ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора.................... 7
Предисловие к седьмому изданию.............. 7
Из предисловия к первому изданию............. 8
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
Глава I. Метод координат ......'........... 9
§ 1. Предмет аналитической геометрии (9). § 2. Декартова прямоугольная система координат на плоскости (9). § 3. Расстояние между двумя точками (12). § 4. Деление отрезка в данном отношении (14).
Глава II. Линии и их уравнения..............18
§ 5. Постоянные и переменные величины (18). § 6. Функциональная зависимость (18). § 7. Линии и их уравнения (20). § 8. Формулы преобразования прямоугольных координат (23).
Глава III. Прямая линия..................27
§ 9. Уравнения прямых, параллельных осям координат (27). § 10. Уравнения осей координат (28). § 11. Уравнение прямой, проходящей через начало координат (29). § 12. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой (32). § 13. Общее уравнение • прямой (35). § 14. Уравнение прямой в отрезках (39). § 15. Уравнение пучка прямых (42). § 16. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (44). § 17. Угол между двумя прямыми (47). § 18. Условие параллельности прямых (49). § 19. Условие перпендикулярности прямых (51). § 20. Пересечение прямых (53).
Глава IV. Кривые второго порядка . ,.......... 59
§ 21. Окружность и ее уравнение (59). § 22. Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени (61). § 23. Эллипс и его уравнение (65). § 24. Исследование уравнения эллипса (67). § 25. Эксцентриситет эллипса (70}. § 26. Связь эллипса с окружностью (72). § 27. Гипербола и ее уравнение (74). § 28. Исследование уравнения гиперболы (76). § 29. Эксцентриситет гиперболы (78), § 30. Асимптоты гиперболы (79). § 31. Сопряженные гиперболы (83). § 32. Равносторонняя гипербола (83). § 33. Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам (84). § 34. Парабола и ее про-
1*
ОГЛАВЛЕНИЕ
•
стейшее уравнение (87). § 35. Исследование уравнения параболы (8?). § 36. Уравнение параболы со смещенной вершиной (92). § 37. Конические сечг»^я (100).
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
Глава V. Теория пределов................. 105
§ 38. Абсолютная величина и соотношения, связанные с ней (105). § 39. Последовательность. Характер изменения переменной величины ' (Ю6>. § 40. Бесконечно малая величина (ЮЗ). § 41. Бесконечно большая величина (112). § 42. Связь бесконечно малой величины с беска-нечно большой (114). § 43. Понятие о пределе переменной (115). § 44. Свойства бесконечно малых величин (П7). § 45. Теоремы о пределах (120). § 46. Приложение теории пределов к вычислению длины окружности, площади круга и суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (124). § 47. Предел функции -(132),
§ 48. Предел отношения * при х -> 0 (139). § 49. Эквивалентные :
бесконечно малые величины (141). § 50. Предел выражения (и--^
* \ п /
при п-> оо (142). § 51. Натуральные логарифмы (143).
Глава VI. Функция и ее простейшие свойства...... . 145
§ 52. Символика функциональной зависимости (145). § 53. Значения функции. Область определения функции (146). § 54. Геометрическое изображение функций (147). § 55. Приращение функции (150). § 56. Геометрическое изображение приращений аргумента и функции (153). § 57. Непрерывность функции (154). § 58. Свойство непрерывной функции (158). § 59. Виды функции (158).
Глава VII. Производная функции.............161
§ 60. Равномерное движение и его скорость (161). § 61. Неравномерное движение и его скорость (162). § 62. Скорость изменения функции (164). § 63. Производная функции (163). § 64. Связь дифференцк-руемости функции с непрерывностью (169). § 65. Касательная (170). § 66. Геометрический смысл производной (170). "*••-.,.
Глава VIII. Формулы дифференцирования.........174
§ 67. Производная постоянной (174). § 69. Производная функции
f=ajc (175). § 69. Производная алгебраической суммы 'функций (175). 70. Производная произведения двух функций (176). § 71. Производная произведения постоянной на функцию (177). § 72. Производная частнъго П78). § 73. Понятие о сложной функции (179). § 74, Производная степени с целым положительным показателем (179). § 75. Производная функции г/=/и (181). § 76. Производная функции У*-~~
(181). § 77. Применение формул дифференцирования (182). § 78. Производные тригонометрических функций (188). § 79. Производная логарифмической функции (193). § 80. Производная степени при любой показателе (197). § 81. Производные показательных функций (198). § 82. Производные обратных тригонометрических функций (200). § 83. Производная неявной функции (203). 4 84. Производная второго порядка (205). § 85. Механический смысл второй производной (206).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XIX. Изучение функций с помощью производных . .211
§ 86. Возрастание и убывание функции (211). § 87. Признаки возрастания и убывания функции (212). § 88. Максимум и минимум функции (214). § 89. Признаки максимума и минимума функции (215). § 90. Первое пр,авил9 нахождения максимума и минимума функции (217). § 91. Выпуклость и вогнутость кривой (221). § 02. Признаки выпуклости и вогнутости кривой (222). § 93. Нахождение точки перегиба (224). § 94. Второе правило нахождения максимума и минимума функции (226). § 95. Задачи на максимум и минимум функции (228). § 96. Построение графиков функций (234).
