Математика	Физика	Химия	Биология	Техника и технологии
	Дифференциальное и интегральное исчисление(Н.С Пускунов 2том)
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ В пятом издании полностью сохранен без изменений весь текст четвертого издания, но этот материал разделен на два тома (для удобства использования настоящего и предыдущих изданий учебника нумерация глав тоже оставлена без изменения). Содержание всего учебника определяется программами курса математики для втузов, рассчитанными на 300—450 часов. Учебник предназначается для изучения курса математики как в стационарных, так и в заочных втузах. Это учитывалось при изложении материала; в частности, с этой целью в учебнике разобрано много примеров, иллюстрирующих изложенный теоретический материал и дающих образцы решения задач. Первый том содержит материал, соответствующий программе 1-го курса втуза, за исключением главы XIII «Дифференциальные уравнения», которая, как правило, проходится на 2-м курсе. Но так как в некоторых втузах предварительные сведения о дифференциальных уравнениях, необходимые для последующих дисциплин, даются на 1-м курсе, то часть этой главы (§§ 1—28) и помещена в первом томе. Отметим, что материал, содержащийся в программе втузов, рассчитанный на число часов порядка 300, почти полностью содержится в первом томе (но в нем содержится и материал, выходящий за рамки этой программы). Второй том —конец главы XIII (§§ 29—34), главы XIV—XIX — содержит материал, соответствующий программе 2-го курса втуза. Первые две главы первого тома—«Число. Переменная. Функция» и «Предел. Непрерывность функции» написаны в пределах возможного кратко. Некоторые вопросы, обычно излагаемые в этих главах, без ущерба для дела перенесены в третью и последующие главы. Это дало возможность раньше перейти к основному понятию дифференциального исчисления — производной, что требуют другие дисциплины втузовского курса (целесообразность такого расположения материала подтверждается опытом работы). В связи с включением во втузовскую программу по высшей математике вопросов, необходимых для обеспечения курсом математики втузовских дисциплин, связанных с автоматикой и вычислительной техникой, в учебнике подробно изложены соответствующие разделы: «Численное интегрирование дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений»), «Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений», «Понятие о теории устойчивости Ляпунова», «Оператор Гамильтона», «Интеграл Фурье» и т. д. В главе XVIII рассмотрены основные уравнения математической физики. Обращено большое внимание на выяснение характера физических явлений, приводящих к уравнениям различных типов и соответствующим краевым задачам. Большое внимание уделено численным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных. В главе XIX излагаются основные понятия операционного исчисления и операционный метод решения дифференциальных уравнений. Это требуется для многих последующих дисциплин, и особенно электротехнических, В учебник включено большое количество задач и примеров для упражнений, многие из которых иллюстрируют связь математики с другими дисциплинами. Задачи и примеры специально подобраны по каждому разделу курса, что способствует усвоению излагаемого материала. Это обстоятельство также делает книгу удобной для самостоятельного изучения курса математики, в частности для студентов-заочников. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ .Действительные числа. Изображение действительных чисел, точками числовой оси ....................... II . Абсолютная величина действительного числа.......... 13 . Переменные и постоянные величины............... 14 . Область изменения переменной величины ............ 15 . Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины. Ограниченная переменная величина ... 16 . Функция............................ 17 . Способы задания функции.................... 18 . Основные элементарные функции. Элементарные функции .... 20 . Алгебраические функции .................... 24 . Полярная система координат.................. 26 ажнения к главе 1 ........................ 27 ГЛАВА II ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ . Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина ............................. 29 . Предел функции........................ 31 . Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции 35 . Бесконечно малые и их основные свойства........... 38 . Основные теоремы о пределах.................. 41 sin А: „ ._ . Предел функции----- при х--0................. 45 . Число е............................. 47 . Натуральные логарифмы.................... 51 . Непрерывность функций..................... 52 . Некоторые свойства непрерывных функций........... 55 . Сравнение бесконечно малых.................. 57 ажнения к главе II........................ 60 ГЛАВА III ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ . Скорость движения....................... 63 . Определение производной .................... 65 . Геометрическое значение производной .............. 67 . Дифференцируемость функций ...............'. . 68 § 5. Нахождение производных.от элементарных функции. Производная от функции у = х" при п целом и положительном........70 § 6. Производные от функций y = s\nx; !/ = cos.v...........72 § 7. Производные: постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного.................73 § 8. Производная логарифмической функции.............77 § 9. Производная от сложной функции............... 78 § 10. Производные функций y=\gx,, y = clgx, у = \п\х\........80 § 11. Неявная функция и ее дифференцирование...........82 § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции 84 § 13. Обратная функция и ее дифференцирование...........86 § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование . 90 § 15. Таблица основных формул дифференцирования.........93 § 16. Параметрическое задание функции...............94 § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме .... 