ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................. П
ЧАСТЬ I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.....13
Глава I. Тензор напряжений....................13
§ 1. Поле напряжений в сплошной среде................13
1.1. Координатные системы в механике сплошной среды (13). 1.2. Внешние силы (15). 1.3. Внутренние силы в сплошной среде (17). 1.4. Равновесие элементарного тетраэдра (19). 1.5. Необходимые условия равновесия сплошной среды (21). 1.6. Тензор функций напряжений (25).
§ 2. Свойства тензора напряжений...................27
2.1. Преобразование компонент. Главные напряжения. Главные инварианты (27).
2.2. Круги Мора (30). 2.3. Разбиение тензора напряжений на шаровой тензор н девиатор (32). 2.4. Примеры напряженных состояний (33).
§ 3. Материальные координаты....................37
3.1. Представление тензора напряжений (37). 3.2. Зависимости Коши (37). 3.3. Необходимые условия равновесия (38). 3.4. Другое определение тензора напряжений (39). 3,5. Элементарная работа внешних сил (40). 3.6. Энергетический тензор напряжений (43). 3.7. Инварианты тензора напряжений (44).
§ 4. Интегральные оценки напряженного состояния..........45
4.1. Моменты функции (45). 4.2. Моменты компонент тензора напряжений (45). 4.3 Случаи га=0, п=1 (46). 4.4. Моменты напряжений первого порядка (46). 4.5. Пример. Сосуд под внешним и внутренним давлением (47). 4.6. Пример. Главный вектор и главный момент напряжений в плоском сечении тела (48). 4 7. Оценка среднего значения квадратичной формы компонент тензора напряжений (49). 4.8. Оценка удельной потенциальной энергии деформированного линейно-упругого тела (.51). 4.9. Оценка удельной интенсивности касательных напряжений (51). 4.10. Моменты напряжений второго и более высокого порядка (52). 4.11. Оценка снизу максимума компонент напряжений (52). 4.12. Уточненная оценка (54).
Глава II. Деформация сплошной среды...............57
§ 1. Линейный тензор деформации...................57
1.1. Обзор содержания главы (57). 1.2. Определение линейного тензора деформации (58).
§ 2. Определение вектора перемещения по линейному тензору деформации ................................60
2.1. Совместность деформаций (зависимости Сен-Венана) (60). 2.'. Вектор переме- • щения. Формула Чезаро (63). 2.3. Пример. Температурное поле (64). 2.4. Дисторсии Вольтерра (66).
§ 3. Первая мера и первый тензор конечной деформации........68
3.1. Векторные базисы о- и У-объемов (68). 3.2. Тензоры-градиенты V/?, ~Чг (71).
3.3. Первая мера деформации (Коши — Грин) (71). 3.4. Геометрическое значение компонент первой меры деформации (73). 3.5. Изменение ориентированной площадки (74). 3.6. Первый тензор конечной деформации (75). 3.7. Главные деформации, главные оси деформации (77). 3.8. Конечный поворот среды как твердого тела (78). 3.9. Выражение тензора конечной деформации через линейный тензор деформации и линейный вектор поворота (78).
§ 4. Вторая мера и второй тензор конечной деформации........79
4.1. Вторая мера конечной деформации (79). 4.2. Геометрическое значение компонент второй меры деформации (80). 4.3. Второй тензор конечной деформации САльманзи — Гамель) (81).
§ 5. Связь между мерами деформации.................82
5.1. Сопоставление мер деформации и обратных им тензоров (82). 5.2. Связь между инвариантами (82). 5.3. Представление мер деформации в главных осях (83).
5.4. Инварианты тензоров конечной деформации (85). 5.5. Объемное расширение (86). 5.6. Преобразование подобия начального состояния (87). 5.7. Определение вектора перемещения по мерам деформации (87).
§ 6. Примеры деформированных состояний...............89
6.1. Аффинное преобразование (89). 6.2. Плоское поле перемещений (90). 6.3. Простой сдвиг (92). 6.4. Кручение круглого цилиндра (94). 6.5. Цилиндрический изгиб прямоугольной плиты (95). 6.6. Радиально-симметричная деформация полой сферы (97). 6.7. Осесимметричная деформация полого цилиндра (98).
