Математика | ||||
Пособие по математике для поступающих в вузы Москва 1982 К.А.Катасов 608стр. | ||||
ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга написана для учащихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания, с тем чтобы лучше подготовиться к вступительным экзаменам в вузы. Она может помочь и тем, кто уже окончил школу, но продолжает изучать математику самостоятельно или на подготовительных курсах и отделениях. Авторы надеются, что учителя средних школ, преподаватели профтехучилищ и техникумов, руководители математических кружков и студенты педагогических вузов найдут в книге материал, который смогут использовать в своей работе. Наконец, книга может представлять интерес как сборник, содержащий более 2000 задач, из которых треть задач приведены с решениями. Значительная часть задач предлагалась на вступительных экзаменах в различных вузах. Книга написана в соответствии с программой по математике для средних школ, и в ней используются терминология и обозначения, принятые сейчас в школе. Пособие не содержит систематического изложения школьного курса математики и не может заменить школьные учебники. Тем не менее все основные и важные, по мнению авторов, вопросы освещены достаточно подробно. В некоторых случаях добавлен материал, несколько выходящий за рамки ныне действующей программы для поступающих в вузы. Авторы считают, что изучение этого материала будет способствовать развитию математической культуры учащихся, а также принесет пользу при дальнейшем обучении в вузах. Книга состоит из 17 глав. Каждая глава содержит теоретический материал и задачи. Изложение теории сопровождается разбором большого числа примеров различной трудности. Задачи в каждой главе разбиты на два раздела: задачи первого раздела Даны с решениями, задачи второго раздела — только с ответами. Авторы настоятельно советуют учащимся обращаться к приведенным в книге решениям задач 1-го раздела только писле настойчивых попыток решить задачу самостоятельно. Самостоятельное решение одной задачи часто приносит больше пользы, чем разбор готовых решений нескольких задач. Учащимся, которые желают поступить в вузы с повышенными требованиями по математике, следует изучать материал более глубоко с непременным решением достаточного количества задач. В конце книги в «Приложении» даны образцы вариантов письменных экзаменационных работ по математике, предлагавшихся в 1977—1979 гг. Они дают представление о степени трудности задач на приемных экзаменах в различных вузах страны. В заключение отметим, что пособие написано на основе опыта заочного обучения математике школьников 8—10 классов в заочной физико-технической школе при Московском физико-техническом институте. Авторы благодарят директора ЗФТШ, заслуженного учителя РСФСР Т. А. Чугунову за помощь в работе. Авторы гыражают также глубокую благодарность профессору Г. Н. Яковлеву, советами и рекомендациями которого они постоянно пользовались. Предисловие ....................................... 7 Глава I. Множества. Понятие функции и обратной функции. ...... 9 § 1. Множество. Подмножество. Объединение и пересечение множеств. Числовые множества ,.,,,,,,.,,.,..,....,....•>. 9 § 2. Понятие функции .,..,.,.,,...,,............... 13 § 3. Координатная плоскость. График функции .,.,.,,.,..... 21 § 4. Обратная функция ............................. 22 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I ............ . ................ ..... 25 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА U ......................... . ....... " Глава II. Элементы логики. Взаимно обратные и взаимно противопо- ложные теоремы. Метод математической индукции, ...,,,,..... 30 § 1. Высказывания, Операции над высказываниями ........... 30 § 2. Предложения, зависящие от переменной ,,,..,....,.... 37 § 3. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы, Необ- ходимые и достаточные условия, .......... ..... . . . . • 42 § 4. Метод математической индукции, ..,....,,.. ......... 47 ВАДАЧИ РАЗДЕЛА 1 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II Глава III. Уравнения и системы уравнении ,,,.,, ........... 58 § 1. Уравнения с одним и несколькими переменными .... ...... 58 § 2. Системы уравнений ..,.........,,,... ..... ...... 63 § 3. Системы линейных уравнений ...... ......... ....... 67 § 4. Задачи на составление уравнений, ................... 72 ВАДАЧИ РАЗДЕЛА 1 .................................. 75 ВАДАЧИ РАЗДЕЛА II ................................. 76 Глава IV. Алгебраические неравенства .................... 81 § 1. Функциональные неравенства. Понятие равносильности нера- венств ...,,.,,,.,,...,,,,.......,,, ..... ... 81 2. Рациональные неравенства Метод интервалов , , ....... ... 83 ' 3. Иррациональные неравенства , , ....... .,.,,.,,..... 87 4. Неравенства с модулем .,,,,,..,,,,.,,.,..,,...., 89 5. Неравенства с параметрами ..... ...... ,.,.,,....,, 90 6. Доказательство неравенств . , ..... . ...... , . ........ 94 § 7. Приложение неравенств к задачам на наибольшие и наименьшие значения ...,,.,.«,,,...,,., ..... ,.,.,..,,.. 98 ВАДАЧИ РАЗДЕЛА I . ................. ............... 100 ВАДАЧИ РАЗДЕЛА И ............. ,....., ....... ,.,,.. 101 Глава V. Последовательности. Предел последовательности. Предел функции. Производная............................. 105 § 1. Бесконечные последовательности. Последовательности ограниченные и неограниченные ...,.,..................... 105 § 2. Предел последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях , , . . ,...........................it 107 § 3. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса , , . . • Ш § 4. Арифметическая прогрессия , . , .................... ИЗ § 5. Геометрическая прогрессия........................ 115 § 6. Предел функции. Непрерывность функции ............. 117 § 7. Производная, ее геометрический смысл........'........ 121 § 8. Предел функции на бесконечности .................. 125 § 9. Односторонние пределы. Бесконечные пределы........... 126 ЗАДА ЧИ РАЗДЕЛА I................................. 129 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 131 Глава VI. Исследование функции и построение их графиков ...... 136 § 1. Четные и нечетные функции.....................• 136 § 2. Периодические функции.......................... 138 § 3. Асимптоты.................................. 140 § 4. Преобразования графиков функций.................. 143 § 5. Элементарные функции и их графики................. 145 § 6. Построение графиков функций...................... 153 § 7. Применение производной к исследованию функций и построению их графиков......................,.......... 155 § 8. Наибольшее и наименьшее значения функции ........... 158 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 1.................................. 