АННОТАЦИЯ
Книга охватывает все вопросы, включенные в программу курса алгебры средней школы. Особенностью ее является то, что с самого начала курса вводится понятие . уравнения, и в дальнейшей уравнения используются как аппарат для выражения функциональной зависимости между величинами; с самого начала также используются! таблицы для -иллюстрации функциональной зависимости. В книге приведено большое количество тщательно подобранных задач и примеров, значительная часть которых снабжена решениями, указаниями, ответами. . . . .• ; • -.-.. -Л . ' ., •
Книга предназначена для яиц, желающих самостоятельно изучить алгебру 9 .объеме десятилетки. Она может быть полезна как учебное пособие для учащихся средней школы и студентов техникумов.
Книга может быть также использована в качестве методического пособия преподавателями средних школ и техникумов. .
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . , . . .... ...... .V . . . .... . ... ... .л ......... 9
'.•
Глава I. Употребление букв при решении задач. ............ 13
§ 1. Введение буквенных обозначений-. . . . . . . . . . . . . . . ..... 13
§ 2. Понятие об уравнении. Составление уравнения, выражающего
зависимость между данными величинами ........... ... 16
§ 3. Порядок действий .... ..... . . I .. . . •/. '.-': ... .... . . 19
§ 4. Коэффициент. .........:.' ........... . .......... 23
§ 5. Степень. Возведение в степень....................... 25
§ 6. Законы арифметических действий ... . . . . . . . . . .'... : . . . 27
§ 7. Об обратных действиях. . . ... . . . ................. 30
§ 8. Свойства арифметических действий . . ................ 32
§ 9. Уравнения с одним неизвестным. .... ... .... .-т .-,..... 33
§ 10. Понятие о тождестве ... j.'.'.-•. . . . .... '•.•••• . .-.... ...... 35
| 11. Понятие о решении-задач при помощи уравнений..... .... 36
§ 12. Решение задач при помощи уравнений. ..... ... ....... 39
§ 13. Уравнения с буквенными коэффициентами.............. 43
Глава И. Положительные и отрицательные числа. ........... 45
§ 1. Определение отрицательного числа ... .............. . . . 45
§ 2. Вычитание из меньшего положительного числа бдльшего .... 48 § 3. Применение отрицательных чисел при описании изменения переменной величины.... . . . . х............. .~. ....... 49
§ 4. Применение отрицательных чисел к измерению величин, изменяющихся в двух противоположных направлениях. ........ 51
§ 5. Изображение чисел в виде точек на прямой линии........ 52
§ 6. Сложение положительных и отрицательных чисел ......... 53
§ 7. Свойства сложения............................. 55
§ 8. Вычитание.................................. 57
§ 9. Алгебраическая сумма............................ 58
§ 10. Употребление знаков неравенства ............. ч ..... 59
§11. Направленные отрезки........................... 61
§ 12. Умножение положительных и отрицательных чисел ........ 63
§ 13. Основное свойство нуля .......................... 66
§ 14. Умножение нескольких чисел и возведение отрицательного
цвела в степень. .. . .................. . ........ 67
§ 15. Деление .---. . . . . >---, . .................. 68
§ 16. Истолкование отрицательного ответа при решении задач . ... 70 § 17. Графическое изображение зависимости между двумя перемен-
' « вымя величинами. ,............................ 71
Глава III. Преобразования целых алгебраических выражеиий .. .79
§ 1. Цель алгебраических преобразований................ . 79.
