§ 1. Аксиомы линейного пространства .....].. 12
§ ?. Примеры линейных пространств......'. . .- 15
§ 3. Простейшие следствия из аксиом линейного
пространства................... 22
§ 4. Линейная комбинация. Линейная зависимость 24
§ 5. Лемма о базисном миноре '............ 27
§ 6. Основная лемма о двух системах векторов ... 30
§ 7. Ранг матрицы.................... 32
§ 8. Конечномерные и бесконечномерные пространства. Базис . ................... 34
§ 9. Линейные операции в координатах ....... 37
§ 10. Изоморфизм линейных пространств ...... 39
§ И. Соответствие между комплексными и действительными пространствами . ........... 42
§ 12; Линейное подпространство........... 44
§ 13. Линейная оболочка............... 47
§ 14. Сумма подпространств. Прямая сумма ..... 51 //. Линейные преобразования переменных. Преобразования координат................ 57
§ 1. Сокращенная запись суммирования ....... 57
§ 2. Линейное преобразование переменных. Произве- дение линейных преобразований переменных и
произведение матриц............... 60 § 3. Квадратные матрицы и невырожденные преобра-
, зования....................... 64
. § 4. Ранг произведения матриц ... ".......... 70
§ 5. Преобразование координат при изменении базиса 72 ива III. Системы линейных уравнений. Плоскости
в аффинном пространстве............ 76
§ 1. Аффинное пространство ............. 76
, • § 2. Аффинные координаты.............. 78
§ 3. Плоскости..................... 80
§ 4. Системы уравнений первой степени....... 84
§ 5. Однородные системы............... 89
§ 6. Неоднородные системы.............. 96
§ 7. Взаимное расположение плоскостей....... 100
§ 8. Системы линейных неравенств и выпуклые многогранники...........'.......... 108
Николай Владимирович Ефимов Эмиль Ренольдович Розендорн
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава TV. Линейные, билинейные и квадратичные формы 119
§ 1. Линейные формы ............ ^ .... 119
§ 2. Билинейные формы.........,...... 124
§ 3. Матрица билинейной формы . . .-.. ....... 128
§ 4. Квадратичные формы .....;. л....... 131
'§5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа .......... 134
§6. Нормальный вид квадратичной формы ,..... 137
§ 7. Закон инерции квадратичных форм...... . 138
§8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби......, . . . . . 140
§9. Положительно определенные и отрицательно
определенные квадратичные формы ........ 143
§ 10. Определитель Грама. Неравенство КошИ—Буня-
ковского .....,............•••'••• 146
.'; §.11. Нулевое подпространство билинейной и квад-.
ратичной формы.................. 149 ,
§ 12. "Нулевой конус квадратичной формы ...... 152
. § 13. Простейшие примеры нулевых конусов квад-
ратичныхЧрорм .............'.... 153
Глава V. Тензорная алгебра ............... .'". 157
§ 1. Взаимные базисы.. Контравариантные и кова-
риантные векторы................. 157
§ 2. Тензорное произведение линейных пространств 166 §'3. Базис в тензорном произведении. Координаты
тензора . . . . ................... 170
§ 4. Тензоры билинейных форм............ 176
§ 5. Многовалентные тензоры. Произведение тензоров 180
§6. Координаты многовалентных тензоров ....", 184
§ 7. Полилинейные формы и их тензоры ...... 186
§ 8. Симметрирование и альтернирование. Косые
;';_• формы....................... . 188
§ 9. Второй вариант изложения понятия тензорного
произведения двух линейных пространств ... 192
Глава VI. Понятие группы и некоторые его приложения 199 §.1, Группы и подгруппы. Распределение базисов на
классы по данной подгруппе м атриц. Ориентация 199 • § 2. Группы преобразований. Изоморфизм и гомо- .