160 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА И................................. 161 Глава VII. Векторы................................ 163 § 1, Некоторые необходимые определения и обозначения........ 163 § 2. Векторы, их обозначение и изображение. Коллинеарные и компланарные векторы .........,..,,,............. 165 § 3. Сумма' векторов. Противоположный вектор, Разность векторов , 167 § 4. Умножение вектора на число, Признак коллинеарности..... 170 § 5. Условие компланарности векторов. Разложение вектор? по трем некомпланарным векторам..........,............. 171 § 6. Угол между векторами Скалярное произведение векторов .... 173 § 7. Базис. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами.........................., 176 § 8. Прямоугольная система координат. Уравнение плоскости. .... 178 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 1................................. 181 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II.......................•......... 183 Глава VIII. Комплексные числа......................... 187 § 1. Определение комплексных чисел.................... 187 § 2. Свойства операций сложения и умножения............. 188 § 3. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Правила действий с комплексными числами, записанными в алгебраической форме...........,,,,,,,................... 190 § 4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел Модуль и аргументы комплексного числа ,.................... 193 § 5. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме..................,............. J98 § 6. Возведение в степень и извлечение корня............., 200 § 7. Алгебраические уравнения ,....................... 203 4 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 203 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 203 Глава IX. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства .... 211 § 1. Тригонометрические уравнения..................... 211 § 2. Системы тригонометрических уравнений................ 225 § 3. Тригонометрические неравенства ,................... 234 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I.................................. ^ЗЭ ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 240 Глава X. Показательные и логарифмические уравнения, системы и неравенства.................................. 24 i § I. Показательные уравнения......................... 250 § 2. Логарифмические уравнения....................... 251 § 3. Разные примеры уравнений....................... 255 § 4. Система показательных и логарифмических уравнении...... 253 § 5. Показательные и логарифмические неравенства........... 260 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 265 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 265 Глава XI. Комбинаторика. Формула Ньютона для степени бинома. Случайные события и их вероятности ................ 273 § 1. Размещения, перестановки, сочетания................. 273 § 2. Формула Ньютона............................. 281 § 3. Случайные события и их вероятности................. 28j ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА ', ................................. 283 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 289 Глава XII. Интеграл................................ 292 § 1. Первообразная и неопределенный интеграл............. 292 § 2. Интеграл и формула Ньютона —Лейбница.............. 298 § 3. Площадь криволинейной трапеции................... 303 § 4. Применение интеграла к вычислению объемов тел......... 308 § 5. Применение интеграла при решении физических задач...... 312 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 314 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 313 Глава XIII. Решение планиметрических задач ,............... 319 § 1. Разные задачи................................ 320 § 2. Подобие треугольников. Теоремы синусов и косинусов...... 328 § 3. Свойства хорд, секущих и касательных................ 333 § 4. Алгебраические и тригонометрические методы решения. Применение векторной алгебры......................... 333 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 340 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 342 Глава XIV, Множества точек на плоскости и в пространстве. Задачи на построение......................,.,,,. 343 § 1. Множества точек, обладающих заданным свойством........ 343 § 2. Применение метода координат...................... 354 S3. Задачи на построение........................... 350 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА i ....... 362 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА и .'..'.'.'.'..'......................... 363 Глава XV, Стереометрия (часть I)....................... 366 § 1. Сечения многогранников.......................... 366 § 2. Применение критериев коллинеарности и компланарности векторов в решении задач..........,.........,.,,,. 379 § 3. Угол между прямыми в пространстве................. 385 § 4. Применение скалярного произведенгтя векторов » решении задач 387 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 390 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 391 Глава XVI. Стереометрия (часть Н) ,...................., 399 § 1. Перпендикулярные прямые и плоскости......,,..,.,... 399 § 2. Об изображении на рисунках перпендикулярных прямых и плоскостей. Построение сечений, перпендикулярных прямой или плоскости................,,.....,.,.. • .»•• i • 403 § 3. Угол между прямой и плоскостью............,,,,... 407 § 4, Расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми и плоскостями................................ 410 § 5, Двугранный угол. Угол между плоскостями. Биссектор. Трехгранный угол..........................,.,,., 414 § 6. О вычислении объемов многогранников и их частей . ,...... 420 § 7. Задачи на комбинации многогранников,,,..,.,,....... 423 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 425 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 426 Глава XVII. Фигуры вращения , ,....................... 434 § 1. Цилиндр....,.,,............................ 434 § 2. Конус..................................... 437 § 3. Сфера........,............................ 441 § 4. Комбинации сферы, конуса и цилиндра,.,..,,......... 451 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 455 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II.................................. 456 Приложение. Образцы вариантов, предлагавшихся в 1977 — 1979 гг. на письменных вступительных экзаменах по математике, ,,,,,,,, 464 Решения задач I раздела,,....,,.,.,,.......,,......... 474 Ответы к задачам II раздела и приложения, , . , ,.............. 574 Список формул ,.,.,..,,,.,.,,,.........,.,,,,,,,,,. 600 Цена книги: 150руб. |
||||