§ 2. Типы алгебраических выражений.. . .......... . ...... 79
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Приведение подобных членов . . . -................... 81
§ 4. Сложение и вычитание многочленов.................. 82
§ 5. Умножение степеней одной буквы и возведение степени в степень....................................-.-. 84
§ 6. Умножение одночленов.......................... .85
§ 7. Возведение одночлена в степень.........;.......... 85
§ 8. Умножение многочлена на одночлен.....;............* 86
§ 9. Умножение многочлена на многочлен................. 87
§ 10. Умножение нескольких многочленов................. . 88 '
§ 11. Умножение многочленов, содержащих одну букву......... 89
§ 1Z Сокращенное умножение по формулам.............. . . . 91
§ 13- Применение формул сокращенного умножения к устным вычислениям.................................. 94
§ 14. Некоторые выводы............................. 95
Глава IV. Разложение многочленов на множители........... 98
§ 1. Понятие о разложении на множители....... . ......... 98 -
§ 2. Вынесение за скобку.........................". . 99
§ 3. Применение вынесения за скобку к расположению многочлена
по степеням одной буквы........................ 101
§ 4. Способ" группировки........................... 102
§ 5. Разложение отдельных членов многочлена на подобные слагаемые ...................................... 103
§ 6. Применение формуя сокращенного умножения........... 104
§ 7. Более сложные примеры....................,..".. 105
§ 8. Разложение квадратного трехчлена на множители......... 107
Г л а в а V. Преобразование дробных алгебраических выражений . . ПО
§ 1. Особенность дробных: выражений................... НО
§ 2. Основное свойство дроби.....................>. . . . 112
§ 3. Деление целых алгебраических выражений............. 114
§ 4. Деление степеней с одинаковыми основаниями-............ 114
§ 5. Деление одночленов . ........................... 116
§ 6. Деление многочлена на рдночлен................... 117
§ 7. Применение формул сокращенного умножения к делению многочлена на многочлен........................... 120
§ 8. Общие замечания о делении многочлена на многочлен ..... 122
§ 9. Деление многочленов, зависящих от одной буквы . . ....... 123
§ 10. Сокращение алгебраических Дробей.................. 126
•§11. Упрощение алгебраической дроби с дробными коэффициентами 127
§ 12. Сложение и вычитание алгебраических дробей........... 128
§ 13. Умножение алгебраических дробей.................. 130
§ 14. Деление алгебраических дробей................... . 131
§ 15. Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются
алгебраическими суммами дробей.................. . 132
§ 16. Общие выводы............................... 133
Глава VI. Пропорции и пропорциональная зависимость......... 135
§ 1. Определения................................. 135
§ 2; Главное свойство пропорции....................... 135
§ 3. Определение неизвестного члена пропорция............. 1Э6 •
§ 4 Перестановка членов пропорции .................... 137,
§ 5. Производные пропорции. . •.................... . . . 13&.
§ 6. Ряд равных отношений.......................... 139
§ 7. Пропорциональная зависимость ..................... 140
ОГЛАВЛЕНИЕ 3
Глава VII. Уравнения и неравенства первой степени с одним неизвестным..................................... 143
§ 1. Два свойства уравнений . .'.......'................ 143
§ 2. Понятие о равносильности уравнений. . ............... 147
§ 3. О некоторых преобразованиях уравнения, которые могут при- .
вести к потере или приобретению решений. ............ 148
§ 4. Решение уравнений............................ 150
§ 5. О числе решений уравнения первой степени с одним неизвестным. 152
§ 6. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе........ 153
§ 7. Решение, задач при помощи уравнений. Понятие об исследова-
.нии задачи ................................. 154
§ 8., Применение уравнений к решению задач в общем виде..... 161
§ 9. Понятие о неравенстве.......................... 162 •
§ 10. Свойства неравенств............................ 164
§ 11. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным . . . Ifi6
Глава VIII. Системы уравнений.............. ........ . 16Э
§ 1. Понятие о системе двух уравнений первой степени с двумя
неизвестными.....................__....... . 169
§ 2. Одно уравнение первой степени с двумя неизвестными..... 171
§" 3. Решение систем уравнений при помощи графиков. . ....... 174
§ 4. О числе решений системы двух уравнений первой степени с
двумя неизвестными............................ 176
§ 5. Способ сравнения.............................. 177
§ 6. Свойство выводных уравнений..................... 182