Глава X. Дифференциал .................. 237
§ 97. Сравнение бесконечно малых величин между собой. Понятие о дифференциале (237). § 98. Геометрическое изображение дифференциала (242). § 99. Дифференциал второго порядка (244). § 100. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям (245). § 101, Кривизна кривой (249). § 102. Кривизна окружности (252). § 103. Радиус кривизны кривой (253).
Глава XI. Интеграл .................... 255
§ 104. Понятие о неопределенном интеграле (255). § 105. Основные CBoiilTaa неопределенного интеграла (257). § 106. Основные формулы интегрирования (258). § 107. Определение постоянной интегрирования (262). § 108. Интегрирование способом подстановки (265). § 109. Определенный интеграл (274). § ПО. Основные свойства определенного интеграла (276). § 111. Вычисление определенного интеграла с помощью подстановки (278). § 112. Геометрический смысл определенного интеграла (281). § 113. Определенный интеграл как предел суммы (284).
Глава XII. Приложения интеграла ............. 288
§ 114. Площади фигур (288). §115. Объем тел (291). § 116. Объем тела вращения (294). § 117. Поверхность шара и его частей (302). § 118. Путь, пройденный телом (305). § 119. Работа силы (307). § 120. Работа, совершаемая при поднятии груза (312). § 121. Давление жидкости (316).
Глава XIII. Дифференциальные уравнения . . . . ..... 321
§ 122. Общие понятия (321). § 123. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (322). § 124. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка (328). § 125. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
(332). § 126. Дифференциальные уравнения вида - ^ =f (x) (335).
§ 127. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (338).
ДОПОЛНЕНИЯ
Глава XIV. Ряды..................... 347
§ 128. Понятие о рядах (347). § 129. Необходимый признак сходимости ряда (348). § 130. Достаточные признаки сходимости ряда (350). § 131. Признак сходимости знакочередующихся рядов (353). § 132. Абсолютно сходящиеся ряды (355). § 133. Функциональные ряды (356).
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 134. Степенные ряды 357). § 135. Ряд Маклорена (359). § 136. Примеры разложения функций в ряд (360). § 137. Приложение%тепенных рядов к приближенным вычислениям (364). § 138. Ряды с комплексными членами (365). § 139. Формулы Эйлера (366).
Глава XV. Гармонический анализ............. 369
ч
§ 140. Графики'функций вида у=*А sin шх (369). § 141. Гармонические колебания (371). 4 142. Тригонометрические ряды (374). § 143. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье (375). § 144. Возможность разложения непериодической функции в ряд Фурье (377). § 145. Условия Дирихле. Теорема Дирихле (379). § 146. Интегрирование по частям (380). § 147. Примеры разложения функций в ряд Фурье (382). § 148. Ряды Фурье для четных и нечетных функций ^386).
Ответы и упражнения..................•' • 396
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
При подготовке двенадцатого издания, наряду с исправлением опечаток, в текст книги были внесены и некоторые дополнительные изменения. В частности, устранены погрешности в определениях, в доказательствах предложений и в решениях примеров; отдельные доказательства заменены новыми; внесены уточнения терминологического характера; некоторым изменениям подверглись и иллюстрации.
Все эти изменения выполнены без нарушения общей структуры книги, что обеспечивает ее полную преемственность с предыдущими изданиями, возможность их одновременного использования студентами и сохраняет стиль автора книги.
А. М. Пышкало
ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание учебника высшей математики для техникумов переработано в основном согласно программе, утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР в 1962 г., и только в отдельных вопросах сделаны некоторые отступления от рекомендаций этой программы. Так, например, уравнение прямой линии, проходящей через две данные точки, по методическим соббражениям оставлено в том же изложении, что и в предыдущих изданиях; введено понятие функции от функции, с тем чтобы дать более широкое представление о функции. Многие преподаватели сочтут возможным дать более углубленное изложение основ высшей математики, поэтому в книгу включены выводы формул производных всех функций. Так как в учебнике «Алгебра и элементарные функции» Кални-на Р. А. дано достаточно полное изложение темы «Счетная линейка», указанная тема опущена.
Цена: 200руб.