ЧАСТЬ II
УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ..........100
Глава III. Закон состояния линейной теории упругости.......100
§ I. Изотропная сплошная среда....................100
1.1. Постановка задачи линейной теории упругости (100). 1.2. Элементарная работа (102). 1.3. Изотропная однородная среда Генки (103).
§ 2. Потенциальная энергия деформации................106
2.1. Внутренняя энергия линейно-деформируемого тела (106). 2.2. Изотермический процесс деформирования (107). 2.3. Адиабатический процесс (108). 2.4. Удельная потенциальная энергия деформации. Среды Генки (109).
§ 3. Обобщенный закон Гука.............•..,.... 111
3.1. Модули упругости (111). 3.2. Удельная потенциальная энергия деформации линейно-упругого тела (114). 3.3. Формула Клапейрона. Область значений модулей упругости (116). 3.4. Учет температурных слагаемых. Свободная энергия (118).
3.5. Термодинамический потенциал Гиббса (120). 3.6. Уравнение теплопроводности (121).
Глава IV. Основные соотношения линейной теории упругости .... 124
J 1. Дифференциальные уравнения линейной теории упругости.....124
1.1. Перечень исходных соотношений (124). 1.2. Краевые условия (124). 1.3. Диф> ференциальные уравнения теории упругости в перемещениях (126). 1.4. Представление решения в форме Папковича— Нейбера (128). 1.5. Решение в напряжениях. Зависимости Бельтрами (131). 1.6. Преобразование Ю. А. Круткова (133). 1.7. Решение Буссинека — Галеркина (135). 1.8. Криволинейные координаты (136). 1.9. Ортогональные координаты (138). 1.10. Аксиально-симметричные задачи. Решение Ля-ва (139). 1.11. Кручение тела вращения (141). 1.12. Деформация тела вращения (141). 1.13. Решение Папковича — Нейбера для тела вращения (144). 1.14. Учет температурных слагаемых (146).
§ 2. Вариационные принципы статики линейно-упругого тела......148
2.1. Стационарность потенциальной энергии системы (148). 2.2. Принцип минимума потенциальной энергии системы (150). 2.3. Метод Ритца (153). 2.4. Способ Галеркина (154). 2.5. Принцип минимума дополнительной работы (156). 2.6. Смешанный
шич стационарности (Е. Рейсснер. 1961) (159). 2.7. Вариационные принципы "Р v«pTe температурных слагаемых (161). 2.8. Принцип Сен-Венана. Энергетиче-сТ'е рассмотрение (163).
& 3 Теорема взаимности. Потенциалы теории упругости........167
з I формулировка и доказательство теоремы взаимности (Бетти, 1872) (167). qV Тензор влияния. Теорема Максвелла (168). 3.3. Применение теоремы взаимности (169)- 3.4. Теорема взаимности при учете температурных слагаемых (172). ?5 Тензор влияния в неограниченной упругой среде (173). 3.6. Потенциалы теории упругости (176). 3.7. Определение поля перемещений по заданию внешних сил и вектора перемещения на поверхности тела (179). 3.8. О поведении потенциалов теории упругости на бесконечности (181).
§ 4. Теоремы единственности и существования решений........182
4.1. Теорема Кирхгоффа (182). 4.2. Интегральные уравнения первой краевой за дачи (185). 4.3. Интегральные уравнения второй краевой задачи (187). 4.4. Сопоставление интегральных уравнений первой и второй краевых задач (190). 4.5. Теорема существования решения второй внешней и первой внутренней задачи (191). 4.6. Вторая внутренняя краевая задача ц('' (192). 4.7. Эластостатическая задача Робена (193). 4.8. Первая внешняя краевая задача l'e' (196).
§ 5. Напряженное состояние в двусвязном объеме...........197
5.1. Обзор содержания (197). 5.2. Определение напряженного состояния по постоянным барьера (198). 5.3. Теорема взаимности (200). 5.4. Потенциальная энергия ди-сторсии (201). 5.5. Случай тела вращения (202). 5.6. Краевая задача для двусвяз-ного тела вращения (205).