96 § 18. Производная функции, заданной параметрически........99 § 19. Гиперболические функции.................. . 100 § 20. Дифференциал.........................103 § 21. Геометрическое значение дифференциала ............107 § 22. Производные различных порядков...............103 § 23. Дифференциалы различных порядков..............ПО § 24. Производные различных порядков от неявных функций и функций, заданных параметрически...................111 § 25. Механическое значение второй производной...........113 § 26. Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали ............................115 § 27. Геометрическое значение производной радиуса-вектора по полярному углу...........................117 Упражнения к главе III....................... 118 ГЛАВА IV НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ § 1. Теорема о Корнях производной (теорема Ролля).........127 § 2. Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)......129 § 3. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши) 130 § 4. Предел отношения двух бесконечно малых величин ( «Раскрытие неопределенностей вида -^-» j................. 131 § 5. Предел отношения двух бесконечно больших величин («Раскрыло \ тие неопределенностей вида —» )................134 § 6. Формула Тейлора........................139 § 7. Разложение по формуле Тейлора функций ех, sin, cos я.....142 Упражнения к главе IV . ......................145 ГЛАВА V ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 1. Постановка задачи.......................148 § 2. Возрастание и убывание функции................149 § 3. Максимум и минимум функций.................151 § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной............ 157 § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной.......................... 159 § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . , . . . 163 § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач.............................. 164 § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора .......................... 165 $ 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба ....... 168 $ 10. Асимптоты........................... 174 § 11. Общий план исследования функций и построения графиков . . . 179 <) 12. Исследование кривых, заданных параметрически......... 183 Упражнения к главе V.......................187 ГЛАВА VI КРИВИЗНА КРИВОЙ (j I. Длина дуги и ее производная..................192 Вычисление кривизны ,.....................193 Вычисление кривизны линии, заданной параметрически......198 () Г>. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах ...........................199 г\| С. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента 200 • 7. Свойства эволюты........................205 } N. Приближенное вычисление действительных корней уравнения . . . 208 У/11>ч мнения к главе VI.......................212 ГЛАВА VII КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ Комплексные числа. Исходные определения...........215 Основные действия над комплексными числами.........217 Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа ...................... 219 Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства 222 Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа . . . 224 Разложение многочлена на множители.............225 с кратных корнях многочлена .................229 Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней 230 Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа .... 231 О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебы-шсва.............................. 233 I.чтения к главе VII.......................235 ГЛАВА VIII ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Определение функции нескольких переменных..........235 L Геометрическое изображение функции двух переменных.....239 Ч.четное и полное приращение функции.............240 I, Непрерывность функции нескольких переменных.........241 Ч.ичпие производные функции нескольких переменных......244 § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных..........................245 § 7. Полное приращение и полный дифференциал.......... 246 § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях 249 § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях 250 § 10. Производная сложной функции. Полная производная......254 § 11. Производная от функции, заданной неявно...........256 § 12. Частные производные различных порядков...........259 § 13. Поверхности уровня......................262 § 14. Производная по направлению..................264 § 15. Градиент............................266 § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных........269 § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных.....271 § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) .... 279 § 19. Особые точки кривой.....................284 Упражнения к главе V1I1.......................288 ГЛАВА IX ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве............... . 292 § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости 295 § 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) . . . 300 § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль....................302 § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение.......308 § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.........313 Упражнения к главе IX.......................317 ГЛАВА х НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл...........319 § 2. Таблица интегралов......................322 § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла.........323 § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки .............................325 § Б. Интеграпы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен .............................328 § 6. Интегрирование по частям...................331 § 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование ..........................334 § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие.........338 § 9. Интегрирование рациональных дробей .............341 § 10. Способ Остроградского.....................344 § 11. Интегралы от иррациональных функций............347 § 12. Интегралы вида \ R (х, У~ахг + Ьх + с) ах............348 § 13. Интегрирование дифференциальных биномов...........351 § 14. