Книга С. Лефшеца — известного американского тополога, который последние годы занимается качественной теорией дифференциальных уравнений, представляет большой интерес для советского читателя. Автор уделяет особое внимание теории устойчивости по Ляпунову. Он приводит в современных формулировках многие результаты А. М. Ляпунова и его последователей: О. Перрона, Н. Г. Четаева, И. Г. Малкина и К. П. Персидского. Он хорошо знаком с русскими и советскими работами по этим вопросам. Большое внимание автор уделяет дифференциальным уравнениям с аналитической правой частью и разложениям решений в ряды. Вторая половина книги посвящена исследованию системы двух уравнений. В этой части автор рассматривает топологические вопросы распределения характеристик на плоскости. Он четко разделяет два различных подхода в исследовании характеристик па плоскости, именно, он говорит о локальном фазовом портрете семейства характеристик и о глобальном расположении характеристик. При изучении вопросов «локальной» теории применяются методы теории функций комплексною переменного, что как бы возрождает классические методы качественного исследования конца XIX и начала XX века. При рассмотрении вопросом глобального расположения характеристик кратко излагается теория грубых систем, принадлежащая А. А. Андронову и Л. С. Поитрягину.
Богаты содержанием дво последние главы: «Дифференциальные уравнения второго порядка» и «Колебания в системах второго порядка. Методы аппроксимации». Эти главы делают книгу полезной не только для математиков, но и для инженеров, интересующихся проблемами нелинейной механики, в частности теории автоколебаний.
Английский подлинник книги имел много мелких недочетов. Ряд доказательств был изложен торопливо, а иногда
и с прямыми ошибками; это заставило в ряде мест привести новые доказательства или восстановить подлинные доказательства оригинальных теорем. Эту работу проделали В. М. Алексеев и переводчики книги Р. Э. Виноград, М. И. Грабарь.
В подготовке русского издания большое участие принял и сам автор, который любезно прислал ряд исправлений и даже новый текст некоторых пунктов книги.
В результате проделанной работы русский читатель получил новую хорошую книгу но качественной теории дифференциальных уравнений.
Профессор В. В. НЕМЫЦКИЙ Москва, апрель I960 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Неожиданно теплый прием, который встретила монография «Лекции по дифференциальным уравнениям» (Princeton University Press, 1946), побудил автора расширить эту монографию до размеров предлагаемой книги. Однако общий план монографии остался без изменений, и читатели, знакомые с ней, легко обнаружат в книге ее основные направления. В то же время в книге мы более последовательно придерживаемся векторно-ма^тричной точки зрения и более широко пользуемся топологическими обозначениями.
По сравнению с монографией расположение материала в настоящей книге таково. Первые четыре главы, почти не претерпевшие изменений, в большей или меньшей степени носят традиционный подготовительный характер. Следующие три главы касаются вопросов устойчивости и содержат дополнительное изложение работ Ляпунова и его последователей в Советском Союзе, особенно относящихся к так называемому второму методу Ляпунова. Глава VIII— периодические решения — завершает изучение /г-мерного случая. Эта глава несколько фрагментарна, что, однако, неизбежно при современном состоянии этого обширного вопроса. В остальных главах изучаются двумерные системы. Две главы посвящены результатам Пуанкаре и Бендпксона, сюда вошли: особые точки, индекс, поведение в бесконечности, некоторые специальные системы. Здесь вводится также важное понятие структурной устойчивости и излагаются результаты Андропова — Понтряги-на и де Баггиса. В последних двух главах изучаются уравнения второго порядка, причем особое внимание уделено недавним работам Картрайт—Литтлвуда, Левинсона—Смита и Левинсона, а также приложениям метода возмущений и другим вопросам. В конце книги имеются добавления, содержащие дополнительные сведения из векторно-матричжн о исчисления и топологии. Книга заканчивается небольшим списком задач, являющихся не столько упражнениями, сколько темами для дальнейшего изучения, которые пришлось выпустить из основного текста за недостатком места.
После овладения общей теорией открываются два пути. Можно, следуя Пуанкаре, Леви-Чивита и Биркюфу, заниматься «двумя степенями свободы» и общими доктринами, группирующимися около задачи трех тел. Второе, более скромное направленно, которое мы и избираем в этой книге, ведет к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка, т. е. к кругу проблем, восходящих к Ван дер Полю.
В настоящей книге нет никаких приложений, но мы надеемся, что математически подготовленные физики и инженеры смогут найти в ней много интересного.
Размеры книги не позволили расположить темы по степени их трудности. Для удобства читателя мы отметили звездочками более трудные места, которые можно отложить до второго чтения. Часть, предназначенная для первого чтения, включает теорему существования и несколько ее следствий в гл. Л; целиком главы III и IV; первые половины глав V и VI и, наконец, «двумерную часть»: от главы IX до конца.
С. ЛЕФШЕЦ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора Из предисловия автора
Глава I. Предварительные сведения
§ 1. Элементы топологии
§ 2. Векторы и матрицы
§ 3. Аналитические функции нескольких переменных
§ 4. Дифференцируемые мноюобразия
Глава И. Теоремы существования. Общие свойства решений
§ 1. Общие замечания
§ 2. Основная теорема существования *§ 3. СвойС1ва непрерывности .... *§ 4. Свойства дифферепцируемости "\ 5. Свойства аналитичности
Уравнения высшего порядка
/ лава ///. Линейные системы
1
Различные типы линейных систем ...........