ЧАСТЬ III
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. . .207
Глава V. Пространственные задачи.................207
§ 1. Неограниченная упругая среда..................207
1.1. Силовые точечные особенности (207). 1.2. Система сил, распределенных в малом объеме. Формулы Лауричелла (209). 1.3. Интерпретация второго потенциала теории упругости (215). 1.4. Потенциалы Буссинека (215). 1.5. Термоупругие перемещения (217). 1.6. Напряженное состояние, создаваемое включением (219).
§ 2. Упругое полупространство.........'...........223
2.1. Задачи Буссннека и Черрути (223). 2.2. Частная задача Буссинека (224). 2.3. Распределенная нормальная>нагрузка (225). 2.4. Применение функций Папковича — Нейбера к решению задачи Буссинека — Черрутн (227). 2.5. Тензор влияния в упругом полупространстве (230). 2.6. Температурные напряжения в упругом полупространстве (232). 2.7. Случай установившейся температуры (2Э4). 2.8. О вычислении потенциала простого слоя по плоской области (236). 2.9. Задача Дирихле для полупространства (237). 2.10. Первая краевая задача для гполупро:транства (240). 2.11. Смешанные задачи для полупространства (241). 2.12. О принципе Сен-Венана. Формулировка Мнзеса (242). 2.13. Сверхстатическая система сил (244). 2.14. Теоремы Стернберга (1954) (246).
§ 3. Равновесие упругой сферы....................24Г
3.1. Постановка задачи (247). 3.2. Первая краевая задача (248). 3.3. Эластостатическая задача Робена для шара (250). 3.4. Тепловые напряжения в шаре (251). 3.5. Вторая краевая задача для сферы (254). 3.6. Вычисление вектора перемещения (257). 3.7. Напряженное состояние в центре шара (259). 3.8. Тепловые напряжения (259). 3.9. Напряженное состояние в окрестности сферической полости (261). 3.10. Напряженное состояние в окрестности малой сферической полости в скрученном цилиндрическом стержне (263). 3.11. Действие массовых сил (264). 3.12. Гра-витирующий шар (266). 3.13. Вращающийся шар (266). 3.14. Действие сосредоточенных сил (268). 3.15. Случай распределенной нагрузки (271).
§ 4. Тела вращения..........................272
4.1. Интегральное уравнение равновесия (272). 4.2. Растяжение однополого гиперболоида вращения (276). 4.3. Кручение гиперболоида (279). 4.4. Изгиб гиперболоида (280). 4.5. Вращающийся эллипсоид вращения (281).
§ 5. Эллипсоид............................284
5.1. Эластостатическая задача Робена для трехосного эллипсоида (284). 5.2. Поступательное перемещение (285). 5.3. Распределение напряжений по поверхности эллипсоида (286). 5.4. Перемещение поворота (289). 5.5. Распределение напряжений по поверхности эллипсоида (290). 5.6. Эллипсоидальная полость в неограниченной упругой среде (292). 5.7. Краевые условия (295). 5.8. Выражения постоянных через три параметра (297). 5.9. Сфероидальная полость в упругой среде (299). 5.10. Круговая щель в упругой среде (300). 5.11. Эллиптическая щель в упругой среде (303).
§ 6. Контактные задачи........................306
6.1. Задача о жестком штампе. Краевое условие. (306). 6.2. Способ решения задачи о жестком штампе (310). 6.2а. Представление сил и моментов, прилагаемых к неплоскому штампу (313). 6.3. Плоский, эллиптический в плане штамп (315). 6.4. Перемещения и напряжения (317). 6.5. Неплоский штамп (319). 6.5а. Определение сил и моментов, действующих на неплоский, эллиптический в плане штамп(321).
6.6. Перемещения и напряжения (323), 6.7. Соприкасание поверхностей (324).
6.8. Задача Герца о сжатии упругих тел (329).
§ 7. Равновесие упругого кругового цилиндра.............331
7.1. Дифференциальные уравнения равновесия кругового цилиндра (331). 7.2. Задача Ляме для полого цилиндра (335). 7.3 Дисторсии в полом цилиндре (337).
7.4. Полиномиальные решения задачи о равновесии цилиндра (339). 7.5. Кручение полого цилиндра силами, распределенными по торцу (343). 7.6. Решения в бесселевых функциях (346). 7.7. Задача Файлона (350). 7.8. Однородные решения (353).
