Эта книга возникла в результате переработки курса лекций, читавшихся авторами в МГУ.
Отметим некоторые особенности изложения.
Изложение начинается с изучения матриц и определителей, причем определитель n-го порядка вводится по индукции через определитель (п—1)-го порядка с помощью формулы разложения по первой строке. При этом легко доказывается теорема о разложении по любой другой строке и по любому столбцу (схема доказательства этой теоремы оказывается совершенно аналогии- " ной схеме Доказательства теоремы Лапласа). Традиционное определение детерминанта непосредственно через его элементы является простым следствием данного в этой книге определения.
Изучению линейных систем предшествует теория линейных пространств и преобразований базисов и координат векторов в таких пространствах. При изучении линейных систем мы сразу, же знакомим читателя не только с обычной, но и с матричной формой записи системы и вывода формул Крамера.
Изучение вещественных и комплексных евклидовых пространств завершается доказательством теоремы А. Н. Тихонова об отыскании нормального решения линейной системы.
При изучении линейных операторов излагаются все основные аспекты спектральной теории в конечномерных евклидовых пространствах. Теорема о приведении матрицы к жордановой форме доказывается с помощью предложенного А. Ф. Филипповым короткого метода, основанного на индукции.
Книга содержит специальную главу, посвященную итерацион-, ным методам, в которой с единой точки зрения рассматриваются важнейшие итерационные методы решения линейных систем (явный и неявнырй методы простой итерации, метод Зейделя, метод верхней релаксации) и устанавливаются условия сходимости этих методов. Для общего неявного метода простой итерации выясняются установленные А. А. Самарским условия получения наиболее быстрой сходимости. Приводится доказательство сходимости метода вращений для решения полной проблемы собственных значений. ^
Изложение теории билинейных и квадратичных форм завершается приведением к каноническому виду уравнений гиперповерхностей второго порядка в n-мерном пространстве.
При изучении тензоров, наряду с традиционным материалом, излагается важная для приложений тензорная форма записи основных операций векторной алгебры. Здесь же даются понятия псевдоевклидова пространства, галилеевых координат и преобразования Лоренца.
Книга завершается изложение» элементов теории групп и их представлений.
Следует отметить, что данная книга примыкает к выпуску «Аналитическая геометрия», хотя и может читаться, независимо от него.
Авторы приносят глубокую благодарность А. Н, Тихонову и А- Г. Свешникову за большое количество ценных замечаний, UT. А. Алимову, вклад которого в эту книгу далеко вышел за рамки обычного редактирования,, Л. Д. Кудрявцеву, С. А. Ломову и* особенно А. А. Самарскому за весьма полезные критические замечания и ценные советы, Е. С. Николаеву,, Д, Д. Соколову и Е. В. Шикину за большую помощь при написании некоторых разделов этой книги.
В. Пяти, Э. 30 января 1974 г.
ВВЕДЕНИЕ :•
В этой книге мы будем иметь дело с внешне различными Объектами: I) с матрицами (гот прямоугольными таблицами из чисел), 2) с алгебраическими формам», включающими в себя так называемые линейные, билинейные и квадратичные формы, 3) с так называемыми линейными (и, в частности, с евклидовыми) пространствами и с линейными преобразованиями в таких пространствах.
Элементарные представления об этих объектах читатель имеет из курса аналитической геометрии. В самом деле, в курсе аналитической геометрии изучались квадратные шт^ицы второго и третьего порядков я отвечающие этим-матрицам определители. Линейная и квадратичная формы представляют собой еоотает-ственно однородную линейную и однородную квадратичную^унк-ции нескольких независимых переменных (например, координат вектора). Примером линейного пространства может служить сово-куштость всех гёометрнческияГ векторов на плоскости (илитв пространстве) с заданными операциями сложения этих векторов и умножения юс на числа. Если для совокупности таких векторов задано еще и скалярное произведение, та мы придем к понятию евклидова пространства. Примером линейного преобразования в таком пространстве может служить переход от одного декартова прямоугольного базиса к другому.
Несмотря на внешнее различие, перечисленные совокупности объектов тесно связаны между собой; большинство утверждений допускает равносильную формулировку для каждой из этих совокупностей. Наиболее отчетливо эта связь выявляется при научении произвольных линейных и евклидовых пространств (и линейных преобразований в таких пространствах).
Однако более конкретная матричная трактовка результатов непосредственно связана с фактическими вычислениями (и, в частности, с решением линейных систем'уравнений). Именно поэтому мы начинаем наше рассмотрение с изучения матриц и неоднократно возвращаемся впоследствии к матричной трактовке результатов.
Цена: 150руб.
