Стефан Банах — один из крупнейших математиков XX столетия. Настоящая книга была им задумана как пособие для первоначального ознакомления с предметом. Между тем автору удалось в книге небольшого объема мастерски осветить почти весь основной материал дифференциального исчисления, не отпугивая при этом читателя скрупулезной строгостью изложения.
Книга отличается простотой и лаконичностью изложения. Она содержит много удачно подобранных примеров, а также задач для самостоятельного решения. Рассчитана на студентов втузов (особенно заочных), пединститутов, а также на инженеров, которые пожелают освежить в памяти основные факты дифференциального и интегрального исчисления.
Во втором издании, вышедшем в 1966 г., в книгу было внесено небольшое число добавлений и были исправлены некоторые места текста. Это приблизило книгу к уровню современных учебников по математическому анализу и сделало возможным использование ее во втузах.
В настоящем третьем издании исправлены лишь замеченные опечатки.
Первое издание перевода книги Стефана Банаха вышло в 1958 году. В этом переводе были исправлены лишь явные опечатки, вкравшиеся в польский оригинал. За истекшие годы книга использовалась в ряде втузов в качестве учебного пособия по математическому анализу. При этом выявилась необходимость внесения в книгу некоторых исправлений и дополнений, что и было сделано при подготовке второго издания.
В книгу было включено несколько новых пунктов, содержание некоторых пунктов подверглось существенной переработке. И те и другие отмечены звездочкой. Более мелкие вставки заключены в квадратные скобки. В формулировках ряда теорем сняты излишние ограничения. Всю переработку книги ко второму изданию осуществил И. С. Аршон.
Настоящее третье издание ничем не отличается от второго, исправлены лишь замеченные опечатки.
С. Зуховицкий
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Предлагаемая книга предназначена для первоначального изучения дифференциального и интегрального исчисления. Ознакомление с нею даст возможность читателю приступить к изучению более обширных руководств.
Мы старались сообщить важнейшие теоремы и, по возможности, их доказательства. Однако доказательства некоторых теорем в книге опущены, так как, на наш взгляд, они слишком трудны для усвоения при первоначальном изучении.
Читателю необходимо перерешать возможно большее число задач. В нашей книге из-за недостатка места мы смогли поместить лишь немного задач для самостоятельного решения.
Считаем приятным долгом выразить благодарность X. Авербаху за помощь, которую он оказал нам при работе над этой книгой.
Львов, 30 января 1929 г. Стефан Банах
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ................ ••..... 10
Предисловие автора ......................... 10
Введение.............................. 11
ТОМ ПЕРВЫЙ
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Понятие последовательности..................... 13
I. Определение последовательности (13). 2. Монотонные последовательности (14). 3. Ограниченные последовательности (15). 4. Действия над последовательностями (15). Задачи (16).
Интуитивное понятие предела последовательности .......... 16
5. Предел монотонной последовательности (16). 6. Общее определение предела последовательности (17). 7. Частный признак сходимости (17). 8. Действия над сходящимися последовательностями (18). 9. Последовательности, расходящиеся к ± оо (18). 10. Теоремы о последо-, вательностях, расходящихся к ± оо (19). Задачи (20).
Строгое определение предела последовательности .......... 20
II. Отрезки последовательности (20). 12. Последовательности, отличающиеся лишь порядком членов (21). 13. Понятие приближения (21). 14. Определение предела (22). Задачи (25).
Теоремы о пределах последовательностей ..... ......... 25
15. Сходимость последовательностей с равными членами (25). 16. Независимость предела от порядка членов (25). 17. Сходимость подпоследовательностей (26). 18. Предел последовательности с неотрицательными членами (27). 19. Предел суммы и разности последовательностей (27). 20. Предел произведения последовательностей (29). 21. Предел произведения последовательности на число (30). 22. Предел частного двух ЕоеЛедовательностей (30). 22а. Предельный переход в неравенстве (32). аДЙи (32).
Признаки сходимости........................ 32
23. Сходимость монотонных ограниченных последовательностей (32). 24. Условие Коши (32). 25. Ограниченность сходящихся последовательностей (33). 26. Теорема о пределе промежуточной переменной (34). Задачи (35).
