Предметом книги являются, как правило, скачкообразные марковские процессы, связанные с некоторыми классическими уравнениями математической физики. Рассматриваются методы конструирования и моделирования таких процессов, изучаются их свойства и свойства функционалов специального вида на их траекториях. Математические ожидания упомянутых функционалов и являются решениями соответствующих уравнений.
Что касается самих уравнений, то рассматриваются краевые задачи для линейных уравнений в частных производных второго порядка и простейшие уравнения с полиномиальной нелинейностью, которые несомненно можно считать классическими. Особое место уделено нелинейным кинетическим уравнениям (уравнению Больцмана и ряду его модификаций). Авторы не затрагивали задач линейной теории переноса излучения, где метод Монте-Карло (и, следовательно, конструирование соответствующих случайных процессов) получил значительное развитие. В этой области Г.И. Марчуком и его учениками решены важные теоретические и прикладные задачи, обзор которых можно найти в монографии [51]. Безусловно, большинство результатов, излагаемых в данной книге, получено под влиянием или в качестве непосредственного продолжения упомянутых исследований в области линейной теории переноса, хотя основное внимание уделяется теоретико-вероятностному аспекту проблемы. Из сказанного ясно, что книга в значительной степени ориентирована на конструирование и исследование алгоритмов метода Монте-Карло для решения ряда классических задач математической физики. Этим обстоятельством и определяется выбор скачкообразных марковских процессов, моделирование которых просто реализуемо с помощью ЭВМ.
Можно надеяться, однако, что излагаемые в книге результаты будут полезны и в других областях. Одной из них является конструирование байесовских критериев качества в теории планирования эксперимента. Часто априорная информация в таких задачах задается в виде уравнений, и представляется важным уметь конструировать достаточно простым образом распределения, удовлетворяющие этим уравнениям.
На отбор материала оказали несомненное влияние личные научные интересы авторов, хотя в какой-то мере были затронуты почти все известные авторам результаты относительно связей скачкообразных процессов с уравнениями математической физики. Разумеется, претендовать на полноту в изложении этих вопросов было бы крайне неосторожно.
Несколько слов о содержании книги.
Гл. 1 книги носит в некотором смысле вводный характер. В ней сделана попытка классификации марковских цепей и процессов, просто моделируемых на ЭВМ, с точки зрения их применимости к решению различных уравнений. Естественно, эта классификация не претендует на полноту ввиду общей неразработанности проблемы. Кроме этого, мы, как правило, строим лишь простейшие оценки типа "оценок по поглощению", не оста-навливаясь на интересных, но выходящих за рамки книги вопросах построения классов оценок на траекториях фиксированной марковской цепи.
Главы 2—4 посвящены решению некоторых классов уравнений. В гл. 2 рассматривается первая краевая задача для произвольного эллиптического оператора с достаточно гладкими коэффициентами. В гл. 3 и 4 строятся несмешенные оценки решения нелинейных интегральных уравнений. В гл. 3 рассматриваются уравнения типа Ляпунова—Шмидта, тесно связанные с ветвящимися марковскими цепями, а в гл. 4 — нелинейные эволюционные уравнения в мерах, интересные в связи с некоторыми задачами газовой динамики. Для решения этих эволюционных уравнений используются специальные процессы — так называемые марковские процессы с простейшим взаимодействием ("столкновительные процессы"), в некотором смысле двойственные к ветвящимся.
В гл. 5 собраны различные конкретные задачи, так или иначе связанные с оператором Лапласа. Каждая из этих задач имеет самостоятельный интерес, а все вместе они (как, впрочем, и задачи глав 2—4} могут служить иллюстрацией идей гл. 1.
Рассматриваемые случайные процессы тесно связаны с определенными итерационными процессами решения соответствующих уравнений. С этим связан, кстати, тот факт, что мы рассматриваем лишь линейные и квазилинейные уравнения, итеративное решение которых может быть представлено так называемым рядом Неймана. Тем не менее далеко не всегда можно сопоставить случайный процесс сходящемуся итерационному процессу. Для представления решения в виде интеграла по траекториям необходимо выполнение дополнительных условий типа сходимости итераций "мажорирующего уравнения".
Это сужает область применимости метода Монте-Карло. Оказывается, однако, что введение интегрирования в некотором обобщенном смысле, как правило, позволяет соотносить случайный процесс сходящимся итерационным процессам. Круг вопросов, связанный с обобщенным интегрированием, рассмотрен в гл. 6 предлагаемой книги.
