).
Глава 10. Методы оптимизации................ 510
10.1. Выпуклое программирование.............. 510
10.2. Линейное программирование.............. 515
10.3. Квадратичное программирование............ 520
10.4. Численные методы для задачи выпуклого программирования 525
10.5. Динамическое программирование............ 528
10.6. Принцип максимума Понтрягина............ 533
10.7. Экстремальные задачи с ограничениями и вариационные неравенства...................... 539
10.7.1. Элементы общей теории (539). 10.7.2. Примеры экстремальных вадач (542). 10.7.3. Численные методы для экстремальных задач (548).
Г л а в а И. Обзор методов вычислительной математики..... 554
11.1. Теория аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем...................... 554
11.2. Методы численного решения задач математической физики 557
11.3. Условно корректные задачи............... 563
11.4. Вычислительные методы в линейной алгебре...... 564
11.5. Вопросы оптимизации численных методов........ 568
11.6. Методы оптимизации.................. 570
11.7. Методы Шварца и разделения области......... 572
11.8. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений .... 573
Список литературы........................ 575
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая книга является результатом обработки курса лекций по вычислительной математике, который в течение ряда лет читался автором для студентов математического факультета Новосибирского государственного университета. Автор стремился акцентировать вниманье на сложных задачах математической физики, которые в пр< >ессе решения, как правило, редуцируются к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию алгоритмов на современных вычислительных машинах. Именнч с такими, сложными задачами зачастую сталкивается молодой иссл?^вателъ в своей практической работе после окончания высшего учебнсго заведения. Поэтому данная книга прежде всего рассчитана на тех, кто впервые встречается с необходимостью решения больших задач математической физики и хочет получить рекомендации о рациональных подходах к решению.
Автором избрана такая форма изложения, которая, по его мнению, способствует привлечению внимания к проблемам прикладной и вычислительной математики более или менее широкого круга исследователей. Эта форма потребовала известных уступок в изложении, позволив сосредоточить внимание лишь на основных идеях и подходах к решению задач. Что касается деталей, иногда существенных, и возможных обобщений, например таких, как минимальные требования к гладкости функций, ограничения на входные данные задач и т. п., то для специалистов они в большинстве случаев очевидны, а для начинающего исследователя предоставляют хорошие возможности для полезных упражнений.
Одиннадцатая глава основана на материалах доклада автора на Международном математическом конгрессе в Ницце (1970 г.), дополненных новыми материалами. Эта глава дает некоторое представление не только о методах и проблемах вычислительной математики, рассмотренных в курсе, но и о тех направлениях, которые не вошли в книгу, но имеют существенное значение как в теоретическом плане, так и для приложений.
Часть материала книги была изложена в монографии под тем же названием, вышедшей в 1973 г. Настоящее учебное пособие существенно отличается от нее. Так, в первое издание (1977 г.) включен ряд новых идей и алгоритмов, которые представляют методический и практический интерес. В частности, в книгу были включены новые алгоритмы оптимизации на основе вариационных
Цена: 600руб.
