Мельников И. И., Сергеев И. Н.
I 48 Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. — 303 с.: ил.
ISBN 5—211—00319—5.
В книге изложены ключевые методы решения задач по математ; демонстрирующиеся на примере задач, предлагавшихся на вступительн: экзаменах в МГУ в последние годы. Большое внимание уделено объж нию логики решений, подробному анализу типичных ошибок абитуриентов*! особенностям конкурсных задач на различных факультетах. Освещены дующие темы: решение алгебраических уравнений и неравенств, тригояй метрические уравнения и неравенства, текстовые задачи, логарифмические j показательные уравнения и неравенства, задачи с параметрами, свойств! функций и графики и др. Приводится большое количество задач для самр стоятельного решения. М
Для учащихся средних школ и абитуриентов, готовящихся к встуш) тельным экзаменам по математике в вузы, может быть использована учит|
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .................
Глава 1. Числа и выражения............ 7
§ 1.А. Об арифметических ошибках......... 7
1 Б. Числовые оценки............. 11
§ LB. Условия, при которых выражение имеет смысл .... 16
к 1.Г. Разложение на множители.......... 22
§ Гд. Некоторые эффективные преобразования...... 28
§ I.E. Модули............... 32
; 'лава 2. Уравнения............... 37
§ 2.А. Решить уравнение............ 37
§ 2.Б. Корни и допустимые значения......... 38
§ 2.В. Логика обоснования ответа.......... 41
§ 2.Г. Расщепление уравнений........... 45
§ 2.Д. Безопасные с виду преобразования....... 49
§ 2.1-.. Опасные преобразования.......... 52
§ 2./К. Перебор случаев............. 57
§ 2.3. Возведение в квадрат........... 61
§ 2.11. Замена неизвестной............ 66
Глава 3. Неравенства.............. 72
§ З.А. Особенности работы с неравенствами....... 72
§ З.Б. Расщепление неравенств.......... 75
§ л.В. Метод интервалов............. 79
§ 3 1^. Преобразования неравенств.......... 84
§ З.д. Неравенства с радикалами.......... 89
Глава 4. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства . 94
§ 4.А Логарифмирование и потенцирование....... 94
§ 4.Б. Различные упрощения........... 101
§ 4.15. Способы расщепления........... 106
§ 4.! . Переход к новому основанию......... ИЗ
Глава 5. Тригонометрические уравнения и неравенства..... 121
§ о А. Тригонометрический круг........... 121
| 5.Б. Неприятности в ответе........... 128
| 5.В. 1\ак ориентироваться в формулах тригонометрии .... 132
к с п *°РМУЛЫ. которые необязательно запоминать..... 139
9 о.Д. Расщепление и свертывание......... 144
| Ь'Ь. Вспомогательный угол........... 151
I с ч т°Тбор к°Рней............. 155
S о.з. Тригонометрические неравенства........ 161
глава 6. Системы............... 167
I R'R' ?истема как единое целое..........167
» °-ь. Равносильность систем........... 171
§ 6.В. Расщепление системы........... 176
§ 6.Г. Подстановка.............. 180
§ 6.Д. Метод проверки............. 183
Глава 7. Текстовые задачи............. 190
§ 7.А. Математическая постановка задачи........ 190
§ 7.Б. Работа с неизвестными........... 194
§ 7.В. Основные закономерности.......... 201
§ 7.Г. Использование неравенств.......... 208
§ 7.Д. Специфика целых чисел........... 214
§ Т.Е. Непривычная логика............ 220
Глава 8. Функции............... 228
§ 8.А. Понятие функции............. 22
§ 8.Б. Свойства функций............ 233
§ 8.В. Наибольшее и наименьшее значения........ 239
§ 8.Г. Применение графических иллюстраций....... 245
§ 8.Д. Квадратный трехчлен........... 256
Глава 9. Производные.............. 266
§ 9.А. Вопросы дифференцируемости........ 266
§ 9.Б. Исследование функций........... 272
§ 9.В. Касательная к графику........... 2791
Глава 10. Варианты письменных вступительных экзаменов по математике
• МГУ 1986 и 1987 годов............. 285
§ 10.А. Механико-математический факультет....... 285
§ 10.Б. Факультет вычислительной математики и кибернетики . . 286
§ 10.В. Физический факультет........... 288
§ 10.Г. Химический факультет........... 2891
§ 10.Д. Биологический факультет.......... 291
§ 10.Е. Факультет почвоведения.......... 292
§ 10.Ж. Геологический факультет.......... 293.
