Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ: Пер. с нем./Под ред. В. Г. Болтянского. — 4-е изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 432 с.
Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах.
Первый том посвящен вопросам арифметики, алгебры, анализа. Автор рассматривает понятие числа (целого, рационального, иррационального), особо останавливаясь на тех «мостиках», которыми можно соединить вузовское и школьное преподавание математики. Написанная в форме лекций для учителей, книга и за давностью лет не потеряла своей значимости, свежести, привлекательности. 3-е изд. выходило в 1935 г. Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников в
просто любителей математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора...............5
Введение.....................15
АРИФМЕТИКА
20 20 23 26 35 37 37
I. Действия над натуральными числами ....
1. Введение чисел в школе.......
2. Основные законы арифметических действий
3. Логические основы теории целых чисел .
4. Практика счета с целыми числами ....
II. Первое расширение понятия числа ...
1. Отрицательные числа..............-
2. Дроби...................45
3. Иррациональные числа.............49
III. Особые свойства целых чисел...........57
1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании ..................57
2. Простые числа и разложение на множители . . 61
3. Обращение простых дробей в десятичные . • т т--пчоиир лпоби.........
Лчл^.то
. ра
4. Непрерывные дроби
5. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма.....
6. Задача о делении окружности на равные части . . .
7. Доказательство невозможности построения правильного
ика цикулем и линейкой ........
62 64 69
75
Доказательство невозможна ш ..^.,__
семиугольника циркулем и линейкой ........ 78
IV, Комплексные числа................85
1. Обыкновенные комплексные числа.........85
2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы 88
3. Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве............99
4. Комплексные числа в преподавании........112
V. Современное развитие и строение математики вообще . .114
1. Два различных ряда эволюции, по которым параллельно развивался математический анализ.......114
2. Краткий обзор истории математики........118
АЛГЕБРА
Введение.....................127
I. Уравнения с действительными неизвестными......127
1. Уравнения, содержащие один параметр......127
2. Уравнения с двумя параметрами.........129
3. Уравнения с тремя параметрами.........137
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
II. Уравнения в области комплексных чисел......147
A. Основная теорема алгебры............148
B. Уравнение с одним комплексным параметром . . . ! 151
1. Двучленное уравнение г" = w.........159
2. Уравнение диэдра ...............166
3. Уравнения тетраэдра, октаэдра и икосаэдра.....173
4. Продолжение; вывод уравнений.........178
5. О решении нормальных уравнений........186
6. Униформизация нормальных уравнении посредством трансцендентных функций............190
7. Разрешимость в радикалах...........197
8. Сведение общих уравнений к нормальным .... 202
АНАЛИЗ
I. Логарифм и показательная функция........206
1. Систематика алгебраического анализа.......206
2. Историческое развитие учения о логарифме.....209
3. Некоторые замечания о школьном преподавании . . . 222
4. Точка зрения современной теории функций ..... 224
П. О тригонометрических функциях..........233
1. Теория тригонометрических функций в связи с учением
о логарифме.................233
2. Тригонометрические таблицы..........243
3. Применения тригонометрических функций.....249
III. Исчисление бесконечно малых в собственном смысле слова 295
1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых....................295
2. Теорема Тейлора...............315
3. Замечания исторического и педагогического характера 331
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Трансцендентность чисел е и я...........334
1. Исторические замечания.............334
2. Доказательство трансцендентности числа е.....336
3. Доказательство трансцендентности числа я.....343
4. Трансцендентные и алгебраические числа......352
II. Учение о множествах............. 355
1. Мощность множества ........'.'..'.. 355
2. Порядок элементов множества.......... 372
3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о преподавании в школе........378
Примечания....................382
Именной указатель............... 426
Предметный указатель................429
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Феликс Клейн (1849—1925) принадлежит к числу математиков-классиков, обогативших науку новыми идеями и в значительной степени определивших ее современное лицо. В области геометрии XIX век ознаменовался, прежде всего, значительным расширением наших взглядов на пространство и предмет геометрии. Если раньше господствовало представление о том, что научные факты, теоремы, законы в точности описывают свойства единственного мыслимого, волею творца созданного пространства *), то XIX век не только поколебал, но и полностью опрокинул эти идеалистические взгляды. И начало этому было положено работами нашего выдающегося соотечественника Н. И. Лобачевского.
Лобачевский, открывший новую геометрию, отличную от евклидовой, неизбежно пришел к вопросу о том, какова же геометрия реального пространства, подошел к пониманию того, что евклидова геометрия может лишь приближенно описывать свойства реального пространства, которое в действительности является значительно более сложным. И его эксперименты по вычислению суммы углов огромного космического треугольника — яркоа свидетельство этого. Работы Лобачевского открыли перед математиками целый новый мир, позволили искать новые и новые геометрии, и это вскоре ознаменовалось появлением римановой геометрии, введением нормированных, топологических и многих других пространств.
Вместе с тем был один пробел в математическом наследия Лобачевского, существенность которого он сам отлично понимал. Речь идет о доказательстве непротиворечивости его «воображаемой геометрии». Вместо построения необходимой для этого модели Лобачевскому удалось построить другую модель: оказалось, что на предельной сфере пространства Лобаческого реализуется планиметрия Евклида. Какая горькая ирония судьбы! Для того чтобы «узаконить» свою геометрию, Лобачевскому нужна была «обратная» модель, реализующая все соотношения его геометрии
*) Этих взглядов придерживался и великий Ньютон. Приведем несколько цитат из книги: К л а и н М. Математика — утрата определенности. — М.: Мир, 1984. — С. 72—73: «Как и все математики и естествоиспытатели того времени, Ньютон верил в то, что бог сотворил мир в соответствии с математическими принципами... изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и власти могущественнейшего и премудрого существа... господь бог — искусный математик и физик... Задача науки состоит в том, чтобы раскрыть блистательные замыслы творца».
Цена: 200руб.