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций 354 § 15. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок................359 § 16. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции........................360 Упражнения к главе X .......................361 ГЛАВА XI ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы , . 370 ^ 2. Определенный интеграл.................... 372 3. Основные свойства определенного интеграла .......... 378 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона—Лейбница 382 5. Замена переменной в определенном интеграле.......... 386 6. Интегрирование по частям................... 387 § 7. Несобственные интегралы ................... 390 § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов...... 397 § 9. Формула Чебышева...................... 403 § 10. Интегралы, зависящие от параметра.............. 408 Упражнения к главе XI.......................411 ГЛАВА XII ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ^ 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах.......415 (j 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах .... 418 tj 3. Длина дуги кривой.......................419 § 4. Вычисление объема тела по площади параллельных сечений . . . 424 $ 5. Объем тела вращения.......................426 (J (5. Поверхность тела вращения ...................426 () 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла.....428 (J 8. Координаты центра тяжести ...................429 Упражнения к гласе XII .......................433 ГЛАВА XIII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ () 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии . . 439 () 'Л Определения ...........• ..............442 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) . 443 . Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия.........................443 •г>. Однородные уравнения первого порядка.............452 • !'. Уравнения, приводящиеся к однородным ............454 .. Линейные уравнения первого порядка.............. 457 Уравнение Бернулли .....................460 !>. Уравнение в полных дифференциалах .............462 \| Id. Интегрирующий множитель...................465 Огибающая семейства кривых.................467 Особые решения дифференциального уравнения первого порядка 473 Уравнение Клеро.......................475 Уравнение Лагранжа......................477 ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1. Общие замечания (260). 2. Интегралы от показательных и логарифмических функций (261). 3. Интегрирование тригонометрических функций (264). 4. Интегралы от обратных тригонометрических функций (270). 5. Примеры функций, не интегрируемых элементарно (272). Задачи (273), ГЛАВА XVI ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1. Определение определенного интеграла (275). 1а. Примеры (278). 2. Некоторые свойства определенных интегралов (280). 3. Интегрируемость непрерывной функции (282). 4. Достаточные условия интегрируемости (285). 5. Разбиение интервала интегрирования (286). 6. Пределы интегрирования (287). 7. Некоторые неравенства для определенных интегралов (288). 8. Функция верхнего (нижнего) предела интеграла (292). 9. Определенный интеграл и первообразная функция (294). 10. Интегральная теорема о среднем для непрерывных функций (297). Задачи (299). ГЛАВА XVII ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ 1. Замена переменных в определенных интегралах (301). Задачи (304). 2. Интегрирование по частям (304). 3. Интегрирование последовательностей и рядов (305). 4. Интегрирование степенных рядов (308). 5. Интегрирование и дифференцирование по параметру (311). Задачи (316). ГЛАВА XVIII НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1. Интеграл неограниченной функции (319). 2. Интегралы в бесконечном интервале (320). 3. Признаки существования несобственного интеграла (321). 4. Применение к рядам (326). 5. Равномерно сходящиеся несобственные интегралы (328). Задачи (337). ГЛАВА XIX ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1. Вычисление площади (340). Задачи (341). 2. Вычисление длины дуги (342). Задачи (346). 3. Объем тела вращения (347). Задачи (348). 4. Площадь поверхности вращения (349). Задачи (351). ГЛАВА хх ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ 1. Определение двойного интеграла по прямоугольнику (353). 2. Достаточные условия интегрируемости (356). 3. Двойной интеграл как повторный (357). За. Некоторые свойства двойных интегралов по прямоугольнику (360). 4. Двойной интеграл по области (362). 5. Свойства двойного интеграла по области (365). 5а. Неравенства для двойных интегралов. Теорема о среднем (366). 6. Двойной интеграл по области как повторный (367). Задачи (373). КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I. Простая дуга (375). 2. Криволинейный интеграл по простой :!/6). 3. Криволинейный интеграл по произвольной кривой (380). Н. 1'лбота как криволинейный интеграл (383). 5. Замкнутая кривая (384). II Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (386). 1. Криволиней- in.h интегралы по замкнутым плоским кривым (387). 8. Теорема (фор- MV iii Грина (389). 9. Применения теоремы Грина (391). ГЛАВА XXII НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ I. Отображения (398). 2. Непрзрывные отображения. Взаимнооднозначные отображения (399). 3. Функциональный определитель (яко-Снкт) (400). Задачи (404). 4. Замена переменных в двойных интегра-Лях (-105). Задачи (411). ГЛАВА XXIII МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1. Тройной интеграл (413). 