7.9. Краевые условия на торцах ^356). 7.10. Обобщенная ортогональность (360).
Глава VI. Задача Сен-Венана. . ...................366
§ 1. Напряженное состояние......................366
1.1. Постановка задачи Сен-Венана (366). 1.2. Интегральные уравнения равнове сия (367). 1.3. Основные предположения (368). 1.4. Нормальное напряжение аг в задаче Сен-Венана (369). 1.5. Касательные напряжения т<г> туг (370).
§ 2. Приведение к краевым задачам для уравнений Лапласа и Пуассона 372
2.1. Введение функций напряжений (372). 2.2. Перемещения в задаче Сен-Венана (374). 2.3. Упругая линия (377J. 2.4. Классификация задач Сен-Венана (379).
2.5. Определение постоянной а (381). 2.6. Центр жесткости (384). 2.7. Элементарные решения (385).
§ 3. Задача о кручении........................388
3.1. Постановка задачи (388). 3.2. Перемещения (390). 3.3. Теорема о циркуляции касательных напряжений (392). 3.4. Жесткость при кручении (394). 3.5. Мембранная аналогия Прандтля (1904) (395) 3.6. Кручение стержня эллиптического сечения (397).
3.7. Неравенства для жесткости при кручении (399). 3.8. Кручение стержня прямоугольного сечения (401). 3.9. Решения в конечном виде (403). 3.10. Двусвязная область (405). 3.11. Эллиптическое кольцо (407). 3.12. Эксцентрическое кольцо (409). 3.13. Вариационное определение функции напряжений (412). 3.14. Приближенное решение задачи кручения (416). 3.15. Удлиненные профили (420). 3.16. Кручение тонкостенной трубы (424). 3.17. Многосвязные области (427).
§ 4. Изгиб силой...........................430
4.1 Напряжения (430). 4.2. Изгиб стержня эллиптического поперечного сечения (432). 4.3. Функция напряжений С. П. Тимошенко (433). 4.4. Прямоугольное поперечное сечение (434). 4.5. Вариационная формулировка задачи изгиба (437),
4.6. Центр жесткости (439). 4.7. Приближенные решения (441). 4.8. Авиационный профиль (443).
§ 5. Задача Мичелла.........................443
5.1. Постановка задачи (445). 5.2. Распределение нормальных напряжений (447). 5.3. Растяжение стержня (449). 5.3а. Растяжение стержня силами постоянной интенсивности (451). 5.4. Касательные напряжения т^, т.' (453). 5.5. Напряжения
454). 5.6. Определение 0° (456). 5.7. Изгиб тяжелого стержня (457),
х' у ху 5,8, Средние значения напряжений (459). 5.9. О задаче Альманзи (46|),
Глава VII. Плоская задача теории упругости............462
S 1 Постановка плоских задач теории упругости............462
1 1 Плоская деформация (462). 1.2. Функция напряжений Эри (465). 1.3. Дифференциальное уравнение для функции напряжений (466). 1.4. Плоское напряженное состояние (467). 1.5. Обобщенное плоское напряженное состояние (469). 1.6. Плоская задача (470). 1.7. Перемещения в плоской задаче (471). 1.8. Главный вектор и главный момент (473). 1.9. Ортогональные криволинейные координаты (474). 1.10. Полярные координаты на плоскости (475). 1.11. Представление бигармонической функции (475). 1.12. Введение комплексного переменного (476). 1.13. Преобразование формул плоской задачи (477). 1.14. Формула Гурса (479). 1.15. Перенос начала координат (481).
§ 2. Балка и брус с круговой осью..................482
2.1. Постановка плоской задачи о балке и плите (482). 2.2. Плоская задача Сен-Венана (484). 2.3. Операторное представление решений (486). 2.4. Функция напряжений в задаче о полосе (487). 2.5. Элементарная теория балки (491). 2.6. Полиномиальное нагружение (Менаже, 1901) (492). 2.7. Синусоидальное нагружение (решения Рибьера (1898) и Файлона (1903)) (494). 2.8. Сосредоточенная сила (Карман и Зеевальд, 1927) (497). 2.9. Брус с круговой осью, нагруженный по торцам (Головин, 1881) (502). 2.10. Нагружение кругового бруса по поверхности (506). 2.11. Ко-синусоидальное нагружение (509). 2.12. Однородные решения (511).