Вычисление некоторых пределов. Число е.............. 36
27. Вычисление некоторых пределов (36). 28. Число е = 2,71828... (38).
ГЛАВА II
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Примеры функций. Понятие функции (43). 2. Обозначения (43). 3. Точное определение понятия функции (44). 4. Различные способы задания функций (44). 5. Способы представления функций. Таблицы (44). 6. Графики (46). Задачи (47). 7. Ограниченные функции. Монотонные функции (47).
ГЛАВА III
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Определение и свойства пределов .................. 48
1. Определение предела функции (48). 2. Условие существования предела (49). 2а. Теоремы о пределах функций (52). 3. Действия над пределами (54).
Односторонние и несобственные пределы.
Вычисление некоторых пределов................... 55
4. Односторонний предел (55). 5. Несобственные пределы (57). 6. Вычисление некоторых пределов (59). Задачи (62).
ГЛАВА IV
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Определение и свойства непрерывных функций............ 63
1. Определение (63). 2. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции (64). 3. Геометрическая интерпретация (64). 4. Теорема о сохранении знака для непрерывной функции (65). 5. Действия над непрерывными функциями (65).
Равномерная непрерывность..................... 65
6. Определение (65). 7. Геометрическая интерпретация (65).
8. Непрерывность равномерно непрерывной функции (66). Задачи (68).
9. Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом интервале (68).
Сложные функции.......................... 69
10. Определение (69). 11. Непрерывность сложной функции (70). Обратные функции.......................... 70
12. Определение (70). 13. Геометрическая интерпретация (71). 14. Непрерывность обратной функции (71).
Непрерывность и графики элементарных функций.......... 72
15. Степенная функция у = х" (72). 16. Показательная функция у = ах (73). 17. Логарифмическая функция y = logax (74). 18. Тригонометрические функции (74). 19. Обратные тригонометрические функции (76).
ГЛАВА V
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Определение и смысл производной.................. 79
1. Определение производной (79). 2. Односторонние производные (81). 3. Существование производной и непрерывность (81). 4. Производная как функция (81). 5. Интерпретация производной в геометрии и -физике (82). 6. Непрерывные функции, не имеющие производной в данной точке (примеры) (83).
'еоремы о производной....................... 84
7. Производная постоянной функции (84). 8. Производная степенной нкции (84). 9. Производная произведения постоянной на функцию (85). .
4». Производная суммы, произведения, частного (85). Задачи (88).
^Производная сложной функции (88). 12. Производная обратной функ-
Щщфференциал функции....................... 91
ж-р? 13. Дифференцируемые функции. Определение дифференциала (91). Р f3a. Производная сложной функции (92). 14. Инвариантность формы ||' первого дифференциала (93). 15. Дифференциал суммы, произведения и Е' Местного (94). 16. Геометрическая интерпретация дифференциала (95).
Ц'Йроизводные элементарных функций................. 95
I? 17. Производная степенной функции (95). Задачи (97). 18. Произ-JS водная логарифмической функции (98). Задачи (99). 19. Производная -? доказательной функции (99). Задачи (100). 20. Производные тригономе-I*; трических функций (100). Задачи (102). 21. Производные обратных три-У тонометрических функций (102). Задачи (105). 22. Логарифмическая &; производная (105). Задачи (106).
И Производные и дифференциалы высших порядков..........106
!}:. 23. Производные высших порядков (106). Задачи (107). 24. Формула /-Лейбница (108). Задачи (110). 25. Параметрическое представление функ-U дай (ПО). Задачи (112). 26. Дифференциалы высших порядков (112). ®:-Задачи (116).
Г;'..;( "
р ГЛАВА VI
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ. i ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
;<.'"••". 1. Теорема о среднем значении (119). 2. Теорема Ролля (120). ,;. 3. Доказательство теоремы Ролля (120). 4. Доказательство теоремы » о среднем значении (121). 5. Следствия из теоремы о среднем значе-f нии (122). 6. Формула Тейлора (122). 7. Доказательство формулы Тей-f: лора (123). Задачи (127). 8. Выпуклость (128).
