Среди функций, изучаемых в элементарной математике, тригонометрические функции выделяются своим геометрическим определением. Не останавливаясь на несущественных вариантах одной и той же идеи, можно сказать, что синус и косинус вводятся как координаты точки на единственной окружности; независимое переменное представляется как угол или дуга окружности.
В этой книге будет показано, как, отправляясь от других кривых — равнобочной гиперболы и лемнискаты Бернулли (кривая, имеющая форму восьмерки), можно ввести интересные и важные функции, родственные тригонометрическим, отчасти похожие на них, отчасти обладающие новыми замечательными свойствами. Эти функции называются соответственно гиперболическими и лемнискатическими. По аналогии мы будем называть здесь тригонометрические функции круговыми функциями.
Мы рассматриваем все эти функции как частные случаи обобщенного синуса — функции, обратной по отношению к интегралу вида:
/*________dz_________
X==J V~\+mz2 + nz* о
При этом круговой синус соответствует случаю т = —1, п = 0, гиперболический — случаю т = 1, п = О и лемнискати-ческий — случаю т = 0, п = —1. Если т= — 1 — ft2, п = k'2 (О < k < 1), то получаем в качестве функции, обратной интегралу, синус Якоби — функцию, к изучению которой приводит задача о математическом маятнике.
Чтобы изучить свойства всех этих функций единообразным путем, необходимо прежде всего определить их как функции
комплексного переменного, а затем установить теорему сложения. Мы следуем при этом пути, который еще в конце XVIII века проложил юный Гаусс в своем математическом дневнике.
От читателя книги требуется знакомство с элементами аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчисления примерно в объеме курса высшей технической школы. Необходимые сведения об интегрировании в комплексной плоскости разъясняются нами, но остаются без доказательства.
Конечная цель, которую ставит книга, — ознакомить читателя, не владеющего теорией функций комплексного переменного, с простейшими представителями класса эллиптических функций: лемнискатическими функциями и несколько более общими — эллиптическими функциями Якоби.
В заключение предупреждаем читателя, что книга эта не предназначается для легкого чтения. Читать ее нужно с карандашом в руке.
Автор
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................... 5
Глава I. Геометрическое определение круговых, гиперболических и лемнискатических функций 7
Глава II. Обобщенный синус............17
Глава III. Интегрирование в комплексной плоскости 28
Г л а в а IV. Метод Эйлера для вывода теоремы сложения ..................41
Глава V. Дальнейшее изучение комплексных значений ..................47
Глава VI. Нули и полюсы. Простая и двоякая периодичность. Понятие эллиптической функции 68
Цена: 50руб.