§ 3. Упругая плоскость и полуплоскость................513
3.1. Сосредоточенная сила и сосредоточенный момент в упругой плоскости (513).
3.2. Задача Фламана (1892) (516). 3.3. Общий случай нормального нагружения (518). 3.4. Нагружение силой, направленной вдоль границы (520). 3.5. Плоская контактная задача (522). 3.6. Построение потенциала (0(524). 3.7. Плоский штамп (528). 3.8. Штамп параболического очертания (528). 3.9. Сосредоточенная сила в упругой полуплоскости (529).
§ 4. Упругий клин...........................531
4.1. Сосредоточенная сила в вершине клина (531). 4.2. Интегральное преобразование Меллина в задаче о клине (533). 4.3. Сосредоточенный момент в вершине клина (537). 4.4. Нагружение боковых граней (540).
§ 5. Краевые задачи плоской теории улругости............544
5.1. Классификация областей (544). 5.2. Краевые задачи для односвязной конечной области (545). 5.3. Степень определенности функций Н. И. Мусхелишвили (547). 5.4. Бесконечная область с отверстием (548). 5.5. Двусвязная область. Дистор-сия (552). 5.6. Представление функции напряжений в двухсвязной области (Ми-челл) (553). 5.7. Тепловые напряжения. Плоская деформация (555). 5.8. Плоское напряженное состояние (557). 5.9. Стационарное распределение температуры (559). 5.10. Теорема Коши, интеграл Коши (562). 5.11. Интегралы типа Коши. Формулы Сохоцкого — Племели (564).
§ 6. Области с круговой границей...................566
6.1. Круглый диск, нагруженный сосредоточенными силами (566). 6.2. Общий слу чай нагружения круглого диска (569). 6.3. Способ интегралов Коши (571). 6.4. Нормальное напряжение Од на окружности (572). 6.5. Напряжения в центре диска (574). 6.6. Статически неуравновешенный вращающийся диск (575). 6.7. Первая краевая задача для круга (578). 6.8. Напряженное состояние (581). 6.9. Тепловые напряжения в Диске, заключенном в жесткую обойму (584). 6.10. Круговое отверстие в бесконечной плоскости (586). 6.11. Равномерное нагружение края отверстия (589). 6.12. Растяжение плоскости, ослабленной круговым отверстием (589). 6.13. Продолжение Ф (г) (590). 6.14. Решение краевых задач пп. 6.2, 6.10 способом продолжения (592).
$ Т. Круговое кольцо.........................595
7-1. Напряженное состояние, вызываемое дисторсией (595). 7.2. Вторая краевая за-Дача для кругового кольца (596). 7.3. Определение функций Ф (?), W (?) гаю)" Труба под равномерным внешним и внутренним давлением (задача Ламе) w»9). 7.5. Температурные напряжения в кольце (599). 7.6. Растяжение кольца сосредоточенными силами (601). 7.7. Способ продолжения (602).
s °- Применение конформного пргобразования.............606
(fi'rwi Бесконечная плоскость с отверстием (606). 8.2. Способ интегралов Коши ™°J. 8.3. Эллиптическое отверстие (611). 8.4. Гипотрохоидное отверстие (613) 8.5. Од-(61п?ЯЗНая конечная область (615). 8.6. Пример (618). 8.7. Первая краевая задача Пйм Эллиптическое отверстие (622). 8.9. Двусвязная область (623). 8.10. Некон-чентрическое кольцо (626). .
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ................628
Глава VIII. Законы состояния нелинейно-упругого тела.......628
§ 1. Потенциальная энергия деформации................628
1.1. Идеально-упругое тело (628). 1.2. Потенциалы деформации (629). 1.3. Однородное изотропное идеально-упругое тело (632).