$ ГЛАВА VII
У v МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ; ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.
?;.*- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
»Л; Экстремум. Точки перегиба.....................130
; ; 1. .Определение экстремума (130). 2. Необходимое условие суще-гЦгСтвования экстремума (131). 3. Достаточные условия существования v: экстремума (133). 4. Более общее достаточное условие (134). 5. Точки С Перегиба (137). 6. Экстремумы функций, заданных параметрически (138). :,#; Задачи (140).
•;: Неопределенные выражения (раскрытие неопределенностей).....140
feif 7. Неопределенности вида —, — (140). 8. Неопределенности вида 0 • оо, ffroo^oo, 1°°, 00°, 0" (143). Задачи (145).
РЯДЫ
Ряды с постоянными членами....................146
1. Определение ряда. Сходящиеся ряды (146). 2. Предел сходящейся последовательности как сумма ряда (147). 3. Необходимое условие сходимости (148). 4. Ограниченные ряды (149). 5. Абсолютно сходящиеся ряды (150). 6. Независимость суммы ряда от порядка членов (151). 7. Условно сходящиеся ряды (153). 8. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Теорема Лейбница (153).
Признаки сходимости........................155
9. Сравнение рядов (155). 9а. Признак сравнения в предельной форме (156). 10. Признак Коши (157). 11. Признак Даламбера (159).
Последовательности и ряды функций.................161
12. Определение сходимости функциональной последовательности (161). 13. Равномерная сходимость (163). 14. Действия над равномерно сходящимися функциональными последовательностями. Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости (164). 15. Достаточное условие непрерывности предельной функции (165). 16. Равномерная сходимость рядов (166). 17. Абсолютная и равномерная сходимость функциональных рядов (167). 18. Дифференцирование последовательностей и рядов (168). 19. Степенные ряды (170). 20. Радиус сходимости степенного ряда (171). 21. Непрерывность суммы степенного ряда (172). 22. Вычисление радиуса сходимости (172). 23. Дифференцирование степенных рядов (173). 24. Ряд Тейлора (174). Задачи (179).
ГЛАВА IX
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Понятие функции двух переменных .................180
1. Плоские множества. Области (180). 2. Граничные точки. Замкнутые области (180). 3. Области, задаваемые неравенствами (181). Задачи (181). 4. Функции двух переменных (181). 5. Геометрическая интерпретация функции двух переменных (182). 6. Линии уровня (183). Задачи (184).
Предел и непрерывность функции..................184
7. Определение предела (184). 8. Теоремы о пределах (185). 9. Непрерывность. Равномерная непрерывность (185).
Частные производные........................187
10. Определение частных производных (187). 11. Частные производные второго порядка (188). 17. Теорема об изменении порядка дифференцирования (189). Задачи (190). 13. Частные производные высших порядков (190). 14. Сложная функция (191). 15. Частные производные сложных функций (191). Задачи (193).
Неявные функции..........................193
16. Определение неявной функции (193). 17. Теорема существования неявной функции (194). 18. Производная неявной функции (195). 19. Максимумы и минимумы неявных функций (197). Задачи (198).
ГЛАВА X
ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Формула и ряд Тейлора функции двух переменных.........19<
1. Формула Тейлора (199). 2. Ряды Тейлора и Маклорена (201). Максимумы и минимумы функций двух переменных.........20'
3. Определение экстремума (202). 4. Необходимые условия существования экстремума (202). 5. Достаточное условие существования вкстремума (203). Задачи (206). Дифференциал функции двух переменных..............20'
6. Дифференцируемые функции двух переменных. Определение дифференциала (207). 7. Дифференциал сложной функции (208). 8. Применение к функциям одной переменной (209). 9. Случай, когда одна из переменных является функцией другой (209). 10. Частные дифференциалы (210). 11. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала (210). Задачи (211). 12. Дифференциалы высших порядков (212). Задачи (213).
ГЛАВА XI
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Области (214). 2. Функции многих переменных (215). 3. Предел. Непрерывность (215). 4. Частные производные (215). 5. Формула и ряд Тейлора (216).
