|
Натуральные числа
1.1. Множество натуральных чисел. Натуральные числа—это
числа, используемые для счета:
1, 2, 3, 4.....n, ... (1)
Если из любых двух соседних чисел в записи (1)
число, стоящее справа,то это число называется
последующим относительно числа, стоящего слева.
Натуральные числа (1) образуют множество, называемое множеством натуральных
чисел.
Множество всех натуральных чисел обозначается символом N:
N = {1; 2; 3; . . .; n; . . .}.
Множество натуральных чисел является упорядоченным множеством, т. е.
для любых двух натуральных чисел тип имеет место одно из следующих соотношений:
либо(или)
m = n(m равно
n),
либо(или) m < n (m
меньше n),
либо(или) n < m (n
меньше m).
Наименьшим(минимальным) натуральным числом равно 1
(единица).
В множестве натуральных чисел вводятся две основные арифметические операции —
сложение и умножение. Для обозначения этих операций используются соответственно
символы + и • .
Арифметические действия
для натуральных чисел
|
Сложение натуральных
чисел. |
Вычитание
натуральных чисел. |
Каждой паре натуральных чисел (n;
р) ставится в соответствие натуральное число s, называемое их
суммой. Сумма s состоит из стольких единиц,
сколько их содержится в числах n и р. О числе
s говорят, что оно получено в результате сложения чисел
n и р, и пишут
s = n + р. (2)
Числа n и р в записи (2) называются
слагаемыми.
Свойства натуральных чисел.
Операция сложения натуральных чисел:
1) коммутативна: n + р= р +
n;
2) ассоциативна: (n + р)+r
= n + (р + r). |
Вычитание натуральных чисел есть операция,
обратная сложению, т. е. соответствие, которое паре натуральных
чисел (n; р) относит такое натуральное число
г, что
n = Р + r.
О числе г говорят, что оно получено в результате вычитания числа р из
числа n, и пишут
r = n — р,
Число r называется
разностью чисел n и
р; число n называется
уменьшаемым, а число р —
вычитаемым.
В множестве натуральных чисел разность двух натуральных чисел г =
n — р существует тогда и только тогда, когда
n > р; поэтому говорят, что множество
натуральных чисел не замкнуто
относительно вычитания.
Так, например, натуральное число 5 больше натурального числа 3. Их
разность существует и равна натуральному числу 2:
5 — 3=2.
Натуральное число 6 меньше натурального числа 8. Их разность 6 — 8 уже
не будет натуральным числом. |
| Умножение натуральных
чисел. |
Деление
натуральных чисел. |
Каждой упорядоченной паре натуральных чисел (n;
р) ставится в соответствие натуральное число m,
называемое их произведением. Произведение
m состоит из стольких единиц, сколько их
содержится в числе n, взятых столько раз,
сколько единиц содержится в числе р. О числе m
говорят, что оно получено в результате умножения чисел
n и р, и пишут
m = nр или m =
nX р. (3)
Числа n и р в записи (3) называются
сомножителями.
Свойства натуральных чисел.
Операция умножения натуральных чисел:
1) коммутативна: n*р=р*n;
2) ассоциативна: (п*р)*k
= n*(р*k).
Операции сложения и умножения натуральных чисел связаны законом
дистрибутивности умножения относительно сложения:
(n+ p)*k= n*k
+ p*k.
Таким образом, сумма и произведение любых двух натуральных чисел опять
будут натуральными числами. Поэтому говорят, что мно-
жество всех натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и
умножения |
Деление натуральных чисел есть операция,
обратная умножению, т. е. соответствие, которое упорядоченной
паре натуральных чисел (n; р) относит такое
натуральное число q, что
n = p*q.
О числе q говорят, что оно получено в результате деления числа
n на число р, и пишут
q=n/p, или q = n :
р.
где
Число q называется частным натуральных
чисел n и р;
число n называется
делимым,
а число р — делителем.
В множестве натуральных чисел частное определено не для любой пары
натуральных чисел (n; р), т. е. множество
натуральных чисел не замкнуто относительно
операции деления.
Так, например, положим n = 7, р = 2. Для этой
пары натуральных чисел нельзя подобрать такое натуральное число q, чтобы
выполнялось равенство
7=2q. |
Натуральная степень числа.
Свойство ассоциативности операции умножения натуральных чисел позволяет ввести
понятие натуральной степени натурального числа: n-й
степенью натурального числа m называется натуральное
число k, полученное в результате умножения числа m
самого на себя п раз:
k = m-m-m-.
. . -m.
k =
n
Для обозначения n-й степени числа m обычно
используется запись:
в которой число m называется основанием степени, а
число n —показателем степени.
|
