Методкоординат и задачи параметрами - В.К.Марков Москва 1970 стр.144
Ни для кого не секрет, чта.хотя требования, которые являются на вступительных экзаменах в вузы, не выходят .рамки школьной программы, для успешной сдачи этих менов требуются такие глубокие знания в области здемед-тарной математики и такая серьезная практическая подготож-ка, которой учащиеся в школе не получают. Те, кто живет крупных городах,, имеют возможность получить соответствующую подгшчЗвку на подготовительных курсах, которые'сейчас созданы,пояти при всех институтах. Иное дело — сельск^ а рабочая молодежь, проживающая в отдаленных ргфошъ страны. Хотя в ее среде и немало талантливых людей, они я имеют возможности подгртовиться к поступлению в институты (и.особенно в МГУ) из-за отсутствия пособий и из-за fofo, ,чтр им негде получить квалифицированную помощь.
Для оказания помощи рабочей и сельской молодежи, Sj^ch живающей в отдаленных районах страны, были созданы ".р успешно работают уже более десяти лет заочные подшёовн-тельные курсы МГУ. .. ^ .
Специфика преподавания ца заочных подготовительных .курсах требует от преподавательского коллектива ашчшвдао^, ириска таких форм преподавания, которые в полной мере?$-мчали бы задачам, стоящим -перед курсами. Большое зншц-яяё в работе курсов уделяется разработке и изданию jpaseg*" 'вбразной, методической литературы — методических указания, 'содержащих разбор контрольных задач и анализ типичных ршибок учащихся, сборников задач, пособий^о' наибодав важным разделам школьной программы. -"'.., "^
Одним из таких пособий и является данная книга, созданная на основании опыта работы подготовительных курсов •МГУ и посвященная одному из наиболее трудных разделе» элементарной математики — задачам с параметрами. ^ • На протяжении последнего десятилетия на приемных экзаменах на физическом и механико-математическом факуль-
,ете МГУ регулярно предлагались так называемые задачи с параметрами: уравнения, неравенства и системы уравнений, содержащие параметры. Интерес к этим задачам возрастает с каждым годом: если до 19651г. задачи такого типа встречались преимущественно на физическом факультете, то начиная с 1965 г. аналогичные задачи предлагались и на механико-математическом факультете, в 1967 г. — на отделении геофизики геологического факультета, а в 1968 г. — еще и на факультете психологии. Задачи с параметрами все чаще встречаются в экзаменационных работах и в других ведущих вузах Советского Союза: Ленинградском, Новосибирском и Саратовском университетах, Университете Дружбы народов ,имени П. Лумумбы, Московском авиационном институте, Московском институте электронного машиностроения и других.
Интерес к задачам с параметрами не случаен. Теоретическое изучение физических процессов часто приводит к более или менее сложным уравнениям или неравенствам, содержащим .параметры, и, необходимой частью решения таких задач является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров. Таким образом, задачи с параметрами представляют собой миниатюрные исследовательские задачи. Включая такие задачи в варианты письменных работ на приемных экзаменах, экзаменационная комиссия предлагает будущему научному работнику продемонстрировать, есть ли у него данные для научно-исследовательской работы.
Решить задачу с параметрами — это значит установить, при каких значениях параметров задача имеет решения^ и найти эти решения (как правило, в зависимости от параметров), т. е. решение подобных задач должно сопровождаться исследованием. Хотя для решения задач с параметрами не требуется никаких специальных знаний, выходящих за рамки школьной программы, необходимость проводить исследование значительно осложняет решение задач этого типа.
Решение задачи с параметрами (обычно уравнения или неравенства) требует знания свойств элементарных функций (областей определения, областей значений, областей возрастания и убывания функций), свойств уравнений и неравенств (равносильных и неравносильных преобразований, условий, обеспечивающих равносильность преобразований и т. д.), умеряя вести исследование, не упуская никаких возможностей, т. е. довольно высокой техники исследования. Кроме того, для применения графических методов требуется умение выполнять построение различных графиков, вести графике-, ское исследование, строить семейства кривых и устанавливать положение кривых, соответствующих данным значениям параметра, а также умение составлять уравнения и находить из них координаты точек, фигурирующие в графическом ;ис-
Таким образом, в процессе решения задачи с параметрами ^i возникает множество разнообразных вопросов, требующих обширных знаний из различных разделов школьной программы. Кроме того, решение таких задач требует от абитуриентов высокой логической культуры и высокой техники исследования. Именно поэтому задачи с параметрами занимают важное место в числе задач, предлагающихся в Московском университете.
Все возрастающая популярность задач с параметрами ставит на повестку дня вопрос о создании пособия по этому важ-ному^вопросу. Такое пособие (В. К. Марков «Задачи с паря-метрами») было издано в 1968 г., а уже через полгода возникла необходимость в подготовке второго издания этой книги. На базе «Задач с параметрами» и было создано данное пособие. Однако по сравнению с цитируемой книгой данное пособие претерпело значительные изменения. Прежде всего эти изменения выразились в том, что значительно сильнее подчеркнута роль метода координат: добавлены параграфы, посвященные методу координат и использованию геометрической интерпретации решений уравнений и неравенств с одним и двумя неизвестными. Добавлен параграф, посвященный нестандартным и логическим метбдам решения задач с параметрами. Значительно увеличено как количество разоб-, ранных задач, так и количество задач для самостоятельного решения за счет включения задач, предлагавшихся в МГУ в 1968 г., в Ленинградском университете и в ряде других вузов Советского Союза. Большинство этих задач помечено в тексте, так что читатель мо'жет получить представление о том, в каких институтах, в каком году эти задачи предлагались. Так как названия институтов указывались сокращенно, дадим расшифровку этих сокращений: 1. МГУ — Московский государственный университет им.
М. В. Ломоносова. > . 2. ЛГУ — Ленинградский государственный университет.
3. НГУ — Новосибирский государственный университет.
4. СГУ — Саратовский государственный университет.
5. ТГУ —Тартусский государственный университет.
6. УЛ —Университет Дружбы народов им. Патриса Лу-
мумбы.
7. МАИ —Московский авиационный институт.
8. МЭИ — Московский энергетический институт.
9. МИЭМ —Московский институт электронного машино-
строения. 10. ЧГПИ —Читинский государственный педагогический
институт.
Задачи с параметрами чрезвычайно многообразны. Это и задачи на делимость многочлена, задачи на исследование определенных соотношений между корнями квадратного трех-
Элементы'исследования в рещении задач с параметрами . . ^
' - « _
Аналвтаческие неводы решения задач с яараметрамй . . г. lo-
Якгод Ноордийат....... -. -N •_ • • • , 2е
|; Квадратичная фуйкда* . ........- - 45-
§. Задачи на исследование квадратичной^функцнн . . . . " 56.
Задачи, приводящиеся к исследованию квадратичной функций 71
- Мегед, сечений................ 93.
, Щл«|»ение J'eOMet'jMiiecKOH иятерпретации рещашй неравен- ,
->, 'traa ВЛда JK> f{x) и другие приемы решения задан с па-
; "- рамётрамй ^ . . . ' . /...... -. . .. , 110-
, Неабходййле if достаточные условия. «Нестандартные»" и «Ао-
задачи _......*'.'... . . . 12
Цена: 200руб.