ТОМ ВТОРОЙ
ГЛАВА XII
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1. Первообразная функция (217). 2. Основные формулы (218). 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла (219). 4. Интегрирование подстановкой (220). 5. Интегрирование по частям (223). 6. Интегралы от элементарных функций (224). 7. Формулы приведения (227). Задачи (230).
ГЛАВА XIII
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Разложение многочлена на множители (232). 2. Разложение рациональной функции на элементарные (простейшие) дроби (233). 3. Интегралы от рациональных функций (238). Задачи (239).
ГЛАВА XIV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Интегрирование простейших иррациональностей (242). 2. Биномиальные интегралы (243). 3. Интегрирование рациональных функций $(*• У) (244). 4. Некоторые частные случаи интегралов от рациональной функции R (х, у) (у = У ах2 + Ьх + с ) (247). 5. Замечания о преобразовании интеграла | R (х, у) dx (253). Задачи (258).
ГЛАВА XV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Общие замечания (260). 2. Интегралы от показательных и логарифмических функций (261). 3. Интегрирование тригонометрических функций (264). 4. Интегралы от обратных тригонометрических функций (270). 5. Примеры функций, не интегрируемых элементарно (272). Задачи (273). ...
ГЛАВА XVI
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Определение определенного интеграла (275). 1а. Примеры (278). 2. Некоторые свойства определенных интегралов (280). 3. Интегрируемость непрерывной функции (282). 4. Достаточные условия интегрируемости (285). 5. Разбиение интервала интегрирования (286). 6. Пределы интегрирования (287). 7. Некоторые неравенства для определенных интегралов (288). 8. Функция верхнего (нижнего) предела интеграла (292). 9. Определенный интеграл и первообразная функция (294). 10. Интегральная теорема о среднем для непрерывных функций (297). Задачи (299).
ГЛАВА XVII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
1. Замена переменных в определенных интегралах (301). Задачи (304). 2. Интегрирование по частям (304). 3. Интегрирование последовательностей и рядов (305). 4. Интегрирование степенных рядов (308). 5. Интегрирование и дифференцирование по параметру (311). Задачи (316).
ГЛАВА XVIII
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Интеграл неограниченной функции (319). 2. Интегралы в бесконечном интервале (320). 3. Признаки существования несобственного интеграла (321). 4. Применение к рядам (326). 5. Равномерно сходящиеся несобственные интегралы (328). Задачи (337).
ГЛАВА XIX
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1. Вычисление площади (340). Задачи (341). 2. Вычисление длины дуги (342). Задачи (346). 3. Объем тела вращения (347). Задачи (348). 4. Площадь поверхности вращения (349). Задачи (351).
ГЛАВА XX
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
1. Определение двойного интеграла по прямоугольнику (353). 2. Достаточные условия интегрируемости (356). 3. Двойной интеграл как повторный (357). За. Некоторые свойства двойных интегралов по прямоугольнику (360). 4. Двойной интеграл по области (362). 5. Свойства двойного интеграла по области (365). 5а. Неравенства для двойных интегралов. Теорема о среднем (366). 6. Двойной интеграл по области как повторный (367). Задачи (373).
ГЛАВА XXI
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Простая дуга (375). 2. Криволинейный интеграл по простой "*' 1761 3 Криволинейный интеграл по произвольной кривой (380).
'УГрина (389). 9. Применения теоремы Грина (391).
ГЛАВА XXII
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
^Отображения (398). 2. Непргрывные отображения. Взаимноодноз-отображения (399). 3. Функциональный определитель (яко-Ц?Г (400) Задачи (404). 4. Замена переменных в двойных интегра-р;|405).. Задачи (411).
ГЛАВА XXIII МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
if! Тройной интеграл (413). 2. Многократный интеграл (414). 3. Усло-!*'4"интегрируемости (415). 4. Многократный интеграл как повтор-t Ш5). 5. Многократный интеграл по области (416). 6. Много-:ТИЫЙ интеграл по области как повторный (417). Задачи (419).
тный указатель........................42°
Цена книги: 150руб.
