Предлагаемый читателю перевод книги известного американского математика Р. Беллмана «Введение в теорию матриц» вызовет безусловный интерес не только у физиков, механиков и инженеров, использующих матричный аппарат, но и у специалистов-математиков, интересующихся математическими аспектами теории.
В книге излагается собственно теория матриц и ее приложения к теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, математической экономике, проблеме отыскания экстремума в случае большого числа переменных и другим вопросам.
Помимо основного текста, в котором, как правило, приводятся доказательства сравнительно несложных утверждений, автор в конце каждой главы помещает значительное число задач, углубляющих и развивающих затрагиваемые вопросы. Часть задач уводит читателя далеко за рамки основного текста.
Как отмечает автор книги, задачи не расположены в тексте в порядке возрастающей трудности. Мы сохранили тот же порядок задач, хотя это, на наш взгляд, и вызовет у читателя известные трудности.
Несмотря на то, что на русском языке имеется прекрасная монография Ф. Р. Гантмахера по теории матриц, перевод книги Р. Беллмана следует признать целесообразным. Уступая книге Ф. Р. Гантмахера в систематичности, стройности и последова^ тельности изложения, книга Р. Беллмана отличается широким охватом новых проблем теории матриц и ее приложений.
Ценность книги повышают приводимые автором в конце каждой главы обзоры, в которых названы и прокомментированы оригинальные статьи и новые результаты в соответствующем направлении.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 9
При переводе книги были устранены опечатки и прочие погрешности, которых в оригинале обнаружилось значительное количество. Некоторые доказательства, оказавшиеся неудачными, были заменены.
При редактировании были сделаны примечания и составлен дополнительный список литературы.
Число работ по теории матриц непрерывно растет. Мы указали лишь те из них, которые имеют непосредственное отношение к вопросам, обсуждаемым в книге.
В проверке задач (их в книге более шестисот) мне помог А. Я. Белянков. Пользуясь случаем, приношу ему свою признательность.
В. Б. Лидский
Предисловие редактора перевода................... 8
Предисловие автора к русскому изданию............... 10
Предисловие автора к английскому изданию.............. 11
Глава 1. Максимизация и минимизация. Обоснование........ 21
§ 1. Введение (21). § 2. Максимизация функции одной переменной (21). § 3. Максимизация функции двух переменных (22). § 4. Алгебраический подход (23). § 5. Аналитический подход — I (25). § 6. Аналитический подход — II (26). § 7. Упрощающее|преобразование (28). § 8. Другое необходимое и достаточное условие (29). § 9. Определенные и неопределенные формы (30). § 10. Геометрический подход (30). § 11. Обсуждение (32).
Упражнения к гл. 1........................ 32
Библиография и комментарий................... 33
Глава 2. Векторы и матрицы.................... 34
§ 1. Введение (34). § 2. Векторы (34). § 3. Сложение векторов (35). §4. Умножение вектора на скаляр (36). §5. Скалярное произведение двух векторов (36). § 6. Ортогональность (37). § 7. Матрицы (38). § 8. Умножение вектора на матрицу (39). § 9. Умножение матрицы на матрицу (40). § 10. Некоммутативность (42). § 11. Ассоциативность (43). § 12. Инвариантные векторы (44). § 13. Квадратичная форма как скалярное произведение (45). § 14. Транспонированная матрица (45). § 15. Симметрические матрицы (46). § 16. Эрмитовы матрицы (47). § 17. Ортогональные матрицы. Инвариантность расстояний (48). § 18. Унитарные матрицы (49).
Упражнения к гл. 2........................ 49
Библиография и комментарий................... 54
Г л а в а 3. Диагонализация и канонические формы симметрических матриц 56
§ 1. Резюме (56). § 2. Решение системы линейных однородных уравнений (56). § 3. Собственные векторы и собственные значения (58). § 4. Два фундаментальных свойства симметрических матриц (59). §5. Приведение к диагональной форме. Различные собственные значения (61). § 6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (63). § 7. Положительно определенные квадратичные формы и матрицы (65).