2. Однородные системы .................
3. Неоднородные системы ................
4. Линейные системы с постоянными коэффициентами . .
5. Линейные системы с периодическими коэффициентами. Теория Флоке .....................
40 40 41 47 51 54
§ 7. Автономные системы ................. 57
J-'лава IV. Устойчивость
§ 1. Исторические замечания
С •! ЪТ '
§ 2. Устойчивость осооых точек
§ 3. Устойчивость в линейных однородных системах
§ 4. Равномерно регулярные преобразования
| 5. Устойчивость интегральных кривых
91
3 Ч?
у^
§ 6. Устойчивость непрерывных отображении........ 97
§ 7. Дальнейшие определения устойчивости (Аотосевич) ... 98
Глава V. Дифференциальное уравнение............. 100
?=*"+«<•: «>
(Р—постоянная матрица; д(0; t) = 0}
§ 1. Общие замечания................... 101
§ 2. Система общего вида с неаналитической правой частью 102
*§ 3. Системы с аналитическими правыми частями. Общие
замечания...................... 109
*§ 4. Теорема Ляпунова о разложении........... НО
V/, Дифференциальное уравнение............ 122
•; О
(Р—постоянная матрица; q(0; t) = Q) (продолжение)
§ 1. Метод Пуанкаре.................. 122
5 2. Теоремы Ляпунова (прямой метод в теории устойчивости) .................... .... 127
*§ 3. Устойчивость в произведении пространств...... 132
*§ 4. Теорема существования.............., . 137
*§ 5. Устойчивость в произведении пространств. Аналитический случай.................... 138
*§ 6 Система с одним нулевым характеристическим корнем и остальными корнями с отрицательными действительными частями.................... 141
VII. Дифференциальное уравнение............ 145
dx ~dt' (Р (/) — переменная матрица; д (0; 0 = 0)
*§ 1. Теорема Перрона................... 145
*§ 2. Различные критерии устойчивости.......... 148
!' *§ 3. Числа Ляпунова. Приложение к устойчивости .... 155
: 'Глава VIII. Системы с периодическими правыми частями и их
|( устойчивость.................... 158
!*§ 1. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами ..................... 158
*§ 2. Аналитический случай................
*§ 3. Устойчивость периодических решений........ Igj
*§ 4. Устойчивость замкнутых траекторий автономных систем.
Метод сечений Пуанкаре............... Ig3
*§ 5. Семейства периодических решений.......... Ш7
*§ 6. Квазилинейные системы и их периодические решения 173 *| 7. Один класс периодических решепдй, изученный Ляпуновым ........................ 175
*§ 8. Полные семейства периодических решений...... 178
Глава IX. Двумерные системы. Простые особые точки. Индекс.
Поведение в бесконечности............. Е85
§ 1. Общие замечания................... 186.
§ 2. Особые точки линейных однородных систем...... 187
§ 3. Простые особые точки в общим случае......... 192
§ 4. Индекс. Приложение к дифференциальным уравнениям 191)
§ 5. Поведение траекторий в бесконечности......... 206
Глава X. Двумерные системы (продолжение).......... 214
§ 1, Общая особая точка.................. 214
•j 2. Локальная фазовая картина в особой точке...... 219
S 3. Предельные множества траекторий при t - > -j- со . . . . 230
5 4. Теорема Бендиксона.............- .... 236
§ 5. Некоторые дополнительные сведения о предельных
циклах........................ 241
§ 6. О многоугольниках траекторий............ 243
§ 7. Некоторые свойства div (X, Y]............ 2-')4
jj 8. Особые точки с одним ненулевым характеристическим
корнем....................... 24У
•ji 9. Структурная устойчивость.............. 256
Глава .Г/. Дифференциальные уравнения второго порядка . . . 26'<
§ 1. Нодиссипативные системы............... 266
5 2, Уравнения Льенара.................. 267
§ 3. Уравнение Ван дер Поля. Фазовая картина...... 273
•J 4. Уравнение Картрайт—Литтлвуда -........... 27!'
§ 5, Приложения и дополнения.............. 287
5 6. Дифференциальное уравнение x"-\-f(x, x') r'-fg(ar) = e (t) 292
§ 7. Дифференциальное уравнение r"-j-#•(#) = u. sin (at , . . 301
S 8. Дифференциальное у равнение зг*-(-/(#)#'+? (ж) = е (*) . . 30..
Глава XII. Колебании в системах второю порядка. Методы аппроксимации ....................
| 1. Самовозбуждающиеся (автоколебательные) системы . . . $ 2. Вынужденные колебания...............
§ 3. Аппроксимации для квазигармонических систем .... 327
§ 4. Уравнения Матье и Хилла ............... 331
| 5. Предельное положение предельных циклов ...... 33&
Добавление I. Дополнительные сведения о матрицах ...... 341
§ 1. Приведение к нормальной форме ............ 341
§ 2. Нормальная форма действительных матриц ....... 346
| 3. Нормальная форма обратной матрицы .......... 348
§ 4. Определения In А ................... 3*.*
Добавление И. Некоторые дополнительные сведения по топо-
4^1
логин ......................... 0
§ 2. Индекс поверхности .................. 357
$ :',. Одно свойство плоски А замкнутых жордановых кривых 362
365
Задачи
.
Литература .... ....................... оогг
Перечет, важнейших обозначений ................ 378
- '-*?<*.
-Предметны" укачатель ...................... °'-г
Цена: 150руб.