§ 2. Закон состояния изотропного идеально-упругого тела........633
2.1. Общая форма закона состояния (633). 2.2. Начальное и натуральное состояния (635). 2.3. Связь между обобщенными модулями при различных начальных состояниях (635). 2.4. Представление тензора напряжений (637). 2.5. Выражение закона состояния через тензоры деформации (638). 2.6. Главные напряжения (640). 2.7. Выражение тензора напряжений (642). 2.8. Тензор напряжении Пиола (1836) —Кирх-гоффа (1850) (644). 2.9. О задании удельной потенциальной энергии деформации (645).
§ 3. Представление закона состояния квадратичным трехчленом.....647
3.1. Квадратичная зависимость между двумя соосными тензорами (647).
3.2. Представление энергетического тензора напряжений (648). 3.3. Представление тензора напряжений (649). 3.4. Разбиение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор (650). 3.5. Применение логарифмической меры деформации (654).
§ 4. Аппроксимации законов состояния.................657
4.1. Квадратичный закон состояния Синьорини (657). 4.2. Зависимость коэффициентов квадратичного закона от начального состояния (660). 4.3. Знак удельной потенциальной энергии деформации (662). 4.4. Применение к задачам об одноосном растяжении (664). 4.5. Простой сдвиг (665). 4.6. Закон состояния Mvpnarana (666). 4.7. Поведение материала при сверхвысоких давлениях (667). 4.8. Одноосное растяжение (669). 4.9. Несжимаемый материал (670). 4.10. Материалы с углом подобия девиа-торов, равным нулю (672).
§ 5. Вариационные теоремы статики нелинейно-упругого тела......674
5.1. Принцип виртуальных перемещений (674). 5.2. Стационарность потенциальной энергии системы (675). 5.3 Дополнительная работа деформации (679). 5.4. Стационарность дополнительной работы (680). 5.5. Удельная дополнительная работа деформации для полулинейного материала (682).
Глава IX. Задачи и методы нелинейной теории упругости......68S
§ 1. Напряженное состояние при аффинном преобразовании.......686
1.1. Тензор напряжений при аффинном преобразовании (686). 1.2. Всестороннее сжатие (688). 1.3. Одноосное растяжение (689). 1.4. Простой сдвиг (690).
§ 2. Упругий слой...........................692
2.1. Цилиндрический изгиб прямоугольной плиты (692). 2.2. Сжатие и растяжение упругой полосы (695). 2.3. Уравнения статики (697). 2.4. Сжатие слоя (700). 2.5. Растяжение слоя (700).
§ 3. Упругий цилиндр, упругая сфера..................701
3.1. Цилиндрическая труба под давлением (задача Ляме для нелинейно-упругого несжимаемого материала) (701). 3.2. Напряжения (703). 3.3 Определение постоянных (704). 3.4. Материал Муни (706). 3.5. Цилиндр, «вывернутый наизнанку» (707). 3.6. Кручение круглого цилиндра (708). 3.7. Напряжения, крутящий момент, осевая сила (711). 3.8. Симметричная деформация полого шара (задача Ляме для шара) (714). 3.9. Несжимаемый материал (716). 3.10. Применение принципа стационарности потенциальной энергии (717).
4 Малая деформация при наличии начального нагружения ...... 719
4 1 Малая деформация деформированного объема (719). 4.2. Тензор напряжении (722). 4.3. Необходимые условия равновесия (723). 4.4. Представление тензора б (726)' 4.5. Трехосное напряженное состояние (728). 4.6. Гидростатическое напряженное состояние (730), 4.7. Одноосное растяжение (732). 4.8. Деформация кручения сжатого стержня (734).
§ 5. Эффекты второго порядка ..................... 736
5.1. Выделение линейных слагаемых в законе состояния (736). 5.2. Уравнения равновесия (739). 5.3. Эффекты второго порядка (741). 5.3а. Изменение объема тела, подвергнутого дисторсии (745). 5.4. Выбор исходного приближения (746). 5.5. Эффекты второго порядка в задаче о кручении стержня (748). 5.6. Несжимаемая среда (750). 5.7. Уравнения равновесия (751).
§ 6. Плоская задача .......................... 753
6.1. Геометрические соотношения (753). 6.2. Уравнение состояния (755). 6.3. Уравнения статики (756). 6.4. Функция напряжений (756). 6.5. Плоское напряженное состояние (759). 6.6. Уравнения равновесия (761). 6.7. Уравнение состояния (763). 6.8. Система уравнений задачи о плоском напряженном состоянии (764). 6.9. Применение логарифмической меры деформации в задаче о плоской деформации (765). 6.10. Плоская деформация несжимаемого материала с равной нулю фазой подобия девиаторов (767). 6.11. Пример. Радиально-симметричная деформация (769).
