ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга называется «По следам Пифагора» в честь великого математика, творца математической школы древней Греции.
Пифагор родился на острове Самос приблизительно в 580 году до нашей эры. Большое влияние на развитие Пифаюра оказало его пребывание в Египте.
В период своего наивысшего творческого расцвета Пифагор жил в Кротоне — греческой колонии па юге Италии. Здесь и возникла пифагорейская школа, которая сыграла большую роль в развитии греческой математики.
Пифагор считал, что в основе всего мироздания лежит число (сейчас мы бы сказали: натуральное число). Интерес Пифагора и его школы к свойствам чисел стал источником позднейшей теории чисел. Память об этом сохранена в названии таблицы Пифагора.
Пифагор искал числовые отношения в геометрических построениях. Ему был иавестен так называемый египетский треугольник со сторонами, выраженными числами 3, 4 и 5. Египтяне знали, чм это прямоугольный треугольник, и употребляли его для определения прямых углов при восстановлении размываемых ежегодными разливами Нила границ земельных участков.
Пифагор показал нам зависимость между сторонами египетского треугольника, которая выражается формулой: 3* 4- 42 = 5а. Занимаясь поисками треугольников, стороны которых а, Ь, с удовлет-
1* ' 3
воряли бы условию: а* + Ьг = с2, Пифагор нашел формулы, которые в современной символике могут быть выражены так:
а = 2п + 1; Ъ = 2п (п + 1); с = 2п* + 2п + 1,
где л означает произвольное целое число. Оказалось, что всякий треугольник с такими сторонами является прямоугольным треугольником.
Теперь прямоугольные треугольники со сторонами, выраженными натуральными числами, мы называем пифагорейскими треугольниками.
Пифагору приписывается открытие теоремы, согласно которой квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенных на его катетах. Это так называемая теорема Пифагора.
Вначале считали, что стороны каждого прямоугольного треугольника можно выразить такими натуральными числами а, Ь, с, которые будут удовлетворять формуле а* + 6а = с*. Дальнейшие исследования математиков пифагорейской школы показали, что это не так.
Например, равнобедренный прямоугольный треугольник (составляющий половину квадрата) не является пифагорейским треугольником, потому что нельзя найти такие три натуральных числа а, Ь, с, которые удовлетворяли бы условию
а* + а2 = сг, или 2а* = с2.
Для пифагорейцев это было ужасным открытием: вера в то, что все явления во Вселенной можно объяснить с помощью натуральных чисел, была подорвана.
Открытие, что мир чисел противоположен миру геометрических построений, произвело такое большое впечатление, что сторонники пифагорейской школы сохраняли это открытие в тайне и в дальнейших работах геометрические исследования всячески отделяли от арифметических. Это сильно тормозило развитие греческой арифметики, но в то же время способствовало быстрому развитию геометрии.
Странными путями шло развитие отдельных отраслей точных наук в древней Греции.
Геометрия, развитие которой неразрывно связано с великими именами Евклида, Архимеда, Аполлония (IV, III и II века до н. э.), первой достигает большого совершенства. Затем, уже во II веке на-ШРЙ эры, благодаря великим успехам Птолемея наступил расцвет астрономии. Наконец, в конце III века, Диофант закладывает основы систематизированной арифметики.
После трех корифеев науки: Евклида, Птолемея, Диофанта—остались фундаментальные труды: «Начала», «Альмагест», «Арифметика», каждый из которых делится на тринадцать книг.
Однако у источника этого великого потока мысли леясат исследования Пифагора. Чтобы воздать должное его заслугам, эту книгу по занимательной математике мы назвали «По следам Пифагора».
Инж. Щ. Еленьский
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................ 3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
I. Математические анекдоты и анекдотические задачи..... 7
II. Интересные свойства чисел и математических действий 70
III. Магические фигуры........................ 124
IV. «Псевдария»............................. 158
V. Отгадывания.............................. 184
VI. Из тайников шахматной доски и домино..........203
VII. Математические игры, развлечения, головоломки, фокусы, шутки.............................. 218
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
I. Пифагориана..............................252
И. Календарь................................280
III. Числа-великаны и числа-лилипуты...............295
IV. Интересные свойства чисел и математических действий 303
V. Математика в живой природе...................353
VI. Загадки и отгадки.........................371
VII. Геометрия гнутого листа, ленты и.паркетной плитки 390
VIII. Счеты.................................412
485
IX. Большие и малые исторические проблемы......... 432
X. Игры, развлечения, головоломки............... 459
Ответы.................................. 479
Словарь.................................. 480
Цена: 300руб.