ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию............. . 7
Предисловие к первому изданию.............. 7.
ПЛАНИМЕТРИЯ
Глава первая. Геометрические преобразования .... 9
§ 1. Преобразование плоскости............. 9
§ 2. Параллельный перенос............... 9
§ 3. Свойства параллельного переноса ......... 11
§ 4. Осевая симметрия................. 14
§ 5. Свойства осевой симметрии ............ 16
§ 6. Центральная симметрия.............. 19
§ 7. Свойства центральной симметрии........ . 21
§ 8. Определение геометрического преобразования плоскости....................... 23
§ 9. Вращение..................... 24Г
§ 10. Вращение — геометрическое преобразование .... 26
§ 11. Свойства вращения .'••............... 27
§ 12. Задачи ...................... 28
§ 13. Гомотетия I рода,................. 29
§ 14. Гомотетия I рода — геометрические преобразование . 30
§ 15. Свойства гомотетии I рода. . . •.......... 31
§ 16. Пантограф..................... 34
§ 17. Задачи..................... . 35
§ 18. Гомотетия II рода.................. 37
§ 19. Свойства гомотетии II рода . . .......... . 38
Задачи к первой главе......"........... 40
Глава вторая. Решение прямоугольных треугольников 42
§ 20. Соотношения между основными элементами в прямоугольном треугольнике............... 42
§ 21. Решение прямоугольных треугольников ....... 43
§ 22. Другие типы задач на решение прямоугольных треугольников.................... 47
Задачи ко второй главе................. 50
Глава третья. Косоугольные треугольники ...... 51
§ 23. Теорема синусов и формула тангенсов ....... 51
§ 24. Формула косинусов................ . 53
1* а
§ 25. Выражение тангенса половинного угла через стороны
треугольника и радиус вписанного круга . ... ... 55
§ 26. Площади треугольника« параллелограмма, произвольного четырехугольника, .'............. 57
§ 27. Определение радиусов описанного и вписанного
кругов....................... 60
• § 28. Формула Герона.................. 62
§ 29. Сводка формул для косоугольного треугольника . , 63
§ 30. Основные случаи решения косоугольных треугольников........................ 64
§ 31. Решение треугольника по трем сторонам...... 64
§ 32. Решение-треугольника по двум сторонам и, углу, заключенному между ними.............. 67
§ 33. Решение треугольника по стороне и двум прилежащим углам...... •.............. 70
§ 34. Решение треугольника по "•двум сторонам и углу,
противолежащему одной из них.......-. . . 71
§ 35. Некоторые другие типы задач на решение косоугольных треугольников ............... 73
§ 36. Применение тригонометрии к измерениям на местности-....... ....... ......... 76
§ 37. Применение -тригонометрии к решению задач планиметрии и физики .................. 78
Задачи к третьей главе................. 85
СТЕРЕОМЕТРИЯ
- .'
'лава четвертая. Прямые и плоскости........ 87
§ 38. Предварительные замечания . ... . . . . . . . .87
§ 39. Основные свойства плоскости. Аксиомы ...... 88
§ 40. Взаимное расположение двух прямых в пространстве 89
§ 41. Взаимное расположение прямой и плоскости .... 90
§ 42. Перпендикуляр к плоскости............ 90
§43. Наклонная и проекция наклонной на плоскость ... 92
§ 44. Теорема о трех перпендикулярах. . . . . . . ,.:. . 94
§ 45. Угол, между прямой и плоскостью ......... 97
§ 46. Теорема о плоскости, перпендикулярной к одной
из параллельных прямых..............98
§ 47. Два признака параллельности прямой и плоскости .99
: § 48. Теорема о .плоскости, проходящей через прямую,"
параллельную другой плоскости.......... 100
§ 49. Теорема о двух прямых, параллельных третьей ... 101
, §50. Два признака параллельности плоскостей .-..... 102
§ 51. Теорема о двух плоскостях, пересеченных третьей . 103 §52. Теорема о прямой, перпендикулярной к одной из двух
параллельных плоскостей ............. 103
§ 53. Отрезки параллельных, заключенные между парал-
: дельными плоскостями . . . . . . , . ...... ... 104
f54. Углы с параллельными сторонами .......... 104
55. Расстояние между скрещивающимися прямыми.. . 105
V Задачи к четвертой главе . ................ . 107
Глава петая. Двугранные углы, перпендвкумрные t
плоскости, в многогранные углы . .... .... . . . 110
§ 56. Определения..... .....;. . . . .'.'. . . . 110
§ 57. Равенство двугранных углов .. . ......... Ill'
§ 58. Прямой двугранный угол . . . . . .... . . . . . 112
§ 59. Измерение двугранного угла......... . . . 113
§ 60. Признак перпендикулярности плоскостей . ... . . 113
§ 61. Прямая, лежащая в одной из взаимно перпендикулярных плоскостей. . • -...........• • • 11*
§ 62. Теорема.........\............. 114
§ 63. Определение проекции ................. Но
§ 64. Площадь проекции плоского многоугольника .... 117
§ 65. Трехгранный угол........ .... . ... . 120
§ 66. Многогранный угол....... ......... 122
Задачи к пятой главе .......... . . ^ . . . . . 124
Глава шее т-а я. Многогранники и круглые тела .. . . 127
§ 67. Понятие о многограннике............. 127
§ 68. Призма ., Г ................. v . 127
§ 69. Параллелепипед . . . ........... . . . . 129
§ 70. Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда 130.