2. Многократный интеграл (414). 3. Усло-иия интегрируемости (415). 4. Многократный интеграл как повторным (415). 5. Многократный интеграл по области (416). 6. Многократный интеграл по области как повторный (417). Задачи (419). Предметный указатель........................420 § 15. Ортогональные и изогональные траектории...........479 § 16. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия) 483 § 17. Уравнение вида § 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка...........488 § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка ........................ 496 коэффициентами ..............,.........504 § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами ........................508 § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка......510 § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ........................514 § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков......520 § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний.....524 § 27. Свободные колебания......................526 § 28. Вынужденные колебания....................528 Упражнения к главе XIII.......................532 Приложение!..........................542 Приложение II .........................546 Предметный указатель........................549 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ В пятом издании полностью сохранен без изменений весь текст четвертого издания, но этот материал разделен на два тома (для удобства использования настоящего и предыдущих изданий учебника нумерация глав тоже оставлена без изменения). Содержание всего учебника определяется программами курса математики для втузов, рассчитанными на 300—450 часов. Учебник предназначается для изучения курса математики как в стационарных, так и в заочных втузах. Это учитывалось при изложении материала; в частности, с этой целью в учебнике разобрано много примеров, иллюстрирующих изложенный теоретический материал и дающих образцы решения задач. Первый том содержит материал, соответствующий программе 1-го курса втуза, за исключением главы Х111 «Дифференциальные уравнения», которая, как правило, проходится на 2-м курсе, Но так как в некоторых втузах предварительные сведения о дифференциальных уравнениях, необходимые для последующих дисциплин, даются на 1-м курсе, то часть этой главы (§§ 1—28) и помещена [И первом томе. Отметим, что материал, содержащийся в программе втузов, рас-[счнганный на число часов порядка 300, почти полностью содержится и первом томе (но в нем содержится и материал, выходящий за рамки этой программы). Игорей том —конец главы XIII (§§ 29—34), главы XIV—XIX — •кит материал, соответствующий программе 2-го курса втуза. Первые две главы первого тома—«Число. Переменная. Функция» И Предел. Непрерывность функции» написаны в пределах возмож-кратко. Некоторые вопросы, обычно излагаемые в этих главах, Be1 ущерба для дела перенесены в третью и последующие главы. и> дало возможность раньше перейти к основному понятию диф-рспциального исчисления — производной, что требуют другие дис-.'пг"' втузовского курса (целесообразность такого расположения Срнала подтверждается опытом работы). It связи с включением во втузовскую программу по выс-математике вопросов, необходимых для обеспечения курсом втузовских дисциплин, связанных с автоматикой . ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ вычислительной техникой, в учебнике подробно изложены соответствующие разделы: «Численное интегрирование дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений»), «Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений», «Понятие о теории устойчивости Ляпунова», «Оператор Гамильтона», «Интеграл Фурье» и т. д. В главе XVIII рассмотрены основные уравнения математической физики. Обращено большое внимание на выяснение характера физических явлений, приводящих к уравнениям различных типов и соответствующим краевым задачам. Большое внимание уделено численным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных. В главе XIX излагаются основные понятия операционного исчисления и операционный метод решения дифференциальных уравнений. Это требуется для многих последующих дисциплин, и особенно электротехнических, В учебник включено большое количество задач и примеров для упражнений, многие из которых иллюстрируют связь математики с другими дисциплинами. Задачи и примеры специально подобраны по каждому разделу курса, что способствует усвоению излагаемого материала. Это обстоятельство также делает книгу удобной для самостоятельного изучения курса математики, в частности для студентов-заочников. Шестое издание отличается от пятого только тем, что в конце 1-го тома дано приложение, где изложен важный для инженеров вопрос «Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов». Седьмое издание отличается от шестого только тем, что в конце 1-го тома дано приложение «Интерполяционная формула Ньютона. Численное дифференцирование». Автор ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к пятому изданию................... 7 ГЛАВА XIII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (окончание) § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений...... 9 § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ....................... 14 § 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова ........... 21 § 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.................... 27 § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора. Метод Адамса ............................ 29 § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка .................. 37 Упражнения к §§ 29—34 главы X.III................. 41 ГЛАВА XIV КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ . § I. Двойной интеграл....................... 44 § 2. Вычисление двойного интеграла................. 46 \| 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение)......... 