Автор настоящей книги Гуго Штейнгауз (1887— 1972) — видный польский ученый, один из основоположников всемирно известной польской математической школы *). Наряду с разносторонними чисто научными интересами в жизни Штейнгауза большое место занимали и педагогические увлечения. Блестящий преподаватель и популяризатор науки Г. Штейн-гауз сыграл видную роль в становлении польского математического университетского преподавания.
Статьи и книги, обращенные к учащимся средних школ, были для него отнюдь также не редкостью. В 1938 г., накануне войны, появился уникальный «Математический калейдоскоп» Г. Штейнгауза — книга с картинками, которую сам автор характеризует как своеобразный «математический зоопарк», знакомство с которым бесспорно доставит читателю удовольствие, а кое-кого серьезно приохотит к математике. Эта замечательная книга и по сей день пользуется широкой известностью во всем мире: первый ее английский перевод был издан в США в год выхода польского оригинала книги; после войны появилось весьма богато Изданное русское издание (М.— Л., Гостехиздат, 1949), а вслед за тем— английское издание в Англии; венгерское издание; чешское издание и т. д. **). Почти таким же успехом пользуется и книга «Сто задач», * вышедшая в свет в польском оригинале в 1958 г, и уже в следующем году изданная и по-русски (М., Физматгиз, 1959). Наконец, недавно в нашей стране ; была посмертно издана книга Г. Штейнгауза «Задаче ;. и размышления» (М., «Мир», 1974), объединившая ряд • журнальных публикаций выдающегося польского педа- " гога и популяризатора; этой книге предпослан перевод обширной статьи о Штейнгаузе польского математика Э. Марчевского.
В 1963 г. в Польше книга~"«Сто задач» была переиздана на английском языке. В подготовке этого издания активное участие принял автор книги: он расширил или переработал решения некоторых задач и пополнил книгу рядом новых тем; при этом, стремясь во что бы то ни стало оправдать заголовок книги, он пошел на исключение из ее текста некоторых задач с тем, чтобы общее их число по-прежнему равнялось ста, В основу настоящего издания положено именно это английское издание книги; мы, однако, не сочли нужным исключать из ее состава некоторые из входящих в первое издание задач, что было сделано, явно, лишь из чисто формальных соображений (из любви к «круглому» числу сто); эти исключенные из английского издания книги задачи помечаются буквами а, б и т. д. после их номера. Все входящие в первое русское издание задачи и их решения даны в переводе Г. Ф. Боярской и Б. В. Боярского, который публиковался ранее; этот перевод, однако, был для настоящего издания заново пересмотрен и кое-где исправлен. Новые задачи и их решения перевели с английского Е. О. Головина и Ю. О. Головин. В некоторых местах редактор снабдил текст книги подстрочными примечаниями, указывающими на иную относящуюся к разбираемым темам литературу; эти весьма немногочисленные примечания помечены звездочками в отличие от нумерованных сносок автора.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Эта небольшая книга возникла как отклик на то неблагополучие в математической подготовке школьников, которое вскоре после войны ощутили многие ^работники университетов и технических институтов. уСтала очевидной необходимость более тесного сотрудничества между преподавателями средних школ и творчески работающими математиками. Некоторые ученые начали публиковать в общеобразовательных журналах задачи для учащихся средних школ, стремясь стимулировать таким путем интерес школьников к математике. В этой книге читатель найдет 100 элементарных задач - и решения всех этих задач. Некоторые из задач могут оказаться известными учащимся старших классов, но ^ в основном я старался избегать дублирования тех уп-;' ражнений, которые имеются в распространенных пособиях для средних школ. Не стремясь к исчерпывающей классификации задач, я отдавал предпочтение в первую очередь тем из них, которые естественным образом возникают из геометрических рассмотрений. Не предполагая знакомства читателя с высшей математикой, я был ограничен в возможном выборе задач. Этим и объясняется небольшой размер настоящего сборника. Решения, однако, изложены достаточно подробно для того, чтобы быть понятными как учителям средних школ, так и тем из их учеников, которые любят или, во всяком случае, не боятся самостоятельно думать. Последнюю главу книги составляют задачи, решения ; которых здесь не указаны, причем во многих случая? у меня была весьма уважительная причина эти решенш опустить: дело в том, что я их не знаю. Я надеюсь
