Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.— (Б-ка мат. кружка).— 288 с.— ISBN 5-02-013921-1. ;
Содержит около 560 задач, снабженных подробными решениями, и 60 задач для самостоятельной работы. Большинство •" задач по своей тематике близки к школьной программе. Зада- | чи разбиты на циклы, связанные общей идеей решения. Внут- S ри каждого цикла задачи расположены в порядке возрастания • трудности. Такое разбиение поможет читателю ориентировать- ,1 ся в наборе задач и даст ему возможность разобраться непо- ..$ средственно в заинтересовавшей его теме, не читая подряд "JI всю книгу. 1
Для школьников, преподавателей, студентов педагогиче- т ских институтов. У
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......... . . . 7
Знакомство со стереометрией ........ 9
Решения............. И
Глава 1. Прямые и плоскости в пространстве .... 18 § 1. Углы и расстояния между скрещивающимися
прямыми............ 18
§ 2. Углы между прямыми и плоскостями .... 18 § 3. Прямые, образующие равные углы с прямыми в
плоскостями........... 19
§ 4. Скрещивающиеся прямые....... 20
§ 5. Теорема Пифагора в пространстве..... 20
§ 6. Метод координат.......... 21
Задачи для самостоятельного решепия ..... 21
Решения ............. 22
Глава 2. Проекции, сечения, развертки......31
§ 1. Вспомогательные проекции....... 31
§ 2. Теорема о трех перпендикулярах . . . . . 32
§ 3. Площадь проекции многоугольника / . . . 32
§ 4. Задачи о проекциях......... 33
§ 5. Сечения............ 33
§ 6. Развертки............ 34
Задачи для самостоятельного решения..... 34
Решения............. 35
Глава 3. Объем............ 45
§ 1. Формулы для объема тетраэдра и пирамиды 45 § 2. Формулы для объема многогранников и круглых
тел.............. 45
§ 3. Свойства объема.......... 46
§ 4. Вычисление объема......... 47
§ 5. Вспомогательный объем ........ 49
Задачи для самостоятельного решения..... 60
Решения............. 61
Глава 4. Сферы ............62
§ 1. Длина общей касательной....... 62
§ 2. Касательные к сферам........ 62
1* 3
§ 3. Две пересекающиеся окружности лежат ца одной
сфере.............
S 4. Разные задачи . ..,-,-...... 6
§ 5. Площадь сферической полоски и объем шарового
сегмента............ ft
§ 6. Радикальная плоскость........ 6
§ 7. Сферическая геометрия и телесные углы ... 6'
Задачи для самостоятельного решения.....
Решения.............•
Глава 5. Трехгранные а многогранные углы. Теоремы Чевы и Менелая для трехгранных углов ....
§ 1. Полярный трехгранный угол . . . . . . 82J
§ 2. Неравенства с трехгранными углами .... 82"
§ 3. Теоремы синусов и косинусов для трехгранных
углов....... . . . . ... 82
§ 4. Разные задачи........ . 83
§ 5. Многогранные углы......... 84
§ 6. Теоремы Чевы и Менелая для трехгранных углов 84
' Задачи для самостоятельного решения , 87
• Решения............. 83
Глава 6. Тетраэдр, пирамида в призма . . . . . . 100
§ 1. Свойства тетраэдра......... 100
§ 2. Тетраэдры, обладающие специальными свойствами 101
§ 3. Прямоугольный тетраэдр . . . . . . . 102
§ 4. Равногранный тетраэдр ........ 103
§ 5. Ортоцентрический тетраэдр....... 104
§ 6. Достраивание тетраэдра........ 106
§ 7. Пирамида иг. празма......... 107
Задачи для самостоятельного решения . .... 109'
Решения............. 110
Глава 7. Геометрические преобразования и векторы 131
§ 1. Скалярное произведение. Соотношения . . . .131
§ 2. Скалярное произведение. Неравенства .... 132
§ 3. Линейные зависимости векторов . ... , 132
§ 4. Разные задачи........ . . 133 ;
§ 5. Векторное произведение........ 133 :
§ 6. Симметрия.......... . 135 |
§ 7. Гомотетия........... 136-1
§ 8. Поворот. Композиции преобразований . . . 137;
§ 9. Отражение лучей света.......• . 1391
Задачи для самостоятельного решения .... . 139"|
Решения ...,...,..,.. 140
Глава 8. Выпуклые многогранники и пространственные
многоугольники........... 155
§ 1. Разные задачи . ........ 155
§ 2. Признаки невписапности и пеописаапости многогранников . .........• • *5 J
§ 3. Формула Эйлера.......... 156
§ 4. Обходы многогранников . ....... 157
§ 5. Пространственные многоугольники .....' 158