§ 7. Полулинейный материал ...................... 771
7.1. Уравнения равновесия полулинейного материала (771). 7.2. Сохранение главных направлений (772). 7.3. Примеры (цилиндр и сфера) (772). 7.4. Плоская деформация (774). 7.5. Напряженное состояние при плоском аффинном преобразовании (778). 7.6. Изгибание полосы в цилиндрическую панель (779). 7.7. Наложение малой деформации (782). 7.8. Случай сохранения главных направлений (786). 7.9. Уравнения нейтрального равновесия Саусвелла (1913) (787). 7.10. Представление решений уравнений Саусвелла (789). 7.11. Бифуркация равновесия сжатого стержня (791). 7.12. Стержень круглого поперечного сечения (794). 7.13. Бифуркация равновесия полой сферы, сжатой равномерно распределенным давлением (795).
Приложение I. Основы тензорной алгебры ............ 799
1.1. Скаляр и вектор (799). 1.2. Симво
. .. ные оси и авные значения не
I. П. Разбиение симметричного тензора второго ранга
. . . азиение симметричного тензора второго ранга на девиатор и шаровой тензор (828). 1.12. Функции тензоров (830). 1.13. Выделение шаровой и девиа-торной частей (834). 1.14. Линейная связь между тензорами (838).
Приложение II. Основные операции тензорного анализа ...... 839
Н.1. Набла-оператор (839). П.2. Дифференциальные операции в векторном поле (840). п.з. Дифференциальные операции над тензорами (842). II. 4. Двукратное дифференцирование (843). 11.5. Преобразование объемного интеграла в поверхностный (846). II. 6. Преобразование Стокса (847).
Приложение III. Ортогональные криволинейные координаты . . . .850
'П. 1. Определения (850). III.2. Квадрат линейного элемента (851). III. 3 Ортогональная криволинейная система координат. Базисные векторы (852). III. 4. Дифференцирование базисных векторов (854). III.5. Дифференциальные операции в ортогональных криволинейных координатах (856). III. 6. Зависимости Ляме ™8). in. 7. Цилиндрические координаты (860). III. 8. Сферические координаты J™1). III.9. Тела вращения (861). 111.10. Вырожденные эллиптические координаты (863). III. П. Эллиптические координаты (общий случай) (865).
Приложение IV. Тензорная алгебра в косоугольном базисе .... 870
IV 1 Основной и взаимный базисы (870). IV.2. Вектор в косоугольном базисе (870) IV.3. Метрический тензор (87?). IV.4. Тензор Леви-Чивита (873). IV.5. Тензоры'в косоугольном базисе (874). IV.6. Преобразование базиса (875). IV.7. Главные оси симметричного тензора. Главные инварианты (876).
Приложение V. Операции тензорного анализа в криволинейных
координатах ..................878
V.I. Введение базисов (878). V.2. Производные базисных векторов (879). V.3. Кова-риантное дифференцирование (880). V.4. Дифференциальные операции в криволинейных координатах (883). V.5. Переход к ортогональным криволинейным коорди; натам (885). V.6. Тензор Римана — Кристоффеля (886). V.7. Тензор Ink P ,
(890). V.8. Преобразование поверхностного интеграла в объемный (891).
Приложение VI. Сведения по теории сферических и эллипсоидальных функций...................892
VI.1. Разделение переменных в уравнении Лапласа (892). VI.2. Сферические функции Лапласа (894). VI.3. Решения Qn (M,), qn (s) (897). VI.4. Решение внешней и внутренней задач для шара (900). VI.5. Внешняя и внутренняя задача Дирихле для сжатого эллипсоида (сфероида) (901). VI.6. Представление гармонических полиномов произведениями Ляме (902). VI.7. Функции s'*' (P) (904). VI.8. Потенциалы простого слоя на эллипсоиде (905).
