Настоящая книга в действительности содержит 57, а не 50 задач. Некоторые задачи являются подготовительными; в силу различия вкусов часть задач может не показаться читателю интересной, наконец, семь задач скорее обсуждаются, чем решаются. Если у читателя не пропадет интерес, то пусть он попытается доказать последнее утверждение в решении задачи 48. Одна из задач служила предметом исследования многих выдающихся математиков. Может быть, кто-то из читателей даст окончательное решение этой задачи? Скорее всего, нет, но кто знает.
Большей частью своего математического образования я обязан решению различных задач. С годами мне все труднее становится отделить серьезные занятия от решения, казалось бы, «игрушечных» задач. Очень часто элементарные задачи оказывались чрезвычайно полезными при решении серьезных проблем.
Занимательность задачи — великое дело. Задача может быть занимательной по многим причинам: потому, что интересно содержание условия, потому, что интуитивно не понятен возможный ответ, потому, что она иллюстрирует важный принцип, потому, что задача обладает большой степенью общности, потому, что она трудна, потому, что в решении спрятана «изюминка» или просто потому, что ответ элегантен и прост.
В настоящей книге большинство задач не сложны, но есть и трудные. Лишь совсем немногие задачи требуют знания курса анализа, но и в этих случаях неподготовленный читатель все равно может понять постановку и ответ. Автора больше интересовала
занимательность задач, нежели их единый математический уровень. В некоторых случаях, когда для решения требуется формула, которую читатель, быть может, не знает наизусть или вообще не знает, она немедленно приводится. Формулы Стерлинга для факториалов (задача 18) и Эйлера для сумм гармонического ряда (задача 14) служат примерами такой ситуации.
Может быть, читатель, так же как и автор, будет удивлен тем обстоятельством, что числа я и е так часто возникают в вероятностных задачах.
Каждый, кто пишет о задачах на теоретико-вероятностные темы, обязан не только своей профессии математика, но и, возможно, В. Уитворту и его книге «Выбор и случай».
Одним из приятных качеств предисловий является то, что можно выразить свою благодарность друзьям, помогавшим при написании книги. Р. Рурке автор обязан самой идеей написания такой книги и помощью в терминологических вопросах. Мои старые друзья и советчики А. Глисон, Л. Сэвидж и Дж. Уильяме посоветовали добавить в текст новые задачи и некоторые обобщения уже имевшихся. Мне хотелось бы также поблагодарить К. Л. Чжуна, У. Кочрена, А. Демп-сте'ра, Б. Фридмана, Дж. Гаррати, Дж. Гилберта, Л. Гудмана, Т. Харриса, О. Хелмера, Дж. Ходжеса, Дж. Кемени, Т. Лерера, Дж. Маркума, Г. Райффа, Г. Скафа, Дж. Томаса, Дж. Тьюки, Л. Дубинса и Н. Ютца.
Читателю, интересующемуся элементарной теорией вероятностей, можно рекомендовать учебник Ф. Мо-стеллера, Р. Рурке и Дж. Томаса «Вероятность» («Мир», 1969).
Дальнейший материал содержится, например, в книге В. Феллера «Введение в теорию вероятностей и ее применения» (т. 1, «Мир», 1967 г.)
1964 Ф. Мостеллер
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................5
Условие Решение
'1. Ящик с носками..............
2. Последовательные выигрыши......
3. Легкомысленный член жюри . . . . . .
4. Испытания до первого успеха ...... 8
5. Монета в квадрате .......... 8 28
6. «Попытай счастья».......... 8 29
7. Переубеждение упрямого игрока..... S 31
8. Масть при игре в бридж........ 9 32
9. «Крэпс» .............. 34
'10. Эксперимент по психологии азартных игроков 9 37
Задачи без структуры (11 и 12)
11. Молчаливый союз.......... 10 37
12. Quo Vadis?............. 10 37
13. Дилемма узника........... 10 38
14. Выбор купонов............ 11 39
15. В театре.............. 11 40
16. Выйдет ли второй в финал?....... 11 41
17. Рыцари-близнецы .......... 12 41
18. Равновесие при бросании монет ...... 12 42
19. Задача Сэмуэля Пепайса........ 12 43
20. Трехсторонняя дуэль......... 12 .45
21. Выборка с возвращением или без возвращения? 13 46
22. Выборы .............. 13 47
23. Ничьи при бросании монеты...... 13 48
24. Странное метро........... 13 50
25. Длины случайных хорд........ 14 50
26. Нетерпеливые дуэлянты........ 14 51
27. Осторожный фальшивомонетчик..... 14 52
28. Жадный фальшивомонетчик...... 14
29. Заплесневевший желатин........ 15 54
30. Расчет булочника........... 15 55
Задачи о днях рождения (31, 32, 33, 34)
31. Парные дни рождения......... 15 56
32. В поисках парных дней рождения .... /5» 59
33. Соотношение между разными задачами о парных днях рождения.......... 15 60
34. Выходные дни и дни рождения..... 16
35. На краю утеса ,........... 16
36. Разорение игрока........... 16
37. Смелая игра и осторожная игра ..... 17 68
38. Толстая монета........... 17
39. Неуклюжий химик.......... П
40. Первый туз . ............ 18 75
41. Задача о поездах........... 18
42. Короткий кусок стержня........ 18
43. Сломанный стержень......... 18 78
44. Выигрыш в небезобидной игре ...... 18 81 ,
Задачи о совпадениях (45 и 46)
45. Среднее число совпадений ....... 19 83
46. Вероятности совпадений........ 20 84
47. Выбор наибольшего приданого ...... 20 89
48. Выбор наибольшего случайного числа ... 20
49. Удвоение точности.......... 20
50. Случайное квадратное уравнение .... 21. 98
Случайные блуждания в дву- и трехмерном пространстве (51 и 52)
51. Двумерное случайное блуждание..... 21 99
52. Трехмерное случайное блуждание .... 22 ЮЗ
53. Игла Бюффона............ 22 105
54. Игла Бюффона с вертикальными и горизонтальными прямыми.......... 22 106
55. Длинная игла............ 23 107
56. Две урны.............. 23 107
57. Распределение простых делителей 23 108
Цена: 50руб.