52 § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов 58 I 5. Двойной интеграл в полярных координатах........... 61 > 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)..... 68 7. Вычисление площади поверхности............... 73 § 8. Плотность распределения вещества и двойной интеграл..... 76 i 9. Момент инерции площади плоской фигуры........... 78 § 10. Координаты центра тяжести площади плоской фигуры...... 82 § 11. Тройной интеграл....................... 84 § 12. Вычисление тройного интеграла ................ 85 § 13. Замена переменных в тройном интеграле............ 90 § 14. Момент инерции и координаты центра тяжести тела....... 94 § 15 Вычисление интегралов, зависящих от параметра........ 96 Упражнения к главе XIV .................»..... 97 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 1. Криволинейный интеграл....................\| § 2. Вычисление криволинейного интеграла.............106 § 3. Формула Грина........................112 § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования ..........................\|\| § 5. Поверхностный интеграл....................\|'9 § 6. Вычисление поверхностного интеграла .............1^1 § 7. Формула Стокса........................\|~> § 8. Формула Остроградского....................\|?° § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения........1 Упражнения к главе XV.......................•" ГЛАВА XVI РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда .......................141 § 2. Необходимый признак сходимости ряда.............144 § 3. Сравнение рядов с положительными членами..........147 § 4. Признак Даламбера......................149 § б. Признак Коши ........................152 .. ;§ 6. Интегральный признак сходимости ряда ............154 .'§ 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница..........Щ[ xj§ 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ... 160 ,§ 9. Функциональные ряды.....................163 ""§ 10. Мажорируемые ряды......................}«* § 11. Непрерывность суммы ряда...................1Ь7 § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов...........169 § 13. Степенные ряды. Интервал сходимости.............173 § 14. Дифференцирование степенных рядов..............177 § 15. Ряды по степеням х—а ....................179 § 16. Ряды Тейлора и Маклорена..................1°0 § 17. Примеры разложения функций в ряды.............ИГ § 18. Формула Эйлера........................} § 19. Биномиальный ряд.......................1 § 20. Разложение функции 1п(1+х) в степенной ряд. Вычисление логарифмов ............................1 § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов.....i § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 1 § 23. Уравнение Бесселя ......................193 Упражнения к главе XVI......................198 ГЛАВА XVII РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. Определение. Постановка задачи................206 § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье..........210 § 3. Одно замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье............................• 216 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций......... 218 § 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2/............. 219 § 6. О разложении в ряд Фурье непериодической функции ..... 221 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена ..................... 223 § 8. Интеграл Дирихле ...................... 223 '. Сходимость ряда Фурье в данной точке............. 230 § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье..... 232 11. Практический гармонический анализ.............. 235 12. Интеграл Фурье........................ 236 § 13. Интеграл Фурье в комплексной форме ............. 240 Упражнения к главе XVII......................242 ГЛАВА XVIII УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики .......244 § 2. Вывод уравнения колебаний струны Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах . . 245 § :1. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье)....................249 § 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи ..........................252 § 5. Распространение тепла в пространстве.............254 <} (i. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей..................257 6 7. Распространение тепла в неограниченном стержне........260 § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач .................264 (> 9, Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях....... . 269 § 10. Решение задачи Дирихле для круга..............271 § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей .....275 Упражнения к главе XVIII .....................277 ГЛАВА XIX ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение.............281 (> 'Л. Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного. Изображение функций sin at, cos at........284 I. Свойство линейности изображения...............285 5. Теорема смещения............ ..........286 <) О. Изображение функций е~", sh a/, chat, e~{sinat, e~a t) 7. Дифференцирование изображения ...............287 t. Изображение производных.................'. 289 tj '.). Таблица некоторых изображений..............' . 291 § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения , ОГЛАВЛЕНИЕ § 11. Теорема разложения......................296 § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом.........298 § 13. Теорема свертывания .....................300 § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей ...... 302 § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний.......303 § 16. Исследование свободных колебаний...............305 § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы..................305 § 18, Решение уравнения колебаний в случае резонанса.......307 § 19. Теорема запаздывания..................... 309 Упражнения к главе XIX......................310 Предметный указатель.............„•...........311 Цена книги: 300руб.
Назад	Заказ	На главную страницу