§ 7. Способ сложения и вычитания..................... 185
§ 8. Способ подстановки............................ 188
§ 9. Решение систем уравнений первой степени с двумя неизвестными с буквенными коэффициентами................. 191
§ 10. Решение задач при помощи системы двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными . . .................... 192
§11. Системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 193 . § 12. Решение системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.............................1 ... 195
§ 13. О числе решений системы трех уравнений первой степени с
тремя неизвестными........................... . 201
Глава IX. Извлечение квадратного корня................. 202
§ 1. Определение действия извлечения корня............. . 202
§ 2. Арифметическое значение квадратного корня .•............202
§ 3. Постановка вопроса о приближенном вычислении корня. .... 204
§ 4. Извлечение квадратного корня при помощи графика....... 206
§ 5. Извлечение квадратного корня из числа, заключенного между
1 и 100, с точностью до 0,1..........;...;........ 208
§ 6. Извлечение квадратного.корня из числа, заключенного между
1 и 100, с точностью до 0,01...................... 212
§ 7. Извлечение квадратного корня из любого данного числа с любым заданным числом десятичных знаков.............. 213
§ 8. Применение графиков для приближенного решения уравнений
и систем двух уравнений с двумя неизвестными.......... 215
ЧАСТЬ И Глава I. Степень, корни и иррациональные числа...........218
§ 1. Свойства степени с целым показателем...............218
§ 2. Квадрат суммы нескольких слагаемых................220
§ 3. Некоторые свойства степени...................... 221
В ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Корень любой степени 'из числа i..^. V ...» г ^......; 1 =224
§ ' 5. Недостаточность совокупности рациональных чисел для нзвлече- -
нйя корня из любого рационального положительного числа . . 226
§ в. Приближенное извлечение корня. . .'. . . .... ......... . 227
§ 7. Связь задачи об извлечении корня с задачей об измерении'от-
- резкое. ....:..'.............'...'...,.. V ...".... 229
, § 8. Измерение отрезков. Определение иррационального и деистви-'
тельного числа ........... ... . . . . ,............ 230
§ 9. Изображение действительных чисел на числовой оси. Нера- ''
•' ' ' „ •,• Вднства . , ........ »-.:,.... ;.,.,...... . . . . .---. . 234
§ 10. Приближения к действительным числам............... 236
§ 11. Свойство непрерывности совокупности действительных чисел . 239 § 1Z Сложение и вычитание действительных чисел ........... 241
§ 13. Умножение и деление действительных чисел ............ 245
§ 14. Возведение в степень и извлечение корня .... . , .........247
§ 15. Извлечение корня из произведения, дроби и степени. ...... 250
§ 16. Умножение и деление корней,. . . . . . .... . . . . . . ...... 252
§ 17. Возведение корня в степень и извлечение корня из корня. . . 253 § 18. Вынесение рационального множителя из-под знака'корня и вве-
••. дение его под знак корня........................ 254
§ 19. Подобные радикалы и их сложение ...'.•..............256
§ 20. Исключение иррациональности в знаменателе. . .......... 257
Глава JL Квадратные уравнения н уравнения, приводящиеся к квадратным . . , \ .. ,ч. . .... .. . ,....................
§ 1. Целые алгебраические уравнения и их классификация. ,•.-. . . 260
§ 2. Неполные квадратные уравнения 1................... 261
§ 3. Приведенное квадратное уравнение . .'. ... ....... i .... 263
§ 4. Общее квадратное уравнение...................... 266
§ 5. Некоторые задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям . . 269 ; § 6. Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения..-, ..,. . . ^-. .,*..'.. ......... . .., ..', ............ 272
§ .7. Разложение квадратного трехчлена на множители. .. . .... . 273
§ 8. Составление квадратного уравнения по данным корням. . . . . . 275
§ 9. Примеры и приложения. . .". . ..... ..,...........'... 275
§ 10. Исследование корней квадратного уравнения пЪ коэффициенту
и дискриминанту ....... .^. ..................... 278
§ 11. Биквадратные уравнения. ........................ 279
§ 12. Некоторые уравнения, сводящиеся к квадратным посредством
введения нового неизвестного...................... 280
§ 13. Возвратные уравнения '.....'......-. . .............. 282
§ 14. Второй способ решения биквадратного уравнения......... 284
- § 15. Преобразование уравнений.......j................ 286
§ 16. Дробные алгебраические уравнения.................. 2$9
§ 17. Иррациональные уравнения . .. . ,.................. 293
Глава Ш. Функции и их графики1......................29*8
- § I. Функциональная зависимость................,.-.».. 298
