Эфрос А. Л.
•(
Физика и геометрия беспорядка. — M.t Наука| Главная редакция физико-математической литера-! туры, 1982.— 176 с., илл.— (Библиотечка «Квав*»,] Вып. 19)-30 коп. ]
В книге излагаются теория протекания и ее различные приме! нения, Несмотря на то что теория протекания возникла лишь • 1957 г,, она успела завоевать прочные позиции в различных о(и яастяхВнауки, преимущественно в физике и химии, В книге содем жатся необходимые сведения из элементарной теории вероятностей,; подробно обсуждается метод Монте-Карло в применении к модели-i рованию процессов протекания с помощью ЭВМ, Особое внимание уделяется связи между геометрическими и физическими свойствами системы в окрестности порога протекания, В качестве приме-,; нений рассмотрены электропроводность примесных полупровоя* ников, свойства ферромагнетиков с примесями и ряд других вод* росов. Книга содержит упражнения» Предназначена для старшие школьников, студентов, преподавателей, Может использоваться в качестве пособия для факультативного изучения теории протеч кания, '
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Часть I. ЗАДАЧА УЗЛОВ
Глава 1, ПОРОГ ПРОТЕКАНИЯ »
Два ученых мужа кромсают экранную сетку (9), Что такое случайная величина? (11). Среднее значение и дисперсия (12). Зачем нужна большая сетка? (15). (Упражнения (18).
Глав а 2", ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 19
События и их вероятности (19). Сложение вероятностей (20). Умножение вероятностей (22). Упражнения (25), Порог протекания в сетке 2X2 (25). (Упражнение (27). Непрерывная случайная величина (27). Упражнение (29), Порог протекания как непрерывная случайная величина (29). Упражнение (32).
Глава 3. БЕСКОНЕЧНЫЙ КЛАСТЕР 82
Постоянный магнит (32). Ферромагнетик ? примесями (35). Появление бесконечного кластера (37). 5ггатжнени0 (39). Снова задача уз лов (39). Кластеры при низкой коя* центрации магнитных атомов ** (42). Упражнения (45).
Глав а 4, РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УЗЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
НА ЭВМ 43
Почему Монте-Карло? (45). Что такое метод Монте-Карло? (46). Как придумать случайное число? (49), Метод середины квадрата (50). Упражнения (51), Линейный конгруэнтный метод (52). Упражнения (53). Определение порога протекания методом Монте-Карло на ЭВМ, Распределение блокированных и неблокированных узлов (54). Упражнение (56). Поиск путей протекания (56). Определение порога (57). Упражнение (59).
Часть II.РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРОТЕКАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Г л а в а 5„ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКИХ РЕШЕТКАХ 60
Мы сажаем фруктовый сад (задача связей) (60), Упражнение (Ь4). Неравенство, связывающее хсз и жу (64). Упражнение (65). Покрывающие и включающие решетки (66), ьелое протекание и черное протекание (71), Дуальные решетки (74). Упражнение (77). Результаты ?ля плос-^ Уйражшшие (78)> Ориентированное
Г л а в а 6. ОБЪЕМНЫЕ РЕШЕТКИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОЦЕНКИ
ПОРОГОВ ПРОТЕКАНИЯ 81
Объемные решетки (81). Пороги протекания для объемных решеток (84). От] чего зависит порог протекания задачи связей? (85). Как оценить порог протекания задачи узлов? (87). Упражнение (90).
Г л а в а Ч. ФЕРРОМАГНЕТИК С ДАЛЬНОДЕЙСТВИЕМ И ЗАДАЧА
Ферромагнетик "с дальнодействием (91). Упражнение (94). Задача окружностей (сфер) (95). Задача окружностей (сфер) — предельный случай задачи узлов (97).
Собственные полупроводники (99). Примесные полупроводники (102). Переход к металлической электропроводности при повышении концентрации примесей (107). Переход Мотта и задача сфер (109). Упражнение (ИЗ).
Г л а в а 9, РАЗЛИЧНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ СФЕР ИЗ
Охватывающие фигуры произвольной формы (ИЗ). Задача эллипсоидов (114). Другие поверхности (117). Еще один эксперимент на домашней кухне и задача твердых сфер (118).
Г л а в а 10, УРОВЕНЬ ПРОТЕКАНИЯ 121
«Всемирный потоп» (121). Построение случайной функции** (123). Аналогия с задачей узлов** (125). Уровни протекания в плоской и трехмерной задачах** (126). Компенсация примесей в полупроводниках (128). Движение частицы при наличии потенциальной энергии (128). Движение электрона в поле примесей (130).
Часть III. КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН ВБЛИЗИ ПОРОГА ПРОТЕКАНИЯ И ГЕОМЕТРИЯ БЕСКОНЕЧНОГО КЛАСТЕРА
Глава 11** РЕШЕТКА БЕТЕ 132
Слухи (132). Решение задачи узлов на решетке Бете (135). Обсуждение результатов (138). Упражнение (139).
Г л а в а 12. СТРУКТУРА БЕСКОНЕЧНОГО КЛАСТЕРА 140
Модель Щкловского — де Жена (140). Роль размеров системы (142). Электропроводность вблизи порога протекания (145). Упражнение (147). Функция Р (х) вблизи порога протекания. Роль мертвых концов (148). Универсальность критических индексов (150).
Глава 13. ПРЫЖКОВАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ 163
Механизм прыжковой электропроводности (153). Сетка сопротивлений (155). Свойства сетки сопротивлений (156). Снова задача сфер (157). Вычисление удельного сопротивления (158). Обсуждение результата (160).
Г л а в а 14, ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ 161
Некоторые приложения (161). Что же такое теория протекания? (163).
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ 164
Наука, которая составляет предмет этой книги, очень молода. Ее основные идеи были сформулированы лишь в 1957 г. в работе английских ученых Б род-бента и Хаммерсли. Эта работа возникла следующим образом. В середине пятидесятых годов Вродбент занимался разработкой противогазовых масок для шахт по заданию Британского объединения по исследованию применений угля. При этом он столкнулся о интересной проблемой и привлек к ней внимание математика Хаммерсли.
Основной элемент маски — это уголь, через который должен проходить газ. В угле есть поры, причудливо соединяющиеся друг с другом, так что образуется нечто вроде запутанного лабиринта. Газ может проникать в эти поры, адсорбируясь (осаждаясь) на их поверхности. Оказалось, что если поры достаточно широки и хорошо связаны друг с другом, то газ проникает в глубь угольного фильтра. В противоположном случае газ не проникает дальше поверхности угля. Движение газа по лабиринту представляет собой процесс нового типа, существенно отличающийся от хорошо известного в физике явления диффузии.
Бродбент и Хаммерсли назвали такие явления «процессами протекания» (по-английски percolation processes. В буквальном переводе слово percolation означает просачивание, фильтрацию; в русской научной литературе наряду с термином «протекание» можно встретить термин «перколяция», произошедший от английского слова). Теория, изучающая такого рода явления, стала называться теорией протекания.
За 25 лет, прошедшие с первой работы Бродбента и Хаммерсли, выяснилось, что теория протекания необходима для понимания широчайшего круга явлений, относящихся, главным образом, к физике и химии. Вероятно, наиболее разработанной в настоящее время областью применения теории протекания являются электрические
Цена: 200руб.