§ 71. Пирамида...................... 131
§ 72. Свойства сечений пирамиды плоскостью, параллельной основанию................... 134
§ 73. Понятие о правильных многогранниках ....... 137
§ 74. Цилиндрическая поверхность............ 139
§ 75. Прямой круговой цилиндр.......• • • • '•' 139
§ 76. Коническая поверхность ,....... . -...... 141
§ 77. Прямой круговой конус - •......• • • • • • 141
§78. Усеченный конус . . . . ... ........- . 143
Задачи к шестой главе . . <............... 144
Глава седьмая. Поверхности многогранников и круглых тел......................... 146
§ 79. Поверхность призмы.................. 146
§ 80. Поверхность полной и усеченной пирамид . • • • .148
§ 81. Боковая и'полная поверхности цилиндра . . . . . . 150
§ 82. Развертка цилиндра . . . ?'............ . 151
§ 83. Боковая и полная поверхности конуса . . . . . . . 151
§ 84. Развертка конуса . ..........• • • • • .152
§ 85. Боковая и полная поверхности усеченного конуса . . 153
§ 86. Развертка усеченного конуса......., . . . < 155
Задачи к седьмой главе................. 157
Глава восьмая. Объемы многогранников и круглых
тел......... . ........• . • • • Л • • • 16Q
§ 87. Основные допущения об объемах . ..•••; > . . , . . 160
§ 88. Объем прямоугольного параллелепипеда . . . . . . 160
§ 89. Принцип Кавальери ... . . . . . . . . - - . . - 163
§ 90. Объем призмы. . . . . .... ; . . ... . . . , MS*
§91. Равновеликость пирамид, имеющих равновеликие
основания и равные высоты............ 167
§ 92. Объем пирамиды.................. 168
§ 93. Объем усеченной пирамиды........-. . . . 169
§ 94. Объем цилиндра.................. 172
§ 95. Объем конуса................; . . 173
§ 96. Объем усеченного конуса.............. 174
Задачи к восьмой главе................. 175
Глава девятая. Шар.................. 181
§ 97. Определение................... 181
§ 98. Сечейие сферы плоскостью........... . 181
§ 99. Касательная плоскость.............. 182
§ 100. Понятие о сферическом треугольнике....... 183
§ 101. Лемма о поверхности тела вращения . .. . . . . . 185
§ 102. Поверхность шара, шарового сегмента и шарового
слоя . ........... . . . . ... . . . . . 186
§ 103. Объем шара, шарового сегмента и шарового сектора 189
Задачи к девятой главе, .....:.......... 194
Глава десятая: Применение тригонометрии к решению задач стереометрии........ ......... .197
§ 104. Многогранники и круглые тела .......... 197
''' ' § 105. Поверхность и объем призмы........ . . . 202
§'106. Поверхность и объем пирамиды....... .-,. . 206
§ 107. Поверхности и объемы круглых тел ........ 213
Задачи к Десятой главе . .......... ... . . . . . 220
Ответы. . . . . ... . . . ................ 224
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
HeaR ИЗДа1?е внесе"Н некоторые дополнения и изме-гголкни! ГЛаВЗХ " й Ш добавлены способы решения тре-угольников с помощью логарифмических таблиц
поимеп»НЦ1 *1еКОТ°РЫХ паРагРаФов г*ав IV-VIII приведены к п™; КЛЛ1«стРиРУН)Щие приложения доказанных теорем к решению задач по стереометрии.
ИЗМенен6 Решение заДачи 1 (§ 104) и 3 (§ 107)
оив ЧИСЛ° чеРтежей было пересмотрена
ниями ГОСТИХ П° ВОЗМОЖНОСТИ « соответствие с
И3 Этих изменений и дополнений бши,»ни. замечаниями преподавателей математики и черче-
техникУмов- полученными мною. Всем им выражаю признательность.
нииа|ЮмТаКЖе Р> С- ГУтеРа за Рад полезных замеча-чертежей Ц6Ва за помощь «работе по пересмотру
Э. Шувалова ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Учебник составлен в cooTBeTcfBHH с программ математике Для средних технических учебных заве-Д^НН°Й Министерством высшего и среднего
°бразования СССР в 1964 г., и отражает нее изменения. .
в котоп«СН°Ву ВЗЯТ Учебник по геометрии П. П. Андреева.
пены п РВЫё пятьглав- посвященные планиметрии, заме.
разделом «Геометрические преобразования плоскости».
Этот раздел содержит описание Следующих геометрических преображающий плоскости: параллельный перенос, осевая" и центральная симметрия, вращение, гомотетия I рода, гомотетия II рода.
Поскольку по новой программе курс тригонометрии отдельно не читается, то в данный учебник включены новые главы, в которых излагаются решения прямоугольных и косоугольных треугольников (главы вторая и третья) и приложение тригонометрии к решениям задач стереометрии (глава десятая). Остальные вопросы тригонометрии не внесены в учебник,- чтобы избежать дублирования соответствующего материала; излагаемого в курсе алгебры.
Раздел стереометрии, входивший в учебник П. П. Андреева, подвергнут незначительной переработке, — к сожалению, без участия автора, недавно скончавшегося.
Изменен порядок изложения материала, посвященного вычислениям поверхностей и объемов многогранников и круглых тел, включены некоторые новые параграфы (правильные многогранники, понятие о сферическом треугольнике и т. д.).
Так же как и в учебнике «Геометрия» Андреева, слово*1 «отрезок» заменяет понятие «длина отрезка», «периметр» — «длина периметра», «сторона» — «длина стороны» и т. д.
Основные идеи теории геометрических преобразований заимствованы у И. М. Яглома и В. Г. Болтянского, любезно предоставивших свою рукопись.
В заключение пользуюсь приятной возможностью поблагодарить Ау Ф. Чистякову и редактора книги Н. А. Угарову за ряд весьма ценных указаний, сделанных ими при чтении рукописи.
Э. Шувалова
Цена: 200руб.