Предлагаемою вниманию читателей книгу следует рассматривать как учебное пособие по курсам: «Уравнения с частными производными» и «Уравнения математической физики» для студентов технических вузов. Она будет полезной также инженерам самых различных специальностей. В книге представлены традиционные методы решения уравнений с частными производными, включая и некоторые численные методы. При этом особое внимание уделено методу разделения переменных и методу интегральных преобразований и эта часть книги может быть использована на практических занятиях в университетах.
Ориентация книги на широкую «нематематическую» аудиторию определила стиль изложения рассматриваемых в ней вопросов: интуитивный подход и большое внимание к физическому смысл} не только самих уравнений, но и краевых и начальных условий для различных задач. Предполагается, что чшатели знакомы лишь с основами дифференциального и интегрального исчисления и с элементами теории обыкновенных дифференциальных уравнении.
Специалистов может не удовлетворить принятое авюром -интуитивное описание некоторых понятий и отдельных методов, однако более строгое изложение неизбежно привело бы к усложнению книги и сузило круг ее читателей, что по-видимому не входило в намерение автора.
Большее возражение может вызвать отсутствие общих результатов о задачах для уравнений с частными производными с переменными коэффициентами, включая уравнения высших порядков. Читатель, однако, должен четко осознавать, что предлагаемая книга является начальным к\рсом теории уравнений с частными производными. Вопросы линейной теории уравнений с частным» производными, не включенные автором, можно найти в литературе, которая приводится в конце книги.
Материал книги изложен автором с большим методическим мастерством. Не все, однако, одинаково удалось ему, и внимательный читатель обнаружит это,, например, при изучении принципа Дюамеля, сферических волн и некоторых других мест книги. Нет сомнения, что предлагаемая книга С. Фарлоу найдет читателя не только среди студентов и инженеров, но и среди преподавателей, которые могут многое почерпнуть в конкретной методике изложения и оформления специальных математически ч курсов.
С. И. Похожаев
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ....................... 5
Предисловие , ,.......................... Q
Часть 1. Введение...................,..... 7
Лекция 1. Введение и теорию уравнении с частными производными 7
Часть 2, Диффузионные задачи.........,..,,,..., 14
Лекция 2, Задачи диффузионного типа (параболические уравнения) 14
Лекция 3. Граничные условия в задачах диффузионного типа . , , 21
Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности.......... 30
Лекция 5. Разделение переменных ................ 35
Лекция 6. Преобразование неоднородных граничных условий в однородные ........................ 45
• Лекция 7. Решение более сложных задач методом разделения переменных ......................... 51
Лекция 8. Преобразование сложных уравнений к простому виду ... 60 Лекция 9. Решение неоднородных УЧП меюдом разложения по
собственным функциям ................ G5
Лекция 10. Интегральные преобразования (синус- и косинус-преобразования) ................. ....... 73
Лекция 11. Ряды и преобразование Фурье........... . . 83
1 Лекция 12. Преобразование Фурье и его приме ней не к решению
уравнений с частными производными ......... 90
Лекция 13. Преобразование Лапласа ............... 98
Лекция 14. Принцип Дюамеля .................. 107
Лекция 15. Конвективный член »А в диффузионной задаче..... 113
Часть 3. Гиперболические задачи.................. 121
Лекция 16. Одномерное волновое уравнение (гиперболические уравнения) ........................ 121
Лекция 17. Формула Даламбера................. 126
Лекция !8. Формула Даламбера (продолжение)........... 133
Лекция 19. Волновое уравнение и граничные условия ....... 14^
Лекция 20, Колебания ограниченной струны (стоячие волны) .... 148 Лекция 21. Колебания балки (уравнение с частными пронзво т„шн
четвертого порядка) .................. 156
Лекция 22. Переход к безразмерным переменным......... 162
Лекция 23. Классификация уравнений с частными производными
(каноническая форма гиперболического уравнения) . . . Н<8 Лекция 24. Волновое уравнение в свободном пространстве (двумерные
и трехмерные задачи)................. 177
Лекция 25. Конечные преобразования Фурье (синус- и косинус-преобразования) ..................... 185
Лекция 26. Принцип суперпозиции—основа теории линейных сипом 191 Лекция 27. Уравнения первого порядка (метод характеристик) . . . 197 Лекция 28. Нелинейные уравнения первого порядка (законы сохранения) ......................... -^
Лекция 29. Сжмемы уравнений с частными производными...... 2м
Лекция 30, Колебания мембраны (волновое уравнение р. полярных
коордиплах)..................... ^--
Часть 4. Эллиптические задачи ................ ... 233
Лекция 31. Лапласиан (интуитивное описание) ........... 233
Лекция 32. Общие свойства краевых задач ............ 240
Лекция 33. Внутренняя задача Дирихле .............. 248
Лекция 34. Задача Дирихле в кольце ............... 255
Лекция 35. Уравнение Лапласа в сферических коир-ы.агйх (сферичес-
кие гармоники) .................... 264
Лекция 36. Неоднородная задача Дирихле (функция Грина) .... 273
Часть 5. Численные и приближенные методы ............ 2?2
Лекция 37. Численные решения (эллиптические задачи) ...... 282
Лекция 38. Явные разностные схемы ............... 289
Лекция 39. Неявные разностные схемы (схема Кранка — Нико-
льсона) ........................ 296
Лекция 40. Сравнение аналитических решений с численными .... 301
Лекция 41. Классификация уравнений (параболические и эллипти-
ческие уравнения) ................... 308
Лекция 42. Метод Л\опте-Карло (введение) ..... ........ 3]6
Лекция 43. Решение уравнений с частными производными методом
Монте-Карло ..................... 322
Лекция 44. Вариационное исчисление (уравнения Эйлера — Лаг-
ранжа) ........................ 329
Лекция 45. Вариационные методы решения уравнении с частными
производными .......... - ......... 338
Лекция 46. Решение уравнений с частными производными методами
теории возмущений .................. 346
Лекция 47. Решение уравнений с частными производными методом
конформных отображении ............... 355
Приложение 1 ........................... 365
Приложение 2 .............. . ......... ... 371
Приложение 3 ........................... 373
Литература ............................. 375
Именной 378
Предметный указатель ......................... 379
Цена: 150руб.
