Данный курс составлен в точном соответствии с разделом «Ряды» программы по высшей математике для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Поэтому его можно использовать не только как пособие для слушателей курса лекций, но и при самостоятельной работе над предметом.
Основной опасностью при изучении теории рядов автор считает вульгарное представление о ряде как о «сумме бесконечного числа слагаемых». Поэтому он принял против него все возможные профилактические меры, жертвуя иногда ради строгости наглядностью изложения.
Напротив, в согласии с обычной практикой прохождения курса теории рядов, обоснование интегральной формулы Фурье проводится при помощи нестрогих, правдоподобных («эвристических») рассуждений, а доказательства теоремы о дифференцировании степенных рядов в комплексной области и теоремы Дирихле о разложении в ряд Фурье опущены вовсе. Уравнение свободных малых колебаний струны с закрепленными концами и его решение методом Фурье, относимые некоторыми вариантами учебных программ к разделу «Ряды», выделены в самостоятельную главу.
Некоторым отклонением от традиции является глава 1, в которой на примере геометрических прогрессий демонстрируются практически все идеи курса
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................... 7
Глава 1. Прогрессии.......,.............. 9
§ 1. Введение ........................ 9
§ 2. Геометрические прогрессии ............. 11
§ 3. Бесконечные прогрессии; их сходимость и расходимость ........................ 12
§ 4. Функциональные прогрессии; область • сходимости;
равномерная сходимость ............... 14
§ 5. Почленное интегрирование прогрессий....... 16
§ 6. Почленное дифференцирование прогрессий..... 18
§ 7. Прогрессии с комплексными членами........ 20
Глава 2. Числовые ряды. Основные понятия. Основные
теоремы о сходимости................ 24
§ 1. Сложение и его свойства............... 24
§ 2. Определение числового ряда и его сходимости ... 25
§ 3. Остаток ряда ..................... 28
§ 4. Принцип сходимости Коши.............. 29
§ 5. Критерий Коши сходимости рядов......... 32
§ 6. Необходимый признак сходимости ряда...... 33
§ 7. Желательность систематической теории ....... 34
§ 8. Свойства сходящих рядов, подобные свойствам сумм 35
§ 9. Дальнейшие свойства рядов............. 43
Глава 3. Ряды с положительными членами........ 46
§ 1. Признаки сходимости рядов............, 46
§ 2. Признаки сравнения................. 47
§ 3. Интегральный признак сходимости Маклорена —
Коши.............'............. 54
§ 4. Применение интегрального признака сходимости 56 1*
Глава 9. Ряды Фурье.................... 159
§ 1. Ряды и коэффициенты Фурье............ 159
§ 2. Условия Дирихле и теорема о разложении функции
в ряд Фурье..................... 162
§ 3. Разложение периодических функций в ряд Фурье 163 § 4. Физическое истолкование разложения функции в
тригонометрический ряд Фурье........... 165
§ 5. Разложение функции / (х)=х........... 166
§ 6. Сдвиг сегмента разложения............. 168
§ 7. Изменение длины сегмента разложения...... 171
§ 8. Четные и нечетные функции............ 173
§ 9. Разложение четной функции в ряд Фурье .... 174
§ 10. Разложение нечетной функции в ряд Фурье . . . 174
§11. Разложение в ряд Фурье функций на сегменте [0, л] 175
§ 12. Комплексная форма записи ряда Фурье...... 177
§ 13. Разложение в комплексный ряд Фурье...... 179
Глава 10. Уравнение свободных малых колебаний струны
с закрепленными концами.............. 181
§ 1. Уравнение свободных малых колебаний струны 181
§ 2. Начальные и граничные условия.......... 183
§ 3. Метод разделения переменных............ 184
§ 4. Использование граничных условий. Собственные
функции и собственные значения......... . 186
§ 5. Использование начальных условий......... 187
Глава 11. Интеграл Фурье................. 191
§ 1. Представление функций интегралом Фурье..... 191
§ 2. Простейшие достаточные условия представимости
функции интегралом Фурье ............. 193
§ 3. Интеграл Фурье для четных функций....... 197
§ 4. Интеграл Фурье для нечетных функций...... 199
§ 5. Комплексная форма интеграла Фурье........ 201
§ 6. Понятие о преобразовании Фурье.......... 204
§ 7. Косинус-преобразование Фурье........... 205
§ 8. Синус-преобразование Фурье............. 206
§ 9. Спектральная функция................ 207
Цена: 100руб.