§ 2. Прямоугольная система координат на ллоскрсти,......... 301
§ а Гбафик.функции^............................ 302
§ 4. Прямо пропорциональная зависимость ................. 306
§ 5. Линейная функция.........',........... J....... 308
§ 6. Геометрический смысл уравнения «ервоя степени С двумя неизвестным* ...:.... т..........'..... :f...___ 311
§ 7. Квадратичная функция...............,.»,....... ЗГ2
§8. Исследование,графика квадратичной функции............ 3J7
§9, Обратно вропорциональная зависимость....... -........• 319
Г л а в а IV. Системы уравнении высших степеней ............323
§ 1. Система двух уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными..................................323
§ 2. Некоторые системы уравнений, решаемые особыми приемами. . 325
§ 3. Системы двух уравнений второй степени, не содержащие линейных членов..................................327
§ 4. Несколько приемов решения систем уравнений высших степе*
ней,............................••..........329
§ 5. Графическое, решение уравнений с одним неизвестным ..'... 333
§ 6. Графическое решение систем двух уравнений с двумя неизвестными....................•..................335
§ 7. Уточнение корня уравнения или решения системы нелинейных
уравнений, исходя из грубого приближения.............339
Глава V. Последовательности чисел...................... 341
И
§ 1. Основные определения . . ............а,............341
§ 2. Арифметическая прогрессия...............~........344
§ 3. Геометрическая прогрессия.......................348
§ 4. Геометрическое представление.числовой последовательности. . 351 § 5. Предел числовой последовательности . .ч .............. 352
§ 6. Теоремы о пределах. ..... .... . . . -ч . .-. . . ; . .:.••. . . . 356
§ 7. Арифметические операции над последовательностями.......360
§ 8. Монотонные последовательности. . . .....'... ;•; . ..... .366
§ 9. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии ., . . , . 368 § 10. Обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную. 371
.Глава VI. Обобщение понятия о показателе степени . . . . . .... 373
§ 1. Введение . . . .,....',. . ... ; . . . . ... .... . .... . . •; . . 373
§ 2. Понятие о степени с нулевым и отрицательным показателем. .373 § 3. Понятие о степени с дробным.показателем ............. 375 .
§ 4. Понятие о степени с дробным отрицательным показателем . . . 376 § 5. Действия над Степенями с рациональными показателями. . . . . 377
§ 6. Степень с рациональным показателем................. 382
§ 7. Понятие :о степени с иррациональным показателем . . ... ... 384
§ 8. Некоторые свойства степени с любым вещественным показателем.........>..•...... >............. .'.-.\;: - . . .'386
• , . >••''•' ' "' •'•'.• •, Глава VII: Показательные функции и логарифмы. . . . . ....... 388
§ 1. Определение показательной функции ................. 388
§ 2. Свойства функции а* .,.=./.'.. .... . . ........ .........388 ;
§ 3. График показательной функции. ...... ...... . . ... . . . 391
§ 4. Определение логарифма. ..,. •. : . •„ > ..*,;, . f ........... .. 393
§ 5. Логарифмическая функция...... ...» • • - - - • • • • ...... 393
§ 6. Свойства логарифмов чисел ... .... . .......... ... . . 395
§ 1. Теоремы о логарифмах .......................... 396
§ 8. Логарифмирование я потенцирование выражений.. ........ 398
§ 9. Десятичные логарифмы ,...... . . ... .............. 399
§ 10. Характеристика; и мштисса. ............ .,,. . ......". 401
§11. Понятие о вычислении логарифмов ... ........ ; ». . . . . 402
„ § 12. Интерполирование .... ... ... . . .ч. . . . ...... . . .... 404
§ 13. Употребление четырехзначных логарифмических таблиц. .... 404
§ 14. Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками. ................................... I, 405
§ 15. Понятие об устройстве логарифмической линейки......... 407 .
§ 16. Решение некоторых трансцендентных уравнений . . . ....... 409
о ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VIII. Соединения и бином Ньютона.................412
§ I. Размещения •................................. 412
§ 2. Перестановки . ....._____............. .......... 414
§ 3. Сочетания.................................. 415
§ 4. Некоторые суммы и их свойства........................ 417
§ 5. О произведении двучленов,, первые члены которых одинаковы. 418
§ 6. Натуральная степень бинома (формула Ньютона)......... 419
§ 7. Свойства разложения по формуле. Ньютона.......,..... 419
Глава IX. Комплексные числа...............'...........423
§ 1. Развитие понятия числа..........................423
§ 2. Определение комплексного числа....................428
§ 3. Свойства комплексных чисел...................... 429
§ 4. Свойства нуля................................. 431.