Решения . .......• • • • .159
Глава 9. Правильные многогранники...... 174
§ 1. Основные свойства правильных многогранников 174 § 2. Взаимосвязи между правильными многогран-
ками..........• • • "о
§ 3. Проекции и сечения правильных многогранников 177 § 4. Самосовмещения правильных многогранников 177 § 5. Различные определения правильных многогранников ............. 178
Решения............. 1^9
Глава 10. Геометрические неравенства ...... 190
§ 1. Длины, периметры......... '90
§ 2. Углы............. 191
§ 3. Площади .....'....... 192
§ 4. Объемы............ 192
§ 5. Разные задаче.......... 193
Задачи для самостоятельного решения..... 194
Решения............• 194
Глава 11. Задачи на максимум в минимум . . . . . 207-'
§ 1. Отрезок с концами на скрещивающихся прямых 207
§ 2. Площадь и объем.......... 207
§ 3. Расстояния....... . . . • . - 208
§ 4. Разные задачи.......... 209
Задачи для самостоятельного решения..... 209
Решения............. 210
Глава 12. Построения в геометрические места точек 219
§ 1. Скрещивающиеся прямые....... 219
§ 2. Сфера и трехгранный угол ....... 220
§ 3. Разные ГМТ........... 220
§ 4. Построения на изображениях...... 221
§ 5. Построения, связанные с пространственными фигурами . . . . , ... . . . . 222
Решения . . . . , . . . , . ....... 222
Глава 13. Некоторые методы решения задач i 231
§ 1. Принцип крайнего........ . 231
§ 2. Принцип Дирихле......... 231
§ 3. Выход в пространство........ 233
Решения............. 23!
Глава 14. Центр масс. Момент инерция. Барицентрические координаты........... 24!
§ 1. Центр масс и его основные свойства .... 244
§ 2. Момент инерции.......... 24?
§ 3. Барицентрические координаты...... 2 it
Решения............. 241
Глава 15. Разные задачи.......... 254
§ 1. Примеры и контрпримеры....... 251
§ 2. Целочисленные решетки........ 255
§ 3. Разрезания. Разбиения. Раскраски..... 256
§ 4. Задачи-одиночки.......... 257
Решения............. 257
Глава 16. Инверсия и стереографическая проекция 271
§ 1. Свойства инверсии......... 271
§ 2. Сделаем инверсию........ . 272
§ 3. Наборы касающихся сфер....... 272
§ 4. Стереографическая проекция...... 273
Решения............. 274
Приложение. Задачи для самостоятельного решения 282
Список рекомендуемой литературы....... 286
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник задач предназначен для учащихся старших классов, преподавателей математики, руководителей математических кружков и студентов педагогических институтов. Его можно использовать как источник задач для внеклассной работы и как пособие для самостоятельного изучения геометрии.
Недавно изданная книга И. Ф. Шарыгина «Задачи по геометрии. Стереометрия» (М.: Наука, 1984) наряду с задачами письменных конкурсных экзаменов содержит много интересных задач повышенной трудности, как известных, так и оригинальных, авторских, но задачи в ней почти не систематизированы. Дело в том, что усилиями как профессиональных математиков, так и просто любителей математики в области стереометрии был накоплен богатый и интересный материал, и поэтому сначала нужно было собрать теоремы и задачи, изучить и сравнить их различные доказательства, т. е. провести предварительную обработку всего этого материала, а уже потом привести его к более стройному и завершенному виду. В нашей книге мы и постарались справиться со второй задачей. Разумеется, при этом мы опирались на первый этап работы, и все наиболее интересные задачи из указанной книги в нашу книгу вошли (с переработанными решениями); они составляют примерно половину ее.
Книга содержит около 560 задач, снабженных решениями, и около 60 задач для самостоятельного решения. По сравнению с указанной книгой И. Ф. Шарыгина включено несколько новых тем: центр масс, правильные многогранники, инверсия, принцип Дирихле, разрезания, целочисленные решетки и т. д. Для удобств» пользования принята подробная рубрикация; задачи разделены на 16 глав, а каждая глава на 5—6 параграфов.
Особый интерес представляет вводная часть — «знакомство со стереометрией». В ней собраны задачи,
Цена: 200руб.