Литературные указания........................9С9
Именной указатель..........................930
Предметный указатель ........................933
ПРЕДИСЛОВИЕ
Классическая теория упругости сохраняет свое почетное место в науке о поведении деформируемого твердого тела. Ее исходные определения являются общими для всех разделов этой науки, а методы постановки и решения задач служат для нее образцами. Успехи и завоевания теорий пластичности, ползучести, упруго-вязкой среды, разрушения твердых тел не заслоняют значения методов теории.упругости для обоснования приемов расчета напряженного состояния в строительных сооружениях и машинах, составляющих существенную часть наук о сопротивлении материалов и строительной механики.
Первые две главы (ч. I) посвящены основным определениям механики сплошной среды — тензорам напряжений (гл. I) и деформаций (гл. II). Необходимость различения в нелинейной теории начального и конечного состояний среды не позволяет довольствоваться рассмотрением одной лишь меры (или тен' зора) деформации, а в связи с этим и в описание напряженного состояния оказывается целесообразным ввести отличные друг от друга тензоры. Эти вопросы рассмотрены в § 3 гл. I, изучению которого должно предшествовать изучение §§ 3—5 гл. II. Усвоение содержания этих параграфов может быть без ущерба отложено до изучения нелинейной теории (в гл. VIII, IX).
Получение замкнутых систем уравнений линейной теории упругости и описание приемов решений составляет содержание ч. II (гл. III — закон состояния, гл.-IV — основные соотношения). Решение специальных задач отнесено к ч. III (гл. V—VII). Содержание гл. V только по направленности тематики соответствует монографии автора «Пространственные задачи теории Упругости» (Гостехиздат, 1955); изложение рассмотренных в ней задач целиком переработано, и включены отсутствующие в этой монографии разделы (напряжения, создаваемые инородным включением; обоснование принципа Сен-Венана; некоторые за-Дачи о концентрации напряжений (Нейбер); эластостатическая задача Робена и т. д.).
Естественные затруднения возникли при отборе материала Гл- VI (задача Сен-Венана) и VII (плоская задача). В гл. VI
сравнительно подробно трактованы постановка задачи Сен-Вена-на, теорема о циркуляции, вопрос о центре жесткости, вариационные способы решения, тогда как рассмотрение решений для профилей частного вида сведено к минимуму. В гл. VII применение теории функций комплексного переменного ограничено рассмотрением простейших краевых задач, уделено место применениям других средств решения (преобразование Меллина в задаче о клине, операторные решения задач о полосе и брусе с круговой осью).
Часть IV (гл. VIII, IX) посвящена основам нелинейной теории упругости: формулировкам закона состояния нелинейно-упругого тела, рассмотрению простейших задач, постановкам задач об эффектах второго порядка и бифуркации состояния равновесия. В содержание Приложений включены используемые в тексте книги способы тензорного исчисления и некоторые сведения по теории сферических и эллипсоидальных функций.
В книге рассмотрены «строгие» постановки задач — решения, не только статически допустимые, но и удовлетворяющие условиям совместности. От первоначального намерения включить в содержание также «технические» теории тонких стержней, пластин и оболочек пришлось отказаться, так как это привело бы к непомерному увеличению объема книги. Существенным пробелом является также ограничение по той же причине лишь статическими задачами.
Литературные указания, вынесенные из текста книги, не соответствуют необозримой литературе, относящейся к принципиальным исследованиям и решениям специальных задач теории упругости. Этот недостаток в некоторой мере компенсируется указаниями на обзорные статьи и монографии, содержащие исчерпывающие библиографии по специальным вопросам.
Книга адресована подготовленному читателю, заинтересованному в углублении знаний по теории упругости и приобретении навыков решения ее задач. Она предназначается также служить пособием в преподавании курса теории упругости.
Первыми читателями этой книги были Л. М. Зубов, проверивший формулы и вычисления, и В. А. Пальмов, предложивший внести ряд исправлений и разъяснений. Приятным долгом автора является выразить им искреннюю благодарность за большой труд, ценные советы и критические указания.
Автор благодарит также за плодотворную и дружескую критику профессора И. И. Воровича и руководимый им коллектив кафедры теории упругости Ростовского государственного университета, взявших на себя труд рецензирования рукописи.
Цена: 300руб.