§ 10.3. Географический факультет.......... 295
§ 10.И. Философский факультет (отделение прикладной социологии) 296 § 10.К. Экономический факультет (отделение политической экономии) 297 § 10.Л. Экономический факультет (отделение экономической кибернетики и планирования народного хозяйства)..... 29
§ 10.М. Филологический факультет (отделение структурной и прикладной лингвистики) . •........... 300
§ 10.Н. Факультет психологии . . ........ 301
ВВЕДЕНИЕ
Беря в руки эту книгу с ее многообещающим названием, читатель, вероятно, подумает, что перед ним —собрание рецептов для решения задач, предлагаемых обычно на вступительных экзаменах в вузы. Отчасти так оно и есть. Но именно отчасти, потому что претендовать на полноту охвата всех существующих рецептов настоящая книга никоим образом не может. Да и не в этом состоит ее основная цель.
С одной стороны, в книге делается попытка выделить, так сказать, ключевые подходы к решению задач, правильное применение которых, по мнению авторов, исключает ошибки. С другой стороны, здесь разобраны и отвергнуты наиболее популярные у поступающих рассуждения, правдоподобные с виду, но приводящие к определенным осложнениям и в конечном счете к ошибкам в экзаменационных работах. Иными словами, в книге рассказано не только о том, как надо, но также и о том, как не надо решать задачи по математике на вступительных экзаменах.
К обилию правил, советов и рекомендаций абитуриенту, содержащихся в различных главах книги, хотелось бы добавить еще четыре важных наставления, несоблюдение которых как раз- и служит основной причиной ошибок на экзаменах (да простит нас читатель за несколько грубоватый тон самих наставлений).
1. Не делай глупых ошибок, т. е. тех очевидных ошибок в вычислениях, в знаках, в формулах и т. д., которые порождаются обыкновенной невнимательностью, несобранностью, неаккуратностью (§ 1.А, 1.Г, 4.Б, 5.Г; здесь и далее в скобках указаны параграфы настоящей книги, содержащие комментарии к наставлениям).
2. Следи за областью допустимых значений неизвестных, участвующих в решении задачи, особенно за изменением этой области при различных преобразованиях (§ 1.В, 2.Б, 2.Д, З.Г, 4.А, 5.Б, 5.В„ 9.А).
3. Рассуждай логично при выяснении вопросов о равносильности уравнений, неравенств, утверждений и т. п. или о том, какое из них является следствием другого (§ 1.Б, 2.В, 2.Е, 2.3, З.Б, З.Д, 6.Б, 6.Д, 7.Е).
4. Думай, что делаешь (полезно всегда, не только на вступительном экзамене): разберись, в чем именно состоит задание, и помни о нем на протяжении всего решения; применяй известные методы не механически, а творчески с учетом особенностей задачи (§ 1-Е, 2.А, 2.Ж, З.А, 5.А, 5.Ж, 6.А, 7.А, 8.А, 8.Г, 9.В).
А теперь попытаемся ответить на некоторые вопросы, обычно волнующие абитуриентов перед экзаменом. В своих ответах руководствуемся установками, принятыми в Московском университете IB других вузах они могут быть в чем-то иными).
Каким образом оценивается письменная экзаменационная ра-та по математике? Довольно часто приходится наблюдать такую чальную картину; абитуриент, вернувшись с письменного экза-
Цена: 200руб.