морфизм групп ...........:......., 206
§ 3. Инварианты. Осевые инварианты. Псевдоинва-
./ рианты....................... 212
§•'4. Тензорные величины..............; 219
§ 5. Ориентированный объем параллелепипеда. Диск-
риминантный тензор.............. . 224
Глава VII. Линейные преобразования линейных пространств........................ 230
. "§ 1. Общие сведения................, . 230
. § 2. Линейное преобразование как тензор ...... 233\,
.••••§• 3. Геометрический смысл ранга и определителя линейного преобразования. Группа невырожденных линейных преобразований .......... 237
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
4. Инвариантные подпространства . .,....... 240
5. Примеры линейных преобразований . . . . . . . 242
6. Собственные векторы и характеристический, многочлен преобразования ....... ..... 249
§ 7. Основные теоремы о характеристическом много-
• члеНе и собственных векторах . . . '....... 252
§ 8. Нильпотентные преобразования. Общая структу-
ра вырожденных преобразований . ....... 255
§ 9. Канонический базис нильпотентного преобразо-
вания......................... 259
§ 10. Приведение матрицы преобразования к жорда-
новой нормальной форме ....... ..... 270
§ 11. Преобразования простой структуры......- 276
§ 12. Эквивалентность матриц............. 27.8
| § 13. Формула Гамильтона—Кэли............ 281
i'VIH. Пространства с квадратичной метрикой ... 283
Iv § 1. Скалярное произведение.........'. . ». . 283
g4 § 2. Норма вектора................. . . _ 285
|, § 3. Ортонормированные базисы......... . . 287,
| § 4. Ортогональная проекция. Ортогонализация . . . 289
s_ § 5. Метрический изоморфизм............. 295
! § 6v А-ортогональные матрицы и А-ортогональные
группы....................... 297-
§ 7. Группа евклидовых поворотов.........' . 301
§ 8. Группа гиперболических поворотов ......... 310,
*?;• § 9. Тензорная алгебра в пространствах с квадратич-
|: ной метрикой................... 320
|t § 10. Уравнение гиперплоскости в пространстве
!:: с квадратичной метрикой . . ; . . ....... 328
t § П. Евклидово пространство. Ортогональные мат-
'У рицы- 'Ортогональная группа ......... . 331
1\ § 12. Нормальное уравнение гиперплоскости в евкяи-
У довом пространстве; . .............;•'. 337
b § 13. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве. Дискриминантный тензор. Векторное
: * произведение .......,........... 339
?1Х. Линейные преобразования евклидова прост-
(г ранства . . . /..'..'.................. 344
; § 1. Сопряженное преобразование .......... 344
'•§2. Лемма о характеристических корнях симметрич-
':< ной матрицы.................... 347
"§ § 3. Самосопряженные преобразования........ 348
:'*' § 4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированием базисе . ... 355
-§ 5. Совместное приведение к каноническому виду '%•"• двух квадратичных форм ............. 357
§ 6. Кососопряженные преобразования....... . 361
х § 7. Изометричяые преобразования ... . . . . ... 364
§ 8. Канонический вид изометричного преобразования 369
§9. Движение твердого тела с одной неподвижной
точкой....................... 375
§ 10. Кривизна и кручение пространственной кривой. 377 § 11. Разложение произвольного линейного преобразования в произведение самосопряженного
\ и изометричного преобразований ........ 380
§ 12. Приложения к теории упругости. Тензор деформаций и тензор напряжений ........ 383
Глава X. Поливекторы и внешние формы ......... 387
§ 1. Альтернация.................... 387
§ 2. Поливекторы. Внешнее произведение...... 393
§ 3. Бивекторы..................... 399
§ 4. Простые поливекторы . . ,......'..... 410
- § 5. Векторное произведение............. 414
§ 6. Внешние формы и действия над ними ..... 421
§ 7. Внешние формы и ковариантные поливекторы 425 § 8. Внешние формы в трехмерном евклидовом пространстве . ;.................... 433
Глава XI. Гиперповерхности второго порядка....... 438
§ 1. Общее уравнение гиперповерхности второго порядка........................ 438
§ 2. Изменение левой части уравнения при переносе
начала координат ................. 439
§ 3. (Изменение левой части уравнения при изменении ортонормированного базиса -. ........ 442
§ 4. Центр гиперповерхности второго порядка . . . 445 § 5. Приведение к каноническому виду общего уравнения гиперповерхности второго порядка
в евклидовом пространстве ........... 447
§ 6. Классификация гиперповерхностей второго порядка в евклидовом пространстве ........ 451
§ 7. Аффинные преобразования............ 459
§ 8. Аффинная классификация гиперповерхностей
второго порядка........ . ......... 464
§ 9. Пересечение прямой с гиперповерхностью второго порядка. Асимптотические направления . . 465
§ 10. Сопряженные направления . ........... 468
Глава XII. Проективное пространство ........... 472
§ 1. Однородные координаты в аффинном пространстве. Бесконечно удаленные точки . .,..... 472
§ 2. Понятие проективного пространства ...... 476
§ 3. Связка плоскостей в аффинном пространстве 487
§ 4. Центральное проектирование .......... 496
§ 5. Проективная эквивалентность фигур ...... 500
§ 6. Проективная классификация гиперповерхностей
второго пррядка................' .'*. 507
§ 7. Пересечение гиперповерхности второго порядка и прямой. Поляры................^ 514
Приложение. Доказательство теоремы о классификации"
линейных величин............... 524
Литература............................ 528
Цена: 150руб.