Упражнения к гл. 3........................ 65
Библиография и комментарий................... 67
Глава 4. Приведение симметрических матриц к диагональной форме в общем случае.......................... 68
§ 1. Введение (68). § 2. Линейная зависимость (68). § 3. Ортогонализа-ция Грама — Шмидта (68). § 4. Положительность определителей Грама
. § 5. Одно тождество (73). § 6. Диагонализация симметрической матрицы второго порядка (75). § 7. /V-мерный случай (77). § 8. Необходимое и достаточное условие положительной определенности (80). § 9. Собственные векторы, соответствующие кратным собственным значениям (80). § 10. Теорема Гамильтона —Кэли для симметрических матриц (81). § 11. Одновременное приведение к диагональной форме (81). § 12. Одновременное приведение к сумме квадратов (84). § 13. Эрмитовы матрицы (85). § 14. Исходная проблема максимизации (85). § 15. Теория возмущений — I (86). § 16. Теория возмущений — II (87).
Упражнения к гл. 4........................ 90
Библиография и комментарий................... 97
Глава 5. Условные экстремумы ................... 99
§ 1. Введение (99). § 2. Детерминантный критерий положительной определенности (критерий Сильвестра) (99). § 3. Представление в виде суммы квадратов (102). § 4. Связанные вариации и теорема Финслера (102). § 5. Случай k = 1 (104). § 6. Задача о минимизации (107). § 7. Общий случай (109). § 8. Прямоугольные матрицы (109). §9. Клеточные матрицы (111). § 10. Решение задачи в общем случае (112).
Упражнения к гл. 5........................113
Библиография и комментарий...................116
Глава 6. Функции от матрицы...................117
§ 1. Введение (117). § 2. Функции от симметрической матрицы (117). §3. Обратная матрица (118). § 4. Единственность обратной матрицы (118). § 5. Квадратные корни (121). § 6. Параметрическое представление (122). § 7. Результат Шура (122). § 8. Основные скалярные
оо
функции (123). § 9. Несобственный интеграл J e~(x'Ax)dX (125).
—оо
§ 10. Аналог для эрмитовых матриц (127). § 11. Связь между 1 (Я) и I Я | (128).
Упражнения к гл. 6........................128
Библиография и комментарий...................134
Глава 7. Вариационное описание характеристических чисел.....140
§1. Введение (140). § 2. Отношение Релея (140). § 3. Вариационные свойства характеристических чисел (141). § 4. Обсуждение (142). § 5. Геометрические предпосылки (143). § 6. Теорема Куранта —Фишера о минимаксном представлении характеристических чисел (143). § 7. Монотонное поведение Я#(Л) (146). § 8. Теорема отделения Штурма (146). § 9. Необходимое и достаточное условие положительной определенности матрицы А (147). § 10. Теорема отделения Пуанкаре (147). § 11. Теорема о представлении (148). § 12. Приближенные методы (149).
Упражнения к гл. 7........................151
Библиография и комментарий...................152
Глава 8. Неравенства.......................155
§ 1. Введение (155). § 2. Неравенство Коши — Шварца (155). § 3. Интегральный вариант (156). § 4. Неравенство Гёльдера (156). § 5. Вогнутость \А \ (158). § 6. Одно полезное неравенство (158). § 7. Неравенство Адамара (159). § 8. Вогнутость произведения А-лг^/v-i1 • •'Ч ('60). § 9. Аддитивные неравенства, вытекающие
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
из мультипликативных (161). § 10. Другой путь (162). § 11. Более простое выражение для hNkN_l . . . Kk (163). § 12. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (164). § 13. Мультипликативные неравенства, вытекающие из аддитивных
(165)................................