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора . ............. ....«•• 7
Из предисловия к английскому изданию....... 9
Из предисловия автора к польскому изданию , . > • 10
Глава I
ЧИСЛА, РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА
Задачи Решения
1. Упражнение по таблице умножения .............. 11 53
2. Интересное свойство чисел ... 11 53
3. Делимость на 11........ 12 56
4. Делимость чисел........ 12 56
5. Облегченная теорема Ферма . . 12 57
6. Расстановка чисел........ 12 58
7. Обобщение............ 12 58
7а. Перестановка букв ....... 13 61
8. Пропорция........... 13 62
8а. Симметрические выражения ... 13 62
9. Иррациональность корня .... 14 62
10. Неравенство........... 14 62
11. Числовые последовательности . . 14 63
Глава II
ТОЧКИ, МНОГОУГОЛЬНИКИ, ОКРУЖНОСТИ, ЭЛЛИПСЫ
12. Точки на плоскости ....... 15 64
13. Исследование угла ........ 15 65
14. Площадь треугольника..... 15 65
15. Деление периметра треугольника 16
на равные части........ 66
15а. Центр тяжести......... 16 70
16. Деление треугольника...... 16 70
17. Треугольники.......... 16 71
18. Треугольная сеть (I) ...... 16 71
19. Треугольная сеть (II)........ 17 72
20. Что останется от прямоугодьни-
- ка?............... . 17 73
задачи ношения 17 74 17 74
18 76
18 77
24. Точки решетки, заключенные
18 78
25. 14 - 15 ..... , , ...... 18 78
19 78
19 79 *
19 80
Г л а в а III
ПРОСТРАНСТВО, МНОГОГРАННИКИ, ШАРЫ
20 80
31. Куб ........ . ...... 20 81 20 81
38, Тетраэдр с конгруэнтными гра- 22 88
22 90
40. Расстояние на поверхности . , , 22 91
42а. Вписанный многогранник, • , , • 22 92 23 93 23 94
44, Невыпуклый многогранник . . . 23 100 23 101 ЛЛ#
44а. Модели правильных многогран-
45, Задача из Страны чудес . , , , • 47, Одно свойство сферы .,.,,, 23 24 114 25 114 25 115
47а. Укладывание шаров (I) . , , , • 25 116
476, Укладывание шаров (II) .... • 25 117
Глава IV
ЗАДАЧИ ПРАКТИЧНЫЕ И .„ НЕПРАКТИЧНЫЕ
26 119
49. Праздничный окорок , . . , , , • 26 119 26 120 27 120
51. Раздел треугольного торта . , , 27 121 28 122
52а. Когда его день рождения? . . , 53. Сколько дет Софье Сергеевне? , 28 123 . ,28. . . 123
Y-4i*
§ Сколько рыб в пруду? > . . . . Калибровка валиков ........ Сто двадцать шариков ...... Лента на трубке ........ Г'Л&.Часы с одинаковыми стрелками "59. Великаны и карлики '€& Ученики классов А и В
, . .
Статистика
Группы крови
Снова о группах крови . . ,
Кассовая задача ..... , .
. Сады
. Излишек труда . ,
ного па-
.
65. Диагональ прямоугольного : раллелешшеда .......
66. Перевязывание коробок . . , , . 66а. Другое перевязывание ......
«7. Безмен ..... ........
* 68. Минимум длины .........
69. Деление на части прямоугольников и квадратов ....,>.
70. Практическая задача .,.,,>.
71. Соседние города ...... • • •
,• 72. Железнодорожная сеть (I) , . , ' 73. Железнодорожная сеть (II) • » » •
74. Пробный полет .........
' 75. Солнце и Луна ..... ....
76. Космография ....,» i»»>.
задачи
Г л а в а V
ШАХМАТЫ, ВОЛЕЙБОЛ, ПОГОНЯ
77. Шахматная доска ........
78. Еще раз о шахматной доске , .
. 79. Ладья на шахматной доске , • 80. Эллиптический бильярд » , , • > • 81. Спортивная задача (I) . , . . • 82. Спортивная задача (II) . . . . . , г 83. ия спортивных розыгрышей ~ 84.
.
83. Теория спортивных розыгрыше Объединение волейбольных ко*
<
манд ....... .
85. Турниры ........... ,
86. Велосипедист и пешеходы , . , , " 87. Четыре собаки ....... « > •
88. Погоня (I) ...........
8». Погоня (И) ...........
90. Действительно ли условия задачи неполные? ........ ....
. 91. Моторная лодка (I) . , .....
92. Моторная лодка (И) ......
Глава VI
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИКЛЮЧЕНИЯ ДОКТОРА ШАР АДЕНА
93. Удивительное число....... 43
94. «Сантиметр»........... 43
95. Игра в слова.......... 43
96. Студенческие долги ....... 44
96а. «Криптоним №2»......... 44
966. Кубики ............. 45
97. Странное общество........ 45
98. Счеты.............. 46
99. Поливание улиц ........ 46
100. Французские гсорода . ,..... 47
Глава VII
ЗАДАЧИ БЕЗ РЕШЕНИЯ
Плюсы и минусы ,.....* • « * 48
Треугольник в треугольнике , . , • • 49
Части квадрата ...,,.**••• 49
Дежение окружвости .....««*• 49
Луга в пространстве ..,,...,, 50
Неограниченная шахматная коска , , 50
Еще раз счеты............ 50
Сравнивание весов...... . . . , 50
Баям в ящике........... 51
Бактерии.............. 51
Подъезжает цирк! . ,........ 51
Три ковбоя............. 52
Допрос............... 52
Стрелки на додекаэдре ........ 52
Цена: 60руб.