§ 5. Геометрическое представление комплексных чисел........431
§ "6. Комплексные числа в тригонометрической форме......... 432
§ 7. Формула Муавра............................. . 434
§ 8. Извлечение квадратного корня из отрицательного числа.....435
§ 9. Извлечение корня л-й степени из комплексного числа......435
§ 10. Некоторые приложения комплексных чисел.............437
Глава X. Неравенства...............................440
§ 1. Основные свойства неравенств..................... 440,
§ 2. Доказательство неравенств........................ 443
§ 3. Равносильные неравенства........................ -449
§ 4. Решение неравенств и систем неравенств первой степени с
одним неизвестным........................• . . . 452
§ 5. Цель исследования уравнений...................... 4561
§ 6. Исследование уравнения первой степени с одним неизвестным. 456 § 7."Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя
неизвестными................................ 458
§• 8: Исследование квадратного трехчлена................. 467
§ 9. Решение неравенства второй степени с одним неизвестным. . . 471
Глава XI. Уравнения высших степеней........•........... 473
§ 1. Уравнения я-й степени с одним неизвестным............ 473
§ 2.ч Деление многочлена относительно х на х — а........... 473
§ 3. Составление уравнения тг-й степени по его корням........ 475
§ 4. Основная теорема алгебры и некоторые следствия из нее . . . 476
§ 5. Теорема Виета............................... 480
§ 6. О решении уравнений высших степеней............... 481
§ 7. Вычисление рациональных корней уравнений с целыми коэф- '
фициентами ................................. 482
§ 8. Решение двучленных уравнений 3-й, 4-й и 6-й степени ..... 485
§ 9. Решение трехчленных уравнений..................... 487
Дополнение....................................489
Ответы и решения.....................„........501
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга охватывает все1 вопросы, включенные в про(%> грамму курса алгебры средней школы.
С целью использования книги как пособия дл* самообразования в ней приведено большое количество упражнений и задач, снабженных ответами, указаниями и иногда решениями.
Мы считаем необходимым разъяснить читателю, самостоятельно работающему над изучением алгебры, что изучение каждого вопроса курса алгебры нужно обязательно закрепить решением упражнений; Надо тщательно выполнить упражнения, помещенные в конце каждого параграфа, прежде чем переходить к следующему параграфу. Впрочем, при первом чтении книги можно выполнить только часть упражнений и перейти к изучению следующего параграфа, но тогда уж при повторении материала нужно выполнить все упражнения.
Разумеется, примеры и задачи книги не могут заменить систематического сборника задач и упражнений по алгебре. Мы старались привести лишь примеры и упражнения от типовых до более сложных.
При подборе упражнений по иропедевт-ическому курсу уравнений и задач на доказательство были частично использованы методические работы А. Ф. Галкиной (Бедринои) и О. Я. Лихачевой. Кроме того, частично использованы сборники тренировочных упражнений для проведения математических олимпиад в г. Ленинграде.
Книга отличается следующими особенностями, которые мы отметим в порядке, соответствующем ее построению:
1. В самом начале курса вводится понятие уравнения, и уравнения используются как аппарат для выражения зависимости между величинами.
2. При рассмотрении вопроса о порядке действий вводятся скобки для обозначения а: (Ь- с) н (а: Ь): с.
3. С сякого начала курса используются таблицы для иллюстрации функциональной зависимости.
4. Введен специальный параграф для рассмотрения обратных действий. Здесь уделено особое внимание «делению на нуль».
5. Несколько параграфов гл. I посвящены вопросу о решении; задач: при помощи уравнений.
Читатель должен позаботиться о том, чтобы к тому времени, когда будет изучаться гл. VII ч, I, был бы уже приобретен навык по решению задач при помощи уравнений. Для этого необходимо на протяжения всего курса решать задачи на составление уравнений.
Цена: 300руб.