Упражнения к гл. 8........................166
Библиография и комментарий...................169
Глава 9. Динамическое программирование.............173
§ 1. Введение (173). § 2. Задача наименьшего отклонения (173). § 3. Функциональное уравнение (174). § 4. Рекуррентные соотношения (175). § 5. Более сложный пример (175). § 6. Проблема Штурма — Лиувилля (176). § 7. Функциональные уравнения (178). § 8. Матрицы Якоби (179). § 9. Аналитическое продолжение (180). § 10. Несимметрические матрицы (181). § 11. Случай комплексной матрицы А (182). § 12. Слабо связанные системы (183). §13. Упрощения-1 (184). § 14. Упрощения-II (184). §15. Уравнение Ах = у (185). § 16. Квадратичное уклонение (186). § 17. Результат Стилтьеса (188).
Упражнения к гл. 9........................189
Библиография и комментарий...................190
Глава 10. Матрицы и дифференциальные уравнения ........193
§ 1. Обоснование (193). § 2. Векторно-матричные обозначения (194). § 3. Нормы векторов и матриц (196). § 4. Бесконечные ряды векторов и матриц (197). § 5. Существование и единственность решений линейной системы уравнений (197). § 6. Матричная экспонента (200). § 7. Функциональные уравнения —I (201). § 8. Функциональные уравнения —II (201). § 9. Функциональные уравнения —III (202). § 10. Невырожденность решения (202). § 11. Решение неоднородного уравнения. Постоянные коэффициенты (204). § 12. Неоднородное уравнение. Переменные коэффициенты (204). § 13. Неоднородное уравнение. Сопряженная система (205). § 14. Теория возмущений (206). § 15. Неотрицательность решения (207). § 16. Функцио-
dX нальное уравнение Пойа (208). § 17. Уравнение —тт = АХ + ХВ
(211). § 18. Уравнение АХ + ХВ = С (212).
Упражнения к гл. 10........................213
Библиография и комментарий...................213
Глава 11. Явные решения и канонические формы матриц......219
§ 1. Введение (219). § 2. Метод Эйлера (219). § 3. Построение решения (220). § 4. Невырожденность матрицы С (221). § 5. Другой метод (221). § 6. Определитель Вандермонда (222). § 7. Явная форма решения линейного дифференциального уравнения. Диагональные матрицы (223). § 8. Диагонализация матрицы (224). § 9. Связь между двумя подходами (225). § 10. Кратные характеристические числа (226). § 11. Каноническая форма Жордана (227). § 12. Кратные характеристические числа (другой метод) (228). § 13. Треугольная форма матрицы. Теорема Шура (231). § 14. Нормальные матрицы (233). § 15. Теорема об аппроксимации (235). § 16. Другая теорема об аппроксимации (236). § 17. Теорема Гамильтона — Кэли (237). § 18. Другое доказательство теоремы Гамильтона— Кэли (237). § 19. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами (238). § 20. Представление невырожденной матрицы в
виде экспоненты (239). § 21. Другое доказательство (241). § 22. Некоторые интересные преобразования (242). § 23. Биортогональность (243). § 24. Преобразование Лапласа (245). § 25. Пример (246). § 26. Обсуждение результата (247). § 27. Матричный случай (248).
Упражнения к гл. 11.......................249'
Библиография и комментарий...................257
Глава 12. Симметрические функции, кронекерозские произведения и
циркулянты............................ 260
§ 1. Введение (260). § 2. Степени собственных значений (260). § 3. Полиномы и характеристические уравнения (262). § 4. Симметрические функции (252). § 5. Кронекеровские произведения (264). § 6. Алгебра кронекеровских произведений (265). § 7. Кронекеровские степени — I (265). § 8. Кронекеровские степени—II (265). § 9. Кронекеровские степени —III (266). § 10. Кронекеровский логарифм (267). § 11. Кронекеровская сумма—I (267). § 12. Кронекеровская сумма-II (268). § 13. Уравнение АХ + ХВ = С (268). § 14. Другое доказательство (270). § 15. Циркулянты (272).
Упражнения к гл. 12........................273
Библиография и комментарий...................276
Глава 13. Теория устойчивости...................278-
§ 1. Введение (278). § 2. Необходимые и достаточные условия устойчивости (279). § 3. Устойчивые матрицы (280). § 4. Метод Ляпунова (280). § 5. Среднеквадратичное отклонение (282). § 6. Некоторые эффективные критерии устойчивости (282). § 7. Необходимое и достаточное условие устойчивости-матриц (234). § 8. Дифференциальные уравнения и собственные значения (284). § 9. Эффективные условия устойчивости матриц (287).
Упражнения к гл. 13........................287
Библиография и комментарий...................289
Глава 14. Марковские матрицы и теория вероятностей.......292:
§ 1. Введение (292). § 2. Простой стохастический процесс (292). § 3. Марковские матрицы и вероятностные векторы (294). § 4. Аналитическое описание дискретных марковских процессов (295). § 5. Асимптотическое поведение (295). § 6. Первое доказательство (296). § 7. Второе доказательство независимости от начального состояния (298). § 8. Некоторые свойства положительных марковских матриц (298). § 9. Второе доказательство сходимости (300). § 10. Марковские матрицы общего вида (301). § 11. Непрерывный стохастический процесс (303). § 12. Доказательство вероятностных свойств (304). § 13. Обобщенные вероятности: унитарные преобразования (305). § 14. Обобщенные вероятности: матричные преобразования (306).
Упражнения к гл. 14.......................307'
Библиография и комментарий...................310
Глава 15. Случайные матрицы...................312
§ 1. Введение (312). § 2. Предельное поведение физических систем (312). § 3. Средние значения (313). § 4. Средние значения квадратов (314).
Упражнения к гл. 15........................314
Библиография и комментарий...................315.
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Глава 16. Положительные матрицы, теорема Перрона и математическая экономика.........................317
§ 1. Введение (317). § 2. Некоторые процессы простого роста (317). § 3. Обозначения и определения (318). § 4. Теорема Перрона (319). § 5. Доказательство теоремы 1 (319). § 6. Второе доказательство простоты К (А) (321). § 7. Доказательство свойства минимальности Я (А) (322). § 8. Эквивалентное определение К (А) (323). § 9. Предельная теорема (323). § 10. Стационарный рост (323). § 11. Непрерывные процессы роста (324). § 12. Аналог теоремы Перрона (325). § 13. Ядерный распад (325). § 14. Математическая экономика (326). § 15. Матрицы Минковского — Леонтьева (329). § 16. Положительность определителя [/ — А\ (330). § 17. Усиление теоремы 6 (331). § 18. Линейное программирование (331). § 19. Теория игр (332). § 20. Марковские процессы принятия решений (334). § 21. Экономическая модель (334).
Упражнения к гл. 16.......................335
Библиография и комментарий...................338
Приложение А. Линейные уравнения и ранг...........344
§ 1. Введение (344). § 2. Определители (344). § 3. Свойство алгебраических дополнений (345). § 4. Правило Крамера (345). § 5. Однородные системы (345). § 6. Ранг (349). § 7. Ранг квадратичной формы (349). § 8. Закон инерции (Якоби — Сильвестра) (349). § 9. Сигнатура (350).
Упражнения к приложению А...................350
Библиография и комментарий...................351
Приложение Б. Метод Эрмита..................352
Приложение В. Моменты и квадратичные формы........354
§ 1. Введение (354). § 2. Обозначения (354). § 3. Метод Фишера
(355). § 4. Моментное представление (356). § 5. Результат Герглот-
ца (357).
Библиография и комментарий...................358
Дополнительная литература по теории матриц и ее приложениям . . . 359
Именной указатель..........................362
Предметный указатель.........................366
Цена: 300руб.