Нумерация параграфов, формул и принятые обозначения в книге в достаточной мере стандартны. Параграфы имеют двойную нумерацию, где первая цифра совпадает с номером главы. Для формул принята тройная нумерация, в которой первые две цифры совпадают с номером соответствующего параграфа. Сокращения, используемые в книге, расшифрованы в приведенном списке сокращений.
Авторы признательны А.З. Веселовской, В. Вагнеру и П.Г. Скворцову, участвовавшим в обсуждении рукописи книги.
Авторы надеются, что книга будет полезна специалистам в области математической физики и теории случайных процессов, а также широкому кругу исследователей, использующих метод Монте-Карло и теорию планирования эксперимента в качестве аппарата исследования.
СМ, Ермаков
В.В. Некруткин
А.С. Сипин
Предисловие.......................................... 5
Список обозначений и сокращений............................ у
Введение..........................,................. 9
Гпада 1
Марковские процессы и интегральные уравнения..............•..... 15
§ 1.1. Поглощающие марковские цели и линейные интегральные уравнения 15 § 1.2. Марковские пр9цессы с непрерывным временем и линейные эволюционные уравнения............................, . . . . 22
§ 1.3. Сходящиеся марковские цепи и некоторые краевые задачи........ 26
§ 1.4. Марковские цепи и нелинейные интегральные уравнения.......... 41
Глава 2
Первая краевая задача для уравнения эллиптического типа.........*. . . . 50
§ 2.1. Обозначения и постановка задачи........................ 50
§2.2. Формула Грина и теорема о среднем значении................ . 51
§2.3. Построение случайного процесса и алгоритма решения задачи....... 58
§ 2.4. Методы моделирования цепи Маркова..................... 64
§ 2.5. Оценка дисперсии случайной величины $т .................. 69
Глава 3
Уравнения с полиномиальной нелинейностью...................... 71
§ 3.1. Предварительные примеры............................ 71
§ 3.2. Представление решений интегральных уравнений с полиномиальной
нелинейностью.....................'.............. 74
§ 3.3. Задание вероятностных мер и простейшие оценки.............. 79
§ 3.4. Вероятностное решение нелинейных уравнений относительно мер 83
Глава 4
Вероятностное решение некоторых кинетических уравнений............ 92
§ 4.1. Движение частиц с детерминированными траекториями.......... 92
§ 4.2. Вычислительные аспекты моделирования столкновительного процесса 98
§ 4.3. Случайные траектории частиц. Построение основного процесса...... 100
и 4.4. Стол к нови тельный процесс............................ 104
§ 4.5. Вспомогательные леммы............................. 107
§4.6. Леммы о преобразованиях интегральных уравнений............ 110
§ 4.7. Единственность решения (X, Т, Н) -уравнения................ 114
§ 4.8. Вероятностное решение кинетических уравнений.............. 116
§ 4.9. Оценка вычислительной работы......................... 118
§ 4.10. О граничных условиях для кинетических уравнений............ 120
Различные краевые задачи, связанные с оператором Лапласа............ 123
§ 5.1. Параболические средние и решение смешанной задачи для уравнения
теплопроводности.................................. 123
§ 5.2. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа............... 128
§ 5.3. Решение задачи Неймана.............................. 132
§ 5.4. Блуждание по сферам с ветвлением и задача Дирихле для уравнения
Ди = и2........................................ 141
§ 5.5. Специальный метод решения задачи Дирихле дпя уравнения Гельм-
гольца......................................... 150
§ 5.6. Вероятностное решение волнового уравнения в случае бесконечно
дифференцируемого решения.......................... 153
§ 5.7. Другой подход к решению волнового уравнения............... 157
И 5.8. Задача Коши для уравнения Шрё'дингера.................... 165
§ 5.9. Особенности решения различных краевых задач, связанных с оператором Лапласа, методом Монте-Карло....................... 169
Глава в
Интегралы в смысле обобщенного главного значения и связанные с ними случайные процессы........,............................... 173
§ 6.1. Случайные процессы, связанные с линейными уравнениями........ 174
§ 6.2. Нелинейные уравнения............................... 184
§ 6.3. О представлении решения нелинейных уравнений в виде обобщенного
главного значения интеграла.........•.................. 191
§ 6.4. Ободной задаче вычислительной математики................. 197
Библиографические замечания............................... 200
Литература........................................•. . . 202
